浙江省金华市东阳市横店八校联考2024-2025学年八年级上学期开学数学试题
1．（2024八上·东阳开学考）如图，和是一对（ ）
A．同位角 B．同旁内角 C．内错角 D．对顶角
【答案】B
【知识点】对顶角及其性质；同位角的概念；内错角的概念；同旁内角的概念
【解析】【解答】解：根据同旁内角的定义可得和是一对同旁内角．
故答案为：B．
【分析】根据两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角、两个角在截线的两旁，又分别处在被截的两条直线异侧的位置的角叫做内错角、两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线异侧的位置的角叫做同旁内角、有相同顶点，且两条边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，即可求解.
2．（2024八上·东阳开学考） 下列变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、等式的右边不是整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、等式的右边不是整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、等式的右边不是整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
D、将一个多项式变形成了两个整式的积的形式，是因式分解，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】把一个多项式变形为几个整式的积的形式，就叫因式分解，据此逐项判断得出答案.
3．（2024八上·东阳开学考）已知某细菌直径为0.000000072毫米，其中数0.000000072用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】根据用科学记数法表示较小的数一般形式为，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定即可求解.
4．（2024八上·东阳开学考）要对一大批刚生产出来的乒乓球质量进行检验，下列做法比较合适的是（ ）
A．从中抽取 1 个进行检验
B．从中抽取少数几个进行检验
C．把所有乒乓球逐个进行检验
D．从中按抽样规则抽取一定数量的乒乓球进行检验
【答案】D
【知识点】抽样调查的可靠性
【解析】【解答】解：A、从中抽取 1 个进行检验，不具有代表性，∴这个做法不符合题意；
B、 从中抽取少数几个进行检验，不具有代表性，∴这个做法不符合题意；
C、 把所有乒乓球逐个进行检验，具有破坏性，∴这个做法不符合题意；
D、从中按抽样规则抽取一定数量的乒乓球进行检验，具有代表性，∴这个做法符合题意.
故答案为：D.
【分析】 调查方式的选择，需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析.普查结果准确，所以在要求结果精确、难度相对不大，实验没有破坏性的前提下选择普查方式；当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查所需经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查.
5．（2024八上·东阳开学考）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、原式=2x4，此选项符合题意；
B、原式=x3≠x2，此选项不符合题意；
C、原式=-8x6≠-6x6，此选项不符合题意；
D、原式=x4≠-x4，此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】A、根据单项式乘以单项式法则"单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式"可判断求解；
B、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可判断求解；
C、根据积的乘方法则“把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”可判断求解；
D、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可判断求解.
6．（2024八上·东阳开学考）若关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A．3 B．0 C． D．2
【答案】A
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：
方程两边都乘，得，
原方程有增根，
最简公分母，
解得，
当时，
故的值是3．
故答案为：．
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，即让最简公分母为0的根，故令，得到，然后代入化为整式方程的方程算出的值即可．
7．（2024八上·东阳开学考）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如下图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质
8．（2024八上·东阳开学考）若关于x，y的方程组的解为，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：把代入方程组
得，
①②得， ①②得，
∴；
故答案为：C．
【分析】把代入方程组，然后两式相加得m+3n的值，相减的3m－n的值，再整体代入计算即可求解.
9．（2024八上·东阳开学考）任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝s×t（s，t是正整数，且s≤t），如果p×q在n的所有分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最优分解，并规定：F（n）＝ .例如24可以分解成1×24，2×12，3×8，4×6这四种，这时就有F（24）＝ ＝ .给出下列关于F（n）的说法：①F（6）＝ ；②F（16）＝1；③F（n2﹣n）＝1﹣ ；④若n是一个完全平方数，F（n）＝1.其中说法正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：①∵6＝1×6＝2×3，
∴F（6）＝ ，故本小题正确；
②∵16＝1×16＝2×8＝4×4，
∴F（16）＝ ＝1，故本小题正确；
③∵n2﹣n＝n（n﹣1），
∴F（n2﹣n）＝ ＝1﹣ ，故本小题正确；
④∵n是一个完全平方数，
∴n分解成两个完全相同的数时，差的绝对值最小，
∴F（n）＝1，故本小题正确.
综上所述，说法正确的个数是4，
故答案为：D.
【分析】根据最优分解的定义，分别求出6、16、n2﹣n以及完全平方数n，然后对各小题求解即可作出判断.
10．（2024八上·东阳开学考）如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为，若，则b与c满足的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：由图可知，长方形的长为，宽为，
，
，
，
，
，，
，
，
解得，即，
故答案为：C．
【分析】先分别用含a，b，c的式子表示出，，，，求出，，再代入中，化简得出，即可求解.
11．（2024八上·东阳开学考）因式分解： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为： .
