4.3.1等比数列的概念 课件（共26张PPT）-高中数学人教版(2019)选择性必修二
文档属性
| 名称 | 4.3.1等比数列的概念 课件（共26张PPT）-高中数学人教版(2019)选择性必修二 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 717.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-05 11:18:32 | ||
图片预览
文档简介
(共26张PPT)
4.3.1 等比数列的概念
高二年级 数学
一、复习回顾
思考：类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？
1.等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．
2.等差数列的通项公式 首项为 ，公差为 的等差数列 的通项公式为 ．
1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列:
二、探究新知
①
②
③
2.《庄子·天下》中提到：“一尺之锤，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之锤”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，每天得到的“锤”的长度依次是
④
．
．
3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20 min 就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是
二、探究新知
⑤
4.某人存入银行 元，存期为5年，年利率为 ，那么按照复利，他
5年内每年末得到的本利和分别是
⑥
．
．
探究 类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？
二、探究新知
如果用 表示数列①，那么有
规律 从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于 9．
．
如果用 表示数列②，那么有
．
如果用 表示数列③，那么有
．
．
如果用 表示数列⑤，那么有
．
．
如果用 表示数列④，那么有
如果用 表示数列⑥，那么有
规律：上述六组数列中，每一项与前一项的比都等于同一个常数．
符号语言 ．
二、探究新知
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 表示(显然 )．
思考 类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗？
1. 判断下列数列是否是等比数列．如果是，写出它的公比．
课堂练习
(1) 3，9，15，21，27，33；
(4) 1，1.1，1.21，1.331，1.4641；
(3) ， ， ， ， ， ；
(2) 4，-8，16，-32，-128.
思考 第(2)组与第(4)组数列，相邻三项有什么规律？
课堂练习
(4) 1，1.1，1.21，1.331，1.4641.
(2) 4，-8，16，-32，64，-128；
与等差中项类似，如果在 与 中间插入一个数 ，使 ， ，
成等比数列，那么 叫做 与 的等比中项．此时 ．
二、探究新知
探究 你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
设一个等比数列 的公比为 ．根据等比数列的定义，可得
所以
由此可得 ．
又 ，这就是说，当 时上式也成立．因此，首项为 ，公比为 的等比数列 的通项公式为 ．
二、探究新知
探究 你还可以用其他方法推导等比数列的通项公式吗？
设一个等比数列 的公比为 ．根据等比数列的定义，可得
即 ．
所以
左右两侧分别依次相乘
化简得到 ．
累乘法
又 ，这就是说，当 时上式也成立．因此，首项为 ，公比为 的等比数列 的通项公式为 ．
二、探究新知
探究： 类似于等差数列与一次函数的关系，等比数列可以与哪
类函数建立相似的关系？
等比数列 的第 项 是指数函数
当 时的函数值，
即 ．
二、探究新知
反之，任给指数函数 ( 为常数， ， ，
且 )，则 ， ， ， 构成
一个等比数列 ，其首项为 ，公比为 ．
二、探究新知
探究：类比指数函数的性质，判断公比 的等比数列的单调性？
指数函数 ， 时，指数函数 单调递增；
，指数函数 单调递减．
①当 ，因为 ，则 单调性与
相同，即 ，等比数列 单调递增， ，等比数列 单调性不变， ，等比数列 单调递减．
二、探究新知
探究：类比指数函数的性质，判断公比 的等比数列的单调性？
②当 ，因为 ，则 单调性与
单调性相反，即 ，等比数列 单调递减，
，等比数列 单调性不变， ，等比数列 单调增．
三、典型例题
例1 若等比数列 的第4项和第6项分别为48和12，
求 的第5项．
分析：等比数列 由 ， 唯一确定，可利用条件列出关于
， 的方程(组)，进行求解．
三、典型例题
解法1: 由 ， ，得
①
②
②的两边分别除以①的两边，得
解得 或
把 代入①，得 ．
此时
把 代入①，得 ．
此时
因此， 的第5项是 24 或 ．
例1 若等比数列 的第4项和第6项分别为48和12，
求 的第5项．
解法2: 因为 是 与 的等比中项，所以
所以 ．
因此， 的第5项是24或 ．
例1 若等比数列 的第4项和第6项分别为48和12，
求 的第5项．
解：由题意，得
例2 已知等比数列 的公比为 ，试用 的第
项 表示
②的两边分别除以①的两边，得
所以
①
②
分析：先利用已知条件表示出数列的各项，再进一步根据条件列方程组求解．
例3 数列 共有5项，前三项成等比数列，后三项成
等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项
与第5项的和等于132.求这个数列．
解：设前三项的公比为 ，后三项的公差为 ，则数列的各项
依次为 ， ， ， ， ．于是得
解方程组，得
或
所以这个数列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，-48．
四、课堂练习
1. 已知数列 是等比数列， ， ， ，是否成
等比数列？为什么？ ， ， 呢？
解：设 的公比为 ，则 ， ， .
