广西柳州三十五中2024-2025学年九年级上学期开学数学试卷
1．（2024九上·柳州开学考）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、是一元二次方程，故A正确；
B、是一元一次方程，故B错误；
C、是二元一次方程，故C错误；
D、是一元三次方程，故D错误；
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的定义逐一判断即可.
2．（2024九上·柳州开学考）二次函数中，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．一切实数
【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵函数是二次函数，
∴，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的定义，二次项系数不能等于零即可解答.
3．（2024九上·柳州开学考）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根 ，
∴1+m=0，
解之：m=-1.
故答案为：A
【分析】将x=1代入方程，可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
4．（2024九上·柳州开学考）一元二次方程的解为（ ）
A． B．， C．， D．
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
∴，
∴，，
故答案为：B.
【分析】提公因式x，利用因式分解法解一元二次方程即可．
5．（2024九上·柳州开学考）已知二次函数，当时，随增大而减小，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数，当时，y随x增大而减小，
∴a-1>0，
∴，
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的性质即可解答.
6．（2024九上·柳州开学考）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A．Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×0=4>0，方程有两个不相等，故A错误；
B．Δ=b2-4ac=42-4×1×(-1)=20>0，方程有两个不相等，故B错误；
C．Δ=b2-4ac=(-5)2-4×3×2=1>0，方程有两个不相等，故C错误；
D．Δ=b2-4ac=(-4)2-4×2×3=-8<0，方程没有实数根，故D正确；
故答案为：D.
【分析】分别计算一元二次方程的判别式，利用判别式判断一元二次方程根的情况即可解答.
7．（2024九上·柳州开学考）如图，是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵抛物线经过点（3，0），对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∵ax2＋bx＋c＞0，
∴y＞0，
∴对应抛物线在x轴上方，即在（﹣1，0）与（3，0）之间．
∴﹣1＜x＜3．
故答案为：C.
【分析】观察图象，得抛物线经过点（3，0），对称轴为直线x＝1，根据抛物线的对称性求出另一个交点，再结合图象确定不等式的解集即可.
8．（2024九上·柳州开学考）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 ，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】设这种植物每个支干长出 个小分支，
依题意，得： ，
解得： （舍去）， ．
故答案为：C．
【分析】根据题意，可列出一元二次方程，解出结果即可。
9．（2024九上·柳州开学考）年月日，第八届广西万村篮球赛暨广西社区运动会县级赛在柳州市鱼峰区白沙镇举行开赛仪式，据了解，本次鱼峰区比赛采用单循环制每两支球队之间都进行一场比赛，如果比赛共进行了场，则一共有多少支球队参加比赛？设一共有支球队参加比赛，根据题意可列方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设一共有x支球队参加比赛，由题意，得：；
故答案为：D.
【分析】根据比赛采用单循环制（每两支球队之间都进行一场比赛），比赛共进行了78场，列出一元二次方程即可解答．
10．（2024九上·柳州开学考）如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点是，对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点为；直线的解析式为下列结论：
；
；
方程有两个不相等的实数根；
抛物线与轴的另一个交点是；
当时，则，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①因为抛物线对称轴的直线，则，，故①正确；
②抛物线开口向下，故，
对称轴在y轴右侧，故，
抛物线与y轴交于正半轴，故，
，
故②错误，不符合题意；
③从图象看，两个函数图象有两个交点，故方程有两个不相等的实数根，③正确，符合题意；
④因为抛物线对称轴是：，，
所以抛物线与x轴的另一个交点是，
故④错误，不符合题意；
⑤由图象得：当时，有，故⑤正确，符合题意．
故正确的有：①③⑤．
故答案为：B.
【分析】根据抛物线对称轴为，即可判断①；根据开口方向、对称轴即可判断②；结合方程与函数的关系即可判断③；根据题中抛物线的对称轴和一个与x轴的交点即可确定另一个交点，从而判断④；由函数图象求不等式解集即可判断⑤.
11．（2024九上·柳州开学考）方程的解是 ．
【答案】，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得解得，，
故答案为：，
【分析】根据题意运用直接开平方法解一元二次方程即可求解。
12．（2024九上·柳州开学考）抛物线的顶点坐标为 ．
【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
13．（2024九上·柳州开学考）关于x的一元二次方程x2＋2x－1＝0的两根之和为 ．
【答案】－2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设x1、x2是 一元二次方程x2＋2x－1＝0的两根，
则x1+x2=-2 ；
故答案为：-2.