【分析】利用提公因式法分解因式即可。
12．（2024八上·东阳开学考）已知方程，用含的代数式表示，则
【答案】5-2x
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：解：2x+y=5，
移项，得y=5-2x；
故答案为：5-2x.
【分析】根据用含x的代数式表示y，就要把方程中含有y的项移到方程的左边，其它的项移到方程的另一边求解即可.
13．（2024八上·东阳开学考）若关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为
【答案】
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：关于，的方程组的解为，
关于，的方程组中，，
解得：，，
关于，的方程组的解为：，
故答案为：．
【分析】先根据换元法解二元一次方程组的方法，可列出关于，的方程，再解二元一次方程组求出求出，的值，即可.
14．（2024八上·东阳开学考）若关于的分式方程无解，则的值为 ．
【答案】或或
【知识点】分式方程的增根；分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：当时，或，
原分式方程可化为：，
去分母，得，
整理得，
分式方程无解，
，
，
把或，分别代入，
得或，
综上所述：的值为或或，
故答案为：或或．
【分析】先求出分式方程最简公分母为0时，x的值，即分式方程的增根，再分式方程化为整式方程，求出当含有未知数的字母系数为0时，x的值，即分式方程的增根，即可求解.
15．（2024八上·东阳开学考）将多项式变形为的形式，这样的方法叫做配方法．利用配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大（小）值．例如：，
，，当时，多项式有最小值．
已知，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为，且，均为正整数，则当时，的最大值为 ．
【答案】3
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴.
∴当时，的最大值为，
故答案为：3．
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则和题意可得，，即可得出，代入ab，根据配方法可得当时，的最大值为.
16．（2024八上·东阳开学考）某小组开展平行线性质探究时将一副三角板按图1方式放在两条平行线、之间，其中点E、F在直线上，点H、N在直线上，，，．记，，，．
（1）比较大小： ．（填“”或“”或“”）
（2）如图2，的平分线交直线于点P，记，．现保持三角板不动，将三角板从如图位置向左平移，若在运动过程中与始终平行，与满足的数量关系为 ．
【答案】；或
【知识点】角的运算；平行线的性质；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）延长HG交AB于点K，延长NM交AB于点Q，如图：
，
∴∠2=∠EKG，∠3=∠FQN，
，，
，，
，
故答案为：
（2）在三角板中，，，
，
如图，运动过程中，当三角板平移至三角板右侧时，
，
，即∠MNP=180°－α.
，
，
∴，
平分，
，
∴∠PFN=∠FPN=β，
∴2β+120°－α=180°，
∴；
如图，当三角板平移至三角板左侧时，
，
，
，
，
，，
平分，
，
，即，
故答案为：或
【分析】（1）延长HG交AB于点K，延长NM交AB于点Q，根据两直线平行，内错角相等，得到∠2=∠EKG，∠3=∠FQN，再结合三角形的外角性质得，，即可比较大小；
（2）分两种情况讨论：当三角板平移至三角板右侧时和当三角板平移至三角板左侧时，根据平行线的性质和角平分线的定义求解即可．
17．（2024八上·东阳开学考）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
18．（2024八上·东阳开学考） 解下列方程 (组) ：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：，
由①-②得：3y=6，
y=2，
把y=2代入方程② 得：x-2=-1，
x=1，
∴原方程组的解为：.
（2）解：原方程可化为：
，
方程两边同时乘以3（x-1）得：
2×3+3（x-1）=-4
解得：x=，
经检验，x=是原方程的解，
∴原方程的解为：.
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）观察方程组中未知数x的系数相同，所以用方程①-方程②可消去未知数x，求得未知数y的值，把y的值代入其中一个方程可求得x的值，再写出结论可求解；
（2）将原分式方程化为：，方程两边同时乘以3（x-1）可将原方程化为整式方程，解整式方程求出x的值，检验即可求解.
19．（2024八上·东阳开学考）化简：，并请在，，，中选取一个合适的数代入求值．
【答案】解：
原式
，
，，，
，，，
∴取x=0，
当x=0时，原式．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先对括号内分式作通分并进行减法运算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法化为乘法，约分得到最简结果，在选出符合题意的值代入计算即可求．
20．（2024八上·东阳开学考）某校在市卫生健康局、教育局联合举办的“5.20中国学生营养日”活动带领下举行了七年级学生“健康菜谱”设计活动，让学生能设计一份健康菜谱，菜谱需符合“减油、增豆、加奶”的原则．现收集了七年级2班同学们设计的菜谱，并将菜中的主要食材分类、整理成图表，下面给出了部分信息：
根据以上信息回答下列问题：
（1）七年级2班共有 人，并补全条形统计图．
（2）“谷物”所对应的扇形圆心角度数为度．
（3）若该校七年级学生共1200人，则选择“蔬果”作为主要食材的学生约有多少人？
【答案】（1）解：七年级2班学生总人数为（人），
高蛋白人数为（人），
果蔬数量：50－16－14－6－8=6（人）
补全图形如下：
故答案为：50；
（2）解：
∴“谷物”所对应的扇形圆心角度数为100.8.
