2024-2025学年湖北省十堰市六校教学合作体高二上学期10月月考数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年湖北省十堰市六校教学合作体高二上学期10月月考数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 341.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-05 10:11:20 | ||
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文档简介
2024-2025学年湖北省十堰市六校教学合作体高二上学期10月月考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为空间的一组基底，能与组成基底的向量是( )
A. B. C. D.
2.若方程表示圆，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.已知直线的倾斜角为，若直线过点，且与直线的倾斜角互余，则直线的方程为( )
A. B.
C. D.
4.圆：与圆：的公共弦的弦长等于( )
A. B. C. D.
5.如图所示，直线与的图象可能是( )
A. B. C. D.
6.直线等分圆的周长，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行如图为一幅唐朝的投壶图，甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，假设甲、乙、丙每次投壶时，投中的概率均为且投壶结果互不影响若甲、乙、丙各投壶次，则这人中至少有人投中的概率为( )
A. B.
C. D.
8.如图，在正方体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知事件，满足，，则( )
A. 若，则 B. 若与互斥，则
C. 若，则与相互独立 D. 若与相互独立，则
10.下列说法正确的有( )
A. 直线过定点
B. 若两直线与平行，则实数的值为
C. 若，则直线不经过第二象限
D. 点，直线与线段相交，则实数的取值范围是
11.已知动点在直线上，动点在圆上，过点作圆的两条切线，切点分别为、，则下列描述正确的有( )
A. 直线与圆相交 B. 的最小值为
C. 四边形面积的最小值为 D. 存在点，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.圆与圆的位置关系为
13.已知点和，为直线上的动点，则的最小值为 ．
14.设直线与直线的交点为，则到直线的距离的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某高校承办了成都世乒赛志愿者选拔的面试工作现随机抽取了名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图已知第三四五组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同．
求的值；
估计这名候选者面试成绩的众数平均数和分位数分位数精确到；
在第四第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取人，然后再从这人中选出人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率．
16.本小题分
已知平面内两点．
求过点且与直线垂直的直线的方程；
若，求的边上的中线所在直线方程；
已知直线过点，且与平行，求直线的方程．
17.本小题分
已知直线过定点．
求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程；
设为上的一个动点，求中点的的轨迹方程．
18.本小题分
如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点分别是棱，的中点，点是线段上一点．
求证：平面；
求平面与平面的夹角的余弦值；
若直线与平面所成的角的正弦值为，求此时的长度．
19.本小题分
已知的圆心在轴上，经过点和．
求的方程；
过点的直线与交于、两点．
(ⅰ)若，求直线的方程；
(ⅱ)求弦最短时直线的方程．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.相交
13.
14.
15.解：
因为第三四五组的频率之和为，
所以，解得，
所以前两组的频率之和为，即，
所以．
众数为
平均数为，
前两个分组频率之和 ，前三个分组频率之和为，
所以分位数在第三组，且为．
第四第五两组志愿者分别有人，人，采用分层抽样的方法从中抽取人，
则第四组抽人，记为，第五组抽人，记为，
则从这人中选出人，有共种结果，
两人来自不同组有共种结果，
所以两人来自不同组的概率为．
16.解：
由可得直线的斜率为，
因，故直线的斜率为，
则直线的方程为，即；
由可得边的中点，
故直线的斜率为，
则所在直线方程为，即；
由已得，
直线与平行，故其斜率为，
则直线的方程为，即．
17.解：
因为直线恒过定点，
若截距为，即直线经过原点，则，此时直线的方程为，
若截距不为，不妨设直线方程为，代入，得，此时直线方程为，
则过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或．
设，，则，得到，所以，
又点在上，所以，整理得，
故的轨迹方程为．
18.解：
证明：因为四棱锥的底面是正方形，平面，
所以以点为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，
则
，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，则，
又因为，则，即，
由平面，所以平面
设平面与平面的夹角为，
平面的法向量，平面的法向量，
所以，，
则平面与平面的夹角的余弦值为．
设长度为，，
设直线与平面所成角为，
因为，
，
解得，此时的长度为．
19.解：
设圆心为，由题意可得，解得，
所以，圆的半径为，因此，圆的标准方程为．
当时，圆心到直线的距离为，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，合题意，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则，解得，此时，直线的方程为．
综上所述，直线的方程为或．
当时，圆心到直线的距离最大，此时，取最小值，
因为，则，
此时，直线的方程为，即．
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数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为空间的一组基底，能与组成基底的向量是( )