【分析】根据根与系数的关系：，计算即可.
14．（2024九上·柳州开学考）已知点，在二次函数的图象上，若，则 填“”、“”或“”．
【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵y＝（x﹣3）2﹣2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，抛物线开口向上，
∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝（x﹣3）2﹣2图象上，
又∵a=>0，抛物线开口向上，对称轴为直线x=3，
∴在x<3时，y随x增大而减小，在x>3时，y随x增大而增大，
∵x1＜x2＜3，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【分析】根据抛物线顶点式可知对称轴为x=3，开口向上，得出在x<3时，y随x增大而减小，即可解答.
15．（2024九上·柳州开学考）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
【答案】且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；根据一元二次根的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴且，
故答案为：且．
【分析】由一元二次方程的定义和根的判别式，列出不等式组即可解答.
16．（2024九上·柳州开学考）代数学中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为”小唐按此方法解关于的方程时，构造出如图所示的图形，已知阴影部分的面积为，则该方程的正数解为 ．
【答案】4
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的应用-几何问题
17．（2024九上·柳州开学考）解下列方程：
；
；
；
．
【答案】解：，
，
解得：，；
，
，
，
，
；
，
，，，
，
，
；
，
，
，
解得：，．
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）因式分解法解方程即可；
（2）配方法解方程即可；
（3）公式法解方程即可；
（4）因式分解法解方程即可．
18．（2024九上·柳州开学考）有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒，求每轮传染中平均每人传染了多少个人．
【答案】解：设每轮传染中平均每人传染了x人，
依题意，得，
即，
解方程，得，（舍去）．
答：每轮传染中平均每人传染了15人，
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【分析】 设每轮传染中平均每人传染了x人， 则第一轮传染x人，第二轮传染x(1+x)人，根据“ 经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒 ”列出方程并解之即可.
19．（2024九上·柳州开学考）已知抛物线．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）将该抛物线向右平移个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求的值．
【答案】（1），
对称轴为直线；
（2）将该抛物线向右平移个单位长度，
新的抛物线的解析式为：，
把代入，得：，
解得：负值舍去．
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）将一般式转化为顶点式，即可求得对称轴；
（2）根据二次函数图象平移规则“左加右减，上加下减”，表示出新的抛物线的解析式，再将原点坐标代入求解即可．
20．（2024九上·柳州开学考） 已知关于x的一元二次方程x2+6x+（2m+1）＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2-x1-x2≥8，求m的取值范围．
【答案】（1）解：∵方程有实数根，
∴Δ＝36-4（2m+1）＝36-8m-4＝32-8m≥0，
解得：m≤4．
故m的取值范围是m≤4；
（2）解：∵x1，x2是方程x2+6x+（2m+1）＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝-6，x1·x2＝2m+1，
∵2x1x2-x1-x2≥8，
∴2（2m+1）+6≥8，
解得m≥0，
由（1）可得m≤4，
∴m的取值范围是0≤m≤4．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程有实数根可得Δ ≥0，即可求得m的取值范围；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可得x1+x2＝-6，x1·x2＝2m+1， 将其代入不等式得m的取值范围，再与（1）中的m的取值范围取交集可得.
21．（2024九上·柳州开学考）“杭州亚运三人制篮球”赛将于月月日在我县举行，我县某商店抓住商机，销售某款篮球服月份平均每天售出件，每件盈利元为了扩大销售、增加盈利，月份该店准备采取降价措施，经过市场调研，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件．
（1）若降价元，求平均每天的销售数量；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为元？
【答案】（1）平均每天的销售数量为：件，
答：平均每天的销售数量件；
（2）设每件商品降价元，
根据题意，得：，
解得：，，
答：当每件商品降价元或元时，该商店每天销售利润为元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意得出，平均每天的销售量每件商品降低的价格，即可解答；
（2）设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件，利用总利润＝每件盈利×平均每天的销售量，列出关于的一元二次方程，即可解答．
22．（2024九上·柳州开学考）阅读与理解：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．
（1）通过计算，判断方程是否是“邻根方程”；
（2）已知关于的方程是常数是“邻根方程”，求的值．
【答案】（1），
，
解得：，，
，
故方程是“邻根方程”；
（2），
，
解得：，，
方程是常数是“邻根方程”，
，或．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）理解新定义后，运用因式分解法解一元二次方程，再根据新定义判断即可；
（2）先将原方程用因式分解法解出两个根，再根据新定义确定m的数值.