（3）解：人．
答：选择“蔬果”作为主要食材的学生约有144人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）由豆类人数除以所占百分比可得总人数，用总人数×高蛋白所占的百分比可得高蛋白的人数；用总人数减其他各组人数得果蔬的人数，即可补全图形；
（2）用乘以谷物数量所占比例即可；
（3）总人数乘以样本中蔬果数量所占比例即可估算出大概人数．
（1）解：七年级2班学生总人数为（人），
高蛋白人数为（人），
补全图形如下：
故答案为：50；
（2）解：“谷物”所对应的扇形圆心角度数为，
故答案为：100.8；
（3）解：人．
答：选择“蔬果”作为主要食材的学生约有144人．
21．（2024八上·东阳开学考）如图，点E、F、G分别在直线、、上，交于点，已知，．
（1）与平行吗？请说明理由；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：，理由如下：
，
，
∴.
，
，
；
（2）解∶EF//BH，，
∠BHA=∠BHD=110°，
．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）证明AB//CD，根据平行线的性质得.，进而得 ，结论即可得证；
（2）根据平行线的性质得∠BHA=110°，再利用邻补角的定义即可求得∠BHD的度数．
（1）解：，理由如下：
，
，
，
，
，
；
（2）解∶，
，
由（1）知，
．
22．（2024八上·东阳开学考）基础体验：（1）若实数a，b满足，，求的值
进阶实践：（2）若实数x满足，求的值．
高阶探索：（3）如图，已知正方形与正方形的面积之和为65，，求长方形的面积．
【答案】（1）解：∵， ，
∴，
∴，
∴．
（2）解：设，
∴，
∵，
∴，
∴
；
（3）解：设正方形的边长为a，正方形是边长为b，
∵正方形与正方形的面积之和为65，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
，
∴，
∴，
∴长方形的面积为28．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式可得，将 代入，即可求解；
（2）设，则，根据题意可得ab=48，根据完全平方公式进行计算，即可求解；
（3）设正方形的边长为a，正方形是边长为b，根据“正方形与正方形的面积之和为65”可得，结合题意可得，根据完全平方公式进行计算，即可求解.
23．（2024八上·东阳开学考）根据以下素材，探索完成任务：
素材1 某校“半亩方塘”劳动基地打算用如图所示的围栏搭建一块蔬菜基地，已知围栏的横杠长为，竖杠长为，一副围栏由2个横杠，5个竖杠制作而成．
素材2 为了深度参与学校蔬菜基地的建立，劳动实践小组打算自己购买材料，制作搭建蔬菜基地的围栏，已知这种规格的围栏材料每根长为，价格为50元/根．
解决问题
任务要求 解决办法
任务1 一根长的围栏材料有哪些裁剪方法呢？（余料作废） 方法①：当只裁剪长的用料时，最多可裁剪______根． 方法②：当先裁剪下1根长的用料时，余下部分最多能裁剪长的用料______根． 方法③：当先裁剪下2根长的用料时，余下部分最多能裁剪长的用料______根．
任务2 要求搭建蔬菜基地需用到的围栏长为（即需要制作8副围栏，需要的用料为：16个横杠，40个竖杠）． 劳动实践小组打算用“任务1”中的方法②和方法③完成裁剪任务，请计算：分别用“任务1”中的方法②和方法③各裁剪多少根长的围栏材料，才能恰好得到所需要的相应数量的用料？
任务3 劳动实践小组准备优化围栏：将横杠材料由每根调整为每根，再将其中两根竖杠材料由每根调整为每根（其它三根竖杠长度不变）． 若要搭建任务2中所需的围栏长度（），每根的材料恰好可裁下2根、a根、b根的用料（无剩余）或者若干根的用料（可剩余）．问：购买的材料至少需要多少费用？若材料有剩余，请求出剩余材料的长度，（剩余材料不可拼接）
【答案】任务1：解：方法①：60÷8=7…4，即当只裁剪8dm长的用料时，最多可裁剪7根；
方法②：（60-20）÷8=40÷8=5，即当先裁剪下1根20dm长的用料时，余下部分最多能裁剪8dm长的用料5根；
方法③：（60-2×20）÷8=2…4，即当先裁剪下2根20dm长的用料时，余下部分最多能裁剪8dm长的用料2根；
故答案为：7，5，2.