同理由于 ， ，所以 ．于是 ， ， 成等比数列．
所以 ， ，即 .于是 ， ， 成等比数列．
1. 已知数列 是等比数列， ， ， ，是否成
等比数列？为什么？ ， ， 呢？
解：设 的公比为 ，则 ， ， ，
由于 ， ，
所以 .于是 ， ， 成等比数列．
同理由于 ， ，所以 ．于是 ， ， 成等比数列．
五、总结提升
等比数列的概念
1.等比数列的概念，等比中项的定义；
2.等比数列的通项公式 ；
3.体会类比的数学思想．
教科书第34页习题4.3.1第1,2题
六、布置作业
谢 谢！
4.3.1 等比数列的概念
高二年级 数学
一、复习回顾
思考：类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？
1.等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．
2.等差数列的通项公式 首项为 ，公差为 的等差数列 的通项公式为 ．
1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列:
二、探究新知
①
②
③
2.《庄子·天下》中提到：“一尺之锤，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之锤”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，每天得到的“锤”的长度依次是
④
．
．
3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20 min 就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是
二、探究新知
⑤
4.某人存入银行 元，存期为5年，年利率为 ，那么按照复利，他
5年内每年末得到的本利和分别是
⑥
．
．
探究 类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？
二、探究新知
如果用 表示数列①，那么有
规律 从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于 9．
．
如果用 表示数列②，那么有
．
如果用 表示数列③，那么有
．
．
如果用 表示数列⑤，那么有
．
．
如果用 表示数列④，那么有
如果用 表示数列⑥，那么有
规律：上述六组数列中，每一项与前一项的比都等于同一个常数．
符号语言 ．
二、探究新知
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 表示(显然 )．
思考 类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗？
1. 判断下列数列是否是等比数列．如果是，写出它的公比．
课堂练习
(1) 3，9，15，21，27，33；
(4) 1，1.1，1.21，1.331，1.4641；
(3) ， ， ， ， ， ；
(2) 4，-8，16，-32，-128.
思考 第(2)组与第(4)组数列，相邻三项有什么规律？
课堂练习
(4) 1，1.1，1.21，1.331，1.4641.
(2) 4，-8，16，-32，64，-128；
与等差中项类似，如果在 与 中间插入一个数 ，使 ， ，
成等比数列，那么 叫做 与 的等比中项．此时 ．
二、探究新知
探究 你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
设一个等比数列 的公比为 ．根据等比数列的定义，可得
所以
由此可得 ．
又 ，这就是说，当 时上式也成立．因此，首项为 ，公比为 的等比数列 的通项公式为 ．
二、探究新知
探究 你还可以用其他方法推导等比数列的通项公式吗？
设一个等比数列 的公比为 ．根据等比数列的定义，可得
即 ．
所以
左右两侧分别依次相乘
化简得到 ．
累乘法
又 ，这就是说，当 时上式也成立．因此，首项为 ，公比为 的等比数列 的通项公式为 ．
二、探究新知
探究： 类似于等差数列与一次函数的关系，等比数列可以与哪
类函数建立相似的关系？
等比数列 的第 项 是指数函数
当 时的函数值，
即 ．
二、探究新知
反之，任给指数函数 ( 为常数， ， ，
且 )，则 ， ， ， 构成
一个等比数列 ，其首项为 ，公比为 ．
二、探究新知
探究：类比指数函数的性质，判断公比 的等比数列的单调性？
指数函数 ， 时，指数函数 单调递增；
，指数函数 单调递减．
①当 ，因为 ，则 单调性与
相同，即 ，等比数列 单调递增， ，等比数列 单调性不变， ，等比数列 单调递减．
二、探究新知
探究：类比指数函数的性质，判断公比 的等比数列的单调性？
②当 ，因为 ，则 单调性与
单调性相反，即 ，等比数列 单调递减，
，等比数列 单调性不变， ，等比数列 单调增．
三、典型例题
例1 若等比数列 的第4项和第6项分别为48和12，
求 的第5项．
分析：等比数列 由 ， 唯一确定，可利用条件列出关于
， 的方程(组)，进行求解．
三、典型例题
解法1: 由 ， ，得
①
②
②的两边分别除以①的两边，得
解得 或
把 代入①，得 ．
此时
把 代入①，得 ．
此时
因此， 的第5项是 24 或 ．
例1 若等比数列 的第4项和第6项分别为48和12，
求 的第5项．
解法2: 因为 是 与 的等比中项，所以
所以 ．
因此， 的第5项是24或 ．
例1 若等比数列 的第4项和第6项分别为48和12，
求 的第5项．
解：由题意，得
例2 已知等比数列 的公比为 ，试用 的第
项 表示
②的两边分别除以①的两边，得
所以
①
②
分析：先利用已知条件表示出数列的各项，再进一步根据条件列方程组求解．
例3 数列 共有5项，前三项成等比数列，后三项成
等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项
与第5项的和等于132.求这个数列．
解：设前三项的公比为 ，后三项的公差为 ，则数列的各项
依次为 ， ， ， ， ．于是得
解方程组，得
或
所以这个数列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，-48．
四、课堂练习
1. 已知数列 是等比数列， ， ， ，是否成
等比数列？为什么？ ， ， 呢？
解：设 的公比为 ，则 ， ， .
同理由于 ， ，所以 ．于是 ， ， 成等比数列．
所以 ， ，即 .于是 ， ， 成等比数列．
1. 已知数列 是等比数列， ， ， ，是否成
等比数列？为什么？ ， ， 呢？
解：设 的公比为 ，则 ， ， ，
由于 ， ，
所以 .于是 ， ， 成等比数列．
同理由于 ， ，所以 ．于是 ， ， 成等比数列．
五、总结提升
等比数列的概念
1.等比数列的概念，等比中项的定义；
2.等比数列的通项公式 ；
3.体会类比的数学思想．
教科书第34页习题4.3.1第1,2题
六、布置作业
谢 谢！