A. B. C. D.
2.若方程表示圆，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.已知直线的倾斜角为，若直线过点，且与直线的倾斜角互余，则直线的方程为( )
A. B.
C. D.
4.圆：与圆：的公共弦的弦长等于( )
A. B. C. D.
5.如图所示，直线与的图象可能是( )
A. B. C. D.
6.直线等分圆的周长，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行如图为一幅唐朝的投壶图，甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，假设甲、乙、丙每次投壶时，投中的概率均为且投壶结果互不影响若甲、乙、丙各投壶次，则这人中至少有人投中的概率为( )
A. B.
C. D.
8.如图，在正方体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知事件，满足，，则( )
A. 若，则 B. 若与互斥，则
C. 若，则与相互独立 D. 若与相互独立，则
10.下列说法正确的有( )
A. 直线过定点
B. 若两直线与平行，则实数的值为
C. 若，则直线不经过第二象限
D. 点，直线与线段相交，则实数的取值范围是
11.已知动点在直线上，动点在圆上，过点作圆的两条切线，切点分别为、，则下列描述正确的有( )
A. 直线与圆相交 B. 的最小值为
C. 四边形面积的最小值为 D. 存在点，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.圆与圆的位置关系为
13.已知点和，为直线上的动点，则的最小值为 ．
14.设直线与直线的交点为，则到直线的距离的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某高校承办了成都世乒赛志愿者选拔的面试工作现随机抽取了名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图已知第三四五组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同．
求的值；
估计这名候选者面试成绩的众数平均数和分位数分位数精确到；
在第四第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取人，然后再从这人中选出人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率．
16.本小题分
已知平面内两点．
求过点且与直线垂直的直线的方程；
若，求的边上的中线所在直线方程；
已知直线过点，且与平行，求直线的方程．
17.本小题分
已知直线过定点．
求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程；
设为上的一个动点，求中点的的轨迹方程．
18.本小题分
如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点分别是棱，的中点，点是线段上一点．
求证：平面；
求平面与平面的夹角的余弦值；
若直线与平面所成的角的正弦值为，求此时的长度．
19.本小题分
已知的圆心在轴上，经过点和．
求的方程；
过点的直线与交于、两点．
(ⅰ)若，求直线的方程；
(ⅱ)求弦最短时直线的方程．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.相交
13.
14.
15.解：
因为第三四五组的频率之和为，
所以，解得，
所以前两组的频率之和为，即，
所以．
众数为
平均数为，
前两个分组频率之和 ，前三个分组频率之和为，
所以分位数在第三组，且为．
第四第五两组志愿者分别有人，人，采用分层抽样的方法从中抽取人，
则第四组抽人，记为，第五组抽人，记为，
则从这人中选出人，有共种结果，
两人来自不同组有共种结果，
所以两人来自不同组的概率为．
16.解：
由可得直线的斜率为，
因，故直线的斜率为，
则直线的方程为，即；
由可得边的中点，
故直线的斜率为，
则所在直线方程为，即；
由已得，
直线与平行，故其斜率为，
则直线的方程为，即．
17.解：
因为直线恒过定点，
若截距为，即直线经过原点，则，此时直线的方程为，
若截距不为，不妨设直线方程为，代入，得，此时直线方程为，
则过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或．
设，，则，得到，所以，
又点在上，所以，整理得，
故的轨迹方程为．
18.解：
证明：因为四棱锥的底面是正方形，平面，
所以以点为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，
则
，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，则，
又因为，则，即，
由平面，所以平面
设平面与平面的夹角为，
平面的法向量，平面的法向量，
所以，，
则平面与平面的夹角的余弦值为．
设长度为，，
设直线与平面所成角为，
因为，
，
解得，此时的长度为．
19.解：
设圆心为，由题意可得，解得，
所以，圆的半径为，因此，圆的标准方程为．
当时，圆心到直线的距离为，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，合题意，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则，解得，此时，直线的方程为．
综上所述，直线的方程为或．
当时，圆心到直线的距离最大，此时，取最小值，
因为，则，
此时，直线的方程为，即．
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