任务2：解：设方法②需裁剪x根，方法③需裁剪y根，依据题意得：
，解得：．
故方法②的裁剪6根，方法③的裁剪5根；
任务3：解：根据题意：需制作围栏：（副）
即的横杠：（根）
的竖杠：（根）
的竖杠：（根）
长的围栏材料无剩余裁剪时：，即，
，
为正整数，
，
长的围栏材料无剩余裁剪可裁剪下2根、1根、2根的用料，
长的围栏材料有剩余裁剪时：（根），即可裁剪7根的竖杠，
需要长的围栏材料无剩余裁剪（根）
则的竖杠有：（根），的竖杠有：（根）
还需要的竖杠（根）
（根），则长的围栏材料有剩余裁剪3根，
共需要长的围栏材料（根）
剩余材料为：，
至少所需要费用：（元）．
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】任务1：根据围栏材料不同裁剪方法，分别计算出需要的竖杠或横杠，根据“余料作废”取整数即可求解 ；
任务2：设方法②需裁剪x根，方法③需裁剪y根，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可得到结果；
任务3：根据题意先计算出所需不同尺寸的横杠，竖杠的数量，根据“每根60dm的材料恰好可裁下2根16dm、a根8dm、b根10dm的用料（无剩余） ”列出方程，确定出正整数解a与b的值，再根据题意求出剩余材料，以及费用即可求解.
24．（2024八上·东阳开学考）如图1，将一张宽度相等的纸条（）按如图所示方式折叠，记点C，D的对应点分别为，，折痕为，且交于点G．
（1）若，则______度．
（2）如图，在（1）的条件下，将四边形沿向下翻折，记，的对应点分别为，．再将长方形沿着翻折，记的对应点分别为，，折痕为（点在上，点在上）．若，求的度数．
（3）如图，分别作，的平分线交于点，连结作的平分线交于点，延长交于点．若，比多27°，求的度数
【答案】（1）26
（2）当向下翻折时，根据题意补充全图，延长B'A'，交GC''于点K，如下图所示：
由（1）得，，
∴，
根据折叠的性质可得，
∵长方形ABCD，
∴∠B'=∠B=∠C=∠C''=90°.
又∵，
∴∠B'KC''=∠C''=∠PB'A'=90°，
∴A'Q//PB'//GC''.
∴，
∴，
根据折叠的性质可得，
∵，
∴．
当向上翻折时，交与点，如图所示：
由上可得
∵
∴
根据折叠的性质可得，
综上可得的度数为或．
（3）补全图形，如下图所示：
∵AD//BC，
∴∠GFE=∠FEC.
设，则∠FEC=x，，
根据折叠的性质可得，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴∠AGE=∠GEC=2x=54°.
∵MG平分∠AGE，ME平分∠BEG，
∴∠AGM=∠EGM=27°，∠MEG=∠MEQ.
∵AD//BC，
∴∠AGE+∠GEB=180°，∠GQE=∠AGM=27°.
∴∠GEB=180°－54°=126°，∠BMQ=∠GQE－∠MBE=27°－8°=19°.
∴∠MEG=∠MEQ=63°.
∴∠BME=180°－∠MBE－∠MEB=180°－8°－63°=109°，
MN平分∠BME，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴，
∴∠CEG=180°－∠BEC'=52°.
根据折叠的性质可得，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）根据平行线的性质得，从而得∠CEC'的度数，再由折叠的性质可得，即可求出∠FEC的度数．
（2）根据题意可分成两种情况，①当向下翻折时，②当向上翻折时进行讨论即可．①当向下翻折时，根据题意补充全图，延长B'A'，交GC''于点K，根据长方形的性质得∠B'=∠B=∠C=∠C''=90°.于是可证明A'Q//PB'//GC''.根据平行线的性质求得∠A'QG，继而可根据折叠性质求∠AQP，再根据平行线性质即可得∠BPQ；②当向上翻折时，交与点，根据平行线性质求得∠PHG，再根据平行线性质可得∠BPH，继而可根据折叠性质求∠BPQ；
（3）补全图形后，设，则，根据折叠的性质和平行线的性质，可得， ，可得方程，代入数值解得，根据对顶角和角平分线的性质求得∠AGM=∠EGM=27°，∠MEG=∠MEQ；再根据平行线和角平分线的性质求得∠GQE，∠GEQ和∠MEG，最后利用外角的性质求出∠BMQ，；利用三角形内角和的性质求出∠BME，最后再次利用角平分线的性质即可求出．
（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据折叠的性质可得，
∴，
故答案为．
（2）当向下翻折时，根据题意补充全图，如下图所示：
∵，，
∴，
根据折叠的性质可得，
∵，
再根据折叠的性质可得，
∴，
∴，
根据折叠的性质可得，
∵，
∴．
当向上翻折时，交与点，如图所示：
由上可得
∵
∴
根据折叠的性质可得，
综上可得的度数为或．
（3）补全图形，如下图所示：
设，则，
根据折叠的性质可得，
∵，
∴，
根据折叠的性质可得，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
1 / 1浙江省金华市东阳市横店八校联考2024-2025学年八年级上学期开学数学试题
1．（2024八上·东阳开学考）如图，和是一对（ ）
A．同位角 B．同旁内角 C．内错角 D．对顶角
2．（2024八上·东阳开学考） 下列变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024八上·东阳开学考）已知某细菌直径为0.000000072毫米，其中数0.000000072用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八上·东阳开学考）要对一大批刚生产出来的乒乓球质量进行检验，下列做法比较合适的是（ ）
A．从中抽取 1 个进行检验
B．从中抽取少数几个进行检验
C．把所有乒乓球逐个进行检验
D．从中按抽样规则抽取一定数量的乒乓球进行检验
5．（2024八上·东阳开学考）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024八上·东阳开学考）若关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A．3 B．0 C． D．2
