江苏省苏州市海安高级中学2024-2025学年高三上学期10月月考试题数学（含答案）

数学试题
2024.10
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数，其中i是虚数单位，则（）
A.1 B. C. D.
2.设a，，则“”是“a，b都不为1”的（）
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
3.函数，则下列函数中为奇函数的是（）
A.向左平移后的所得函数 B.向右平移后的所得函数
C.向左平移后的所得函数 D.向右平移后的所得函数
4.已知P是曲线C：上一点，直线l：经过点P，且与曲线C在P点处的切线垂直，则实数c的值为（）
A. B. C. D.
5.某厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润元.要使得生产900千克该产品获得的利润最大，则x的值为（）
A.6 B.7 C.8 D.9
6.已知函数，且，则实数a的取值范围是（）
A. B. C. D.
7.若偶函数满足，且当时，，则（）
A. B. C. D.
8.在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，且，当取得最小值时，的最大内角的余弦值是（）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9.若，，则（）
A. B.
C. D.
10.已知，，则（）
A.当时，
B.当时，
C.当时，在上的投影向量为
D.当时，，的夹角为钝角
11.已知函数，，则（）
A.函数的最小正周期为
B.当时，函数的值域为
C.当时，函数的单调递增区间为
D.若函数在区间内恰有2025个零点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.设集合，，若，则__________.
13.已知为钝角，且，则__________.
14.已知函数，当函数有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是，则__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
在平面直角坐标系中，动点M到x轴的距离等于点M到点的距离，记动点M的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）已知点为曲线C上的一点，曲线C在点P的切线交直线于Q，过P作直线的垂线交C于点N，求的面积.
16.（15分）
如图，在三棱台中，和都为等腰直角三角形，，，，G为线段的中点，H为线段上的点，且平面.
（1）求证：点H为线段的中点；
（2）求二面角的余弦值.
17.（15分）
已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，周长为18，，且.
（1）求角A；
（2）设的延长线上一点D满足，又线段（不含端点）上点P满足，求线段的长度.
18.（17分）
已知函数，.
（1）若函数存在一条对称轴，求k的值；
（2）求函数的单调区间；
（3）若函数恰有2个零点，求k的取值范围.
19.（17分）
在无穷数列中，若，且，则称数列为“K数列”.设为“K数列”，记的前n项和为.
（1）若，求的值；
（2）若，求，，的值；
（3）证明：中总有一项为1或2.
数学参考答案
2024.10
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.D2.C3.A4.C5.A6.B7.B8.C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9.BC10.ABC11.ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.213.14.1
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
解：（1）设，由题意， 2分
化简得，
所以动点M的轨迹方程为； 4分
（2）由及点，所以， 6分
由知点P处的切线斜率为，所以直线方程为，
令，则， 8分
又直线，与，
得，所以， 10分
所以面积为. 13分
16.（15分）
解：（1）连接，设，连接，，
因为平面，平面，平面平面，
所以. 2分
三棱台中，有，又G为线段的中点，
所以，所以四边形为平行四边形. 4分
所以O是的中点，所以中，得点H是的中点. 6分
（2）过点G作交于M，连接.
因为，即，，
由（1）知，，所以，，
又因为，平面，所以平面. 8分
因为平面，所以.
又三角形为等腰直角三角形，G为斜边的中点，
所以，且.
又因为，，平面，
所以平面. 10分
因为平面，所以，
由，，，平面，
所以平面，所以，
故为二面角的平面角. 12分
在中，，，，
所以.
在中，，，，
所以，所以，
所以二面角的余弦值为. 15分
17.（15分）
解：（1）在中，，，
由正弦定理得， 2分
又因为三角形周长为18，所以， 4分
所以，
所以，即为正三角形， 6分
所以； 7分
（2）如图等边中，作于Q，设，
所以，，
因为，
所以，，， 11分
所以，又，所以，
所以. 15分
18.（17分）
解：（1）因为函数，
所以函数定义域为，且函数存在一条对称轴，
故对称轴为， 2分
所以，
即，
所以，故，
当且仅当时上式恒成立，故； 4分
（2）由题意， 6分
当时，有且，
所以，故的单调减区间为； 8分
当时，令，，
且当时，，当时，，
所以的单调增区间为，单调减区间为； 10分
（3）由（2）知，. 11分
所以，
故.
令，，所以，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又因为，
所以的解为或. 13分
当时，有，
因为，
所以，
故在有一个零点，又因为，
此时有2个零点，满足题意； 15分
当时，有，
因为，
所以，
故在有一个零点，又因为，
此时有2个零点，满足题意；
所以k的取值范围为或. 17分
19.（17分）
解：（1）①若，则不满足，
②若，满足，，满足，，满足，
③若，，所以不满足，
综上，，，； 4分
（2）当时，中的各项依次为5，6，7，8，9，3，4，2，3，4，2，3，…，
即数列从第6项开始每3项是一个周期， 6分
所以，，，，
所以时，；
所以； 10分
（3）证明：首先证明：一定存在某个，使得成立. 11分
若对每一个，都有，
则在为完全平方数时，必有；
在不为完全平方数时，则必存在，使得为完全平方数，
则存在不小于的最小的完全平方数，满足
即存在，使得，则，
即每一个完全平方项及其后一项递减，如此进行下去，出现小于或等于4的项，
对每一个，都有矛盾，
所以必定存在某个，使得成立. 15分
经检验，当时，中出现1；
当，，时，中出现2，
综上，中总有一项为1或2. 17分