7．（2024八上·东阳开学考）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如下图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024八上·东阳开学考）若关于x，y的方程组的解为，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
9．（2024八上·东阳开学考）任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝s×t（s，t是正整数，且s≤t），如果p×q在n的所有分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最优分解，并规定：F（n）＝ .例如24可以分解成1×24，2×12，3×8，4×6这四种，这时就有F（24）＝ ＝ .给出下列关于F（n）的说法：①F（6）＝ ；②F（16）＝1；③F（n2﹣n）＝1﹣ ；④若n是一个完全平方数，F（n）＝1.其中说法正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2024八上·东阳开学考）如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为，若，则b与c满足的关系为（ ）
A． B． C． D．
11．（2024八上·东阳开学考）因式分解： ．
12．（2024八上·东阳开学考）已知方程，用含的代数式表示，则
13．（2024八上·东阳开学考）若关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为
14．（2024八上·东阳开学考）若关于的分式方程无解，则的值为 ．
15．（2024八上·东阳开学考）将多项式变形为的形式，这样的方法叫做配方法．利用配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大（小）值．例如：，
，，当时，多项式有最小值．
已知，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为，且，均为正整数，则当时，的最大值为 ．
16．（2024八上·东阳开学考）某小组开展平行线性质探究时将一副三角板按图1方式放在两条平行线、之间，其中点E、F在直线上，点H、N在直线上，，，．记，，，．
（1）比较大小： ．（填“”或“”或“”）
（2）如图2，的平分线交直线于点P，记，．现保持三角板不动，将三角板从如图位置向左平移，若在运动过程中与始终平行，与满足的数量关系为 ．
17．（2024八上·东阳开学考）计算：
（1）；
（2）．
18．（2024八上·东阳开学考） 解下列方程 (组) ：
（1） ；
（2） .
19．（2024八上·东阳开学考）化简：，并请在，，，中选取一个合适的数代入求值．
20．（2024八上·东阳开学考）某校在市卫生健康局、教育局联合举办的“5.20中国学生营养日”活动带领下举行了七年级学生“健康菜谱”设计活动，让学生能设计一份健康菜谱，菜谱需符合“减油、增豆、加奶”的原则．现收集了七年级2班同学们设计的菜谱，并将菜中的主要食材分类、整理成图表，下面给出了部分信息：
根据以上信息回答下列问题：
（1）七年级2班共有 人，并补全条形统计图．
（2）“谷物”所对应的扇形圆心角度数为度．
（3）若该校七年级学生共1200人，则选择“蔬果”作为主要食材的学生约有多少人？
21．（2024八上·东阳开学考）如图，点E、F、G分别在直线、、上，交于点，已知，．
（1）与平行吗？请说明理由；
（2）若，求的度数．
22．（2024八上·东阳开学考）基础体验：（1）若实数a，b满足，，求的值
进阶实践：（2）若实数x满足，求的值．
高阶探索：（3）如图，已知正方形与正方形的面积之和为65，，求长方形的面积．
23．（2024八上·东阳开学考）根据以下素材，探索完成任务：
素材1 某校“半亩方塘”劳动基地打算用如图所示的围栏搭建一块蔬菜基地，已知围栏的横杠长为，竖杠长为，一副围栏由2个横杠，5个竖杠制作而成．
素材2 为了深度参与学校蔬菜基地的建立，劳动实践小组打算自己购买材料，制作搭建蔬菜基地的围栏，已知这种规格的围栏材料每根长为，价格为50元/根．
解决问题
任务要求 解决办法
任务1 一根长的围栏材料有哪些裁剪方法呢？（余料作废） 方法①：当只裁剪长的用料时，最多可裁剪______根． 方法②：当先裁剪下1根长的用料时，余下部分最多能裁剪长的用料______根． 方法③：当先裁剪下2根长的用料时，余下部分最多能裁剪长的用料______根．
任务2 要求搭建蔬菜基地需用到的围栏长为（即需要制作8副围栏，需要的用料为：16个横杠，40个竖杠）． 劳动实践小组打算用“任务1”中的方法②和方法③完成裁剪任务，请计算：分别用“任务1”中的方法②和方法③各裁剪多少根长的围栏材料，才能恰好得到所需要的相应数量的用料？
任务3 劳动实践小组准备优化围栏：将横杠材料由每根调整为每根，再将其中两根竖杠材料由每根调整为每根（其它三根竖杠长度不变）． 若要搭建任务2中所需的围栏长度（），每根的材料恰好可裁下2根、a根、b根的用料（无剩余）或者若干根的用料（可剩余）．问：购买的材料至少需要多少费用？若材料有剩余，请求出剩余材料的长度，（剩余材料不可拼接）
24．（2024八上·东阳开学考）如图1，将一张宽度相等的纸条（）按如图所示方式折叠，记点C，D的对应点分别为，，折痕为，且交于点G．
（1）若，则______度．
（2）如图，在（1）的条件下，将四边形沿向下翻折，记，的对应点分别为，．再将长方形沿着翻折，记的对应点分别为，，折痕为（点在上，点在上）．若，求的度数．
（3）如图，分别作，的平分线交于点，连结作的平分线交于点，延长交于点．若，比多27°，求的度数
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】对顶角及其性质；同位角的概念；内错角的概念；同旁内角的概念
【解析】【解答】解：根据同旁内角的定义可得和是一对同旁内角．
故答案为：B．
【分析】根据两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角、两个角在截线的两旁，又分别处在被截的两条直线异侧的位置的角叫做内错角、两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线异侧的位置的角叫做同旁内角、有相同顶点，且两条边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，即可求解.
2．【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、等式的右边不是整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、等式的右边不是整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、等式的右边不是整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
D、将一个多项式变形成了两个整式的积的形式，是因式分解，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】把一个多项式变形为几个整式的积的形式，就叫因式分解，据此逐项判断得出答案.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】根据用科学记数法表示较小的数一般形式为，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定即可求解.
4．【答案】D
【知识点】抽样调查的可靠性
【解析】【解答】解：A、从中抽取 1 个进行检验，不具有代表性，∴这个做法不符合题意；
B、 从中抽取少数几个进行检验，不具有代表性，∴这个做法不符合题意；
C、 把所有乒乓球逐个进行检验，具有破坏性，∴这个做法不符合题意；
D、从中按抽样规则抽取一定数量的乒乓球进行检验，具有代表性，∴这个做法符合题意.
故答案为：D.
【分析】 调查方式的选择，需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析.普查结果准确，所以在要求结果精确、难度相对不大，实验没有破坏性的前提下选择普查方式；当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查所需经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查.
5．【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、原式=2x4，此选项符合题意；
B、原式=x3≠x2，此选项不符合题意；
C、原式=-8x6≠-6x6，此选项不符合题意；
D、原式=x4≠-x4，此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】A、根据单项式乘以单项式法则"单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式"可判断求解；
B、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可判断求解；
C、根据积的乘方法则“把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”可判断求解；
D、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可判断求解.
6．【答案】A
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：
方程两边都乘，得，
原方程有增根，
最简公分母，
解得，
当时，
故的值是3．
故答案为：．
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，即让最简公分母为0的根，故令，得到，然后代入化为整式方程的方程算出的值即可．
7．【答案】C
【知识点】平行线的性质
8．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：把代入方程组
得，
①②得， ①②得，
∴；
故答案为：C．
【分析】把代入方程组，然后两式相加得m+3n的值，相减的3m－n的值，再整体代入计算即可求解.
9．【答案】D
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：①∵6＝1×6＝2×3，
∴F（6）＝ ，故本小题正确；
②∵16＝1×16＝2×8＝4×4，
∴F（16）＝ ＝1，故本小题正确；
③∵n2﹣n＝n（n﹣1），
∴F（n2﹣n）＝ ＝1﹣ ，故本小题正确；
④∵n是一个完全平方数，
∴n分解成两个完全相同的数时，差的绝对值最小，
∴F（n）＝1，故本小题正确.
综上所述，说法正确的个数是4，
故答案为：D.
【分析】根据最优分解的定义，分别求出6、16、n2﹣n以及完全平方数n，然后对各小题求解即可作出判断.
10．【答案】C
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：由图可知，长方形的长为，宽为，
，
，
，
，
，，
，
，
解得，即，
故答案为：C．
【分析】先分别用含a，b，c的式子表示出，，，，求出，，再代入中，化简得出，即可求解.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为： .
【分析】利用提公因式法分解因式即可。
12．【答案】5-2x
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：解：2x+y=5，
移项，得y=5-2x；
故答案为：5-2x.
【分析】根据用含x的代数式表示y，就要把方程中含有y的项移到方程的左边，其它的项移到方程的另一边求解即可.
13．【答案】
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：关于，的方程组的解为，
关于，的方程组中，，
解得：，，
关于，的方程组的解为：，
故答案为：．
【分析】先根据换元法解二元一次方程组的方法，可列出关于，的方程，再解二元一次方程组求出求出，的值，即可.
14．【答案】或或
【知识点】分式方程的增根；分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：当时，或，
原分式方程可化为：，
去分母，得，
整理得，
分式方程无解，
，
，
把或，分别代入，
得或，
综上所述：的值为或或，
故答案为：或或．
【分析】先求出分式方程最简公分母为0时，x的值，即分式方程的增根，再分式方程化为整式方程，求出当含有未知数的字母系数为0时，x的值，即分式方程的增根，即可求解.
15．【答案】3
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴.
∴当时，的最大值为，
故答案为：3．
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则和题意可得，，即可得出，代入ab，根据配方法可得当时，的最大值为.
16．【答案】；或
【知识点】角的运算；平行线的性质；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）延长HG交AB于点K，延长NM交AB于点Q，如图：
，
∴∠2=∠EKG，∠3=∠FQN，
，，
，，
，
故答案为：
（2）在三角板中，，，
，
如图，运动过程中，当三角板平移至三角板右侧时，
，
，即∠MNP=180°－α.
，
，
∴，
平分，
，
∴∠PFN=∠FPN=β，
∴2β+120°－α=180°，
∴；
如图，当三角板平移至三角板左侧时，
，
，
，
，
，，
平分，
，
，即，
故答案为：或
【分析】（1）延长HG交AB于点K，延长NM交AB于点Q，根据两直线平行，内错角相等，得到∠2=∠EKG，∠3=∠FQN，再结合三角形的外角性质得，，即可比较大小；
（2）分两种情况讨论：当三角板平移至三角板右侧时和当三角板平移至三角板左侧时，根据平行线的性质和角平分线的定义求解即可．
17．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
18．【答案】（1）解：，
由①-②得：3y=6，
y=2，
把y=2代入方程② 得：x-2=-1，
x=1，
∴原方程组的解为：.
（2）解：原方程可化为：
，
方程两边同时乘以3（x-1）得：
2×3+3（x-1）=-4
解得：x=，
经检验，x=是原方程的解，
∴原方程的解为：.
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）观察方程组中未知数x的系数相同，所以用方程①-方程②可消去未知数x，求得未知数y的值，把y的值代入其中一个方程可求得x的值，再写出结论可求解；
（2）将原分式方程化为：，方程两边同时乘以3（x-1）可将原方程化为整式方程，解整式方程求出x的值，检验即可求解.
19．【答案】解：
原式
，
，，，
，，，
∴取x=0，
当x=0时，原式．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先对括号内分式作通分并进行减法运算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法化为乘法，约分得到最简结果，在选出符合题意的值代入计算即可求．
20．【答案】（1）解：七年级2班学生总人数为（人），
高蛋白人数为（人），
果蔬数量：50－16－14－6－8=6（人）
补全图形如下：
故答案为：50；
（2）解：
∴“谷物”所对应的扇形圆心角度数为100.8.
（3）解：人．
答：选择“蔬果”作为主要食材的学生约有144人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）由豆类人数除以所占百分比可得总人数，用总人数×高蛋白所占的百分比可得高蛋白的人数；用总人数减其他各组人数得果蔬的人数，即可补全图形；
（2）用乘以谷物数量所占比例即可；
（3）总人数乘以样本中蔬果数量所占比例即可估算出大概人数．
（1）解：七年级2班学生总人数为（人），
高蛋白人数为（人），
补全图形如下：
故答案为：50；
（2）解：“谷物”所对应的扇形圆心角度数为，
故答案为：100.8；
（3）解：人．
答：选择“蔬果”作为主要食材的学生约有144人．
21．【答案】（1）解：，理由如下：
，
，
∴.
，
，
；
（2）解∶EF//BH，，
∠BHA=∠BHD=110°，
．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）证明AB//CD，根据平行线的性质得.，进而得 ，结论即可得证；
（2）根据平行线的性质得∠BHA=110°，再利用邻补角的定义即可求得∠BHD的度数．
（1）解：，理由如下：
，
，
，
，
，
；
（2）解∶，
，
由（1）知，
．
22．【答案】（1）解：∵， ，
∴，
∴，
∴．
（2）解：设，
∴，
∵，
∴，
∴
；
（3）解：设正方形的边长为a，正方形是边长为b，
∵正方形与正方形的面积之和为65，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
，
∴，
∴，
∴长方形的面积为28．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式可得，将 代入，即可求解；
（2）设，则，根据题意可得ab=48，根据完全平方公式进行计算，即可求解；
（3）设正方形的边长为a，正方形是边长为b，根据“正方形与正方形的面积之和为65”可得，结合题意可得，根据完全平方公式进行计算，即可求解.
23．【答案】任务1：解：方法①：60÷8=7…4，即当只裁剪8dm长的用料时，最多可裁剪7根；
方法②：（60-20）÷8=40÷8=5，即当先裁剪下1根20dm长的用料时，余下部分最多能裁剪8dm长的用料5根；
方法③：（60-2×20）÷8=2…4，即当先裁剪下2根20dm长的用料时，余下部分最多能裁剪8dm长的用料2根；
故答案为：7，5，2.
任务2：解：设方法②需裁剪x根，方法③需裁剪y根，依据题意得：
，解得：．
故方法②的裁剪6根，方法③的裁剪5根；
任务3：解：根据题意：需制作围栏：（副）
即的横杠：（根）
的竖杠：（根）
的竖杠：（根）
长的围栏材料无剩余裁剪时：，即，
，
为正整数，
，
长的围栏材料无剩余裁剪可裁剪下2根、1根、2根的用料，
长的围栏材料有剩余裁剪时：（根），即可裁剪7根的竖杠，
需要长的围栏材料无剩余裁剪（根）
则的竖杠有：（根），的竖杠有：（根）
还需要的竖杠（根）
（根），则长的围栏材料有剩余裁剪3根，
共需要长的围栏材料（根）
剩余材料为：，
至少所需要费用：（元）．
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】任务1：根据围栏材料不同裁剪方法，分别计算出需要的竖杠或横杠，根据“余料作废”取整数即可求解 ；
任务2：设方法②需裁剪x根，方法③需裁剪y根，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可得到结果；
任务3：根据题意先计算出所需不同尺寸的横杠，竖杠的数量，根据“每根60dm的材料恰好可裁下2根16dm、a根8dm、b根10dm的用料（无剩余） ”列出方程，确定出正整数解a与b的值，再根据题意求出剩余材料，以及费用即可求解.
24．【答案】（1）26
（2）当向下翻折时，根据题意补充全图，延长B'A'，交GC''于点K，如下图所示：
由（1）得，，
∴，
根据折叠的性质可得，
∵长方形ABCD，
∴∠B'=∠B=∠C=∠C''=90°.
又∵，
∴∠B'KC''=∠C''=∠PB'A'=90°，
∴A'Q//PB'//GC''.
∴，
∴，
根据折叠的性质可得，
∵，
∴．
当向上翻折时，交与点，如图所示：
由上可得
∵
∴
根据折叠的性质可得，
综上可得的度数为或．
（3）补全图形，如下图所示：
∵AD//BC，
∴∠GFE=∠FEC.
设，则∠FEC=x，，
根据折叠的性质可得，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴∠AGE=∠GEC=2x=54°.
∵MG平分∠AGE，ME平分∠BEG，
∴∠AGM=∠EGM=27°，∠MEG=∠MEQ.
∵AD//BC，
∴∠AGE+∠GEB=180°，∠GQE=∠AGM=27°.
∴∠GEB=180°－54°=126°，∠BMQ=∠GQE－∠MBE=27°－8°=19°.
∴∠MEG=∠MEQ=63°.
∴∠BME=180°－∠MBE－∠MEB=180°－8°－63°=109°，
MN平分∠BME，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴，
∴∠CEG=180°－∠BEC'=52°.
根据折叠的性质可得，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）根据平行线的性质得，从而得∠CEC'的度数，再由折叠的性质可得，即可求出∠FEC的度数．
（2）根据题意可分成两种情况，①当向下翻折时，②当向上翻折时进行讨论即可．①当向下翻折时，根据题意补充全图，延长B'A'，交GC''于点K，根据长方形的性质得∠B'=∠B=∠C=∠C''=90°.于是可证明A'Q//PB'//GC''.根据平行线的性质求得∠A'QG，继而可根据折叠性质求∠AQP，再根据平行线性质即可得∠BPQ；②当向上翻折时，交与点，根据平行线性质求得∠PHG，再根据平行线性质可得∠BPH，继而可根据折叠性质求∠BPQ；
（3）补全图形后，设，则，根据折叠的性质和平行线的性质，可得， ，可得方程，代入数值解得，根据对顶角和角平分线的性质求得∠AGM=∠EGM=27°，∠MEG=∠MEQ；再根据平行线和角平分线的性质求得∠GQE，∠GEQ和∠MEG，最后利用外角的性质求出∠BMQ，；利用三角形内角和的性质求出∠BME，最后再次利用角平分线的性质即可求出．
（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据折叠的性质可得，
∴，
故答案为．
（2）当向下翻折时，根据题意补充全图，如下图所示：
∵，，
∴，
根据折叠的性质可得，
∵，
再根据折叠的性质可得，
∴，
∴，
根据折叠的性质可得，
∵，
∴．
当向上翻折时，交与点，如图所示：
由上可得
∵
∴
根据折叠的性质可得，
综上可得的度数为或．
（3）补全图形，如下图所示：
设，则，
根据折叠的性质可得，
∵，
∴，
根据折叠的性质可得，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
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