23．（2024九上·柳州开学考）如图，直线与轴、轴分别交于点、，抛物线经过点、，其顶点为．
（1）求抛物线的解析式．
（2）求的面积．
（3）点为直线上方抛物线上的任意一点，过点作轴交直线于点，求线段的最大值及此时点的坐标．
【答案】（1）解：当时，，
当时，，
，，
由题意得：，
解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）解：由抛物线的顶点式得：，
设的解析式为：，
则，
解得：，
∴的解析式为：，
令与轴交于点，
当时，，
解得：，则，
∴；
（3）解：设的解析式为：，
则：，
解得：，
的解析式为：，
点为直线上方抛物线上的任意一点，过点作轴，
设点，
则，
，
当时，有最大值，为，
此时．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）先由一次函数解析式求出、的坐标，再根据待定系数法求解抛物线解析式；
（2）先根据抛物线的顶点坐标求出AC解析式，再确定AC与x轴交点E的坐标，最后将三角形ABC分成三角形ABE和三角形CBE，由三角形面积公式即可求解；
（3）先求出AB解析式，表示出点P、点D的坐标，即可写出PD长度的表达式，再根据二次函数的性质
求出的最大值，此时的值就是的横坐标，进而求出其纵坐标．
1 / 1广西柳州三十五中2024-2025学年九年级上学期开学数学试卷
1．（2024九上·柳州开学考）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·柳州开学考）二次函数中，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．一切实数
3．（2024九上·柳州开学考）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
4．（2024九上·柳州开学考）一元二次方程的解为（ ）
A． B．， C．， D．
5．（2024九上·柳州开学考）已知二次函数，当时，随增大而减小，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·柳州开学考）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·柳州开学考）如图，是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．或
8．（2024九上·柳州开学考）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 ，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024九上·柳州开学考）年月日，第八届广西万村篮球赛暨广西社区运动会县级赛在柳州市鱼峰区白沙镇举行开赛仪式，据了解，本次鱼峰区比赛采用单循环制每两支球队之间都进行一场比赛，如果比赛共进行了场，则一共有多少支球队参加比赛？设一共有支球队参加比赛，根据题意可列方程是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024九上·柳州开学考）如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点是，对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点为；直线的解析式为下列结论：
；
；
方程有两个不相等的实数根；
抛物线与轴的另一个交点是；
当时，则，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024九上·柳州开学考）方程的解是 ．
12．（2024九上·柳州开学考）抛物线的顶点坐标为 ．
13．（2024九上·柳州开学考）关于x的一元二次方程x2＋2x－1＝0的两根之和为 ．
14．（2024九上·柳州开学考）已知点，在二次函数的图象上，若，则 填“”、“”或“”．
15．（2024九上·柳州开学考）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
16．（2024九上·柳州开学考）代数学中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为”小唐按此方法解关于的方程时，构造出如图所示的图形，已知阴影部分的面积为，则该方程的正数解为 ．
17．（2024九上·柳州开学考）解下列方程：
；
；
；
．
18．（2024九上·柳州开学考）有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒，求每轮传染中平均每人传染了多少个人．
19．（2024九上·柳州开学考）已知抛物线．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）将该抛物线向右平移个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求的值．
20．（2024九上·柳州开学考） 已知关于x的一元二次方程x2+6x+（2m+1）＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2-x1-x2≥8，求m的取值范围．
21．（2024九上·柳州开学考）“杭州亚运三人制篮球”赛将于月月日在我县举行，我县某商店抓住商机，销售某款篮球服月份平均每天售出件，每件盈利元为了扩大销售、增加盈利，月份该店准备采取降价措施，经过市场调研，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件．
（1）若降价元，求平均每天的销售数量；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为元？
22．（2024九上·柳州开学考）阅读与理解：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．
（1）通过计算，判断方程是否是“邻根方程”；
（2）已知关于的方程是常数是“邻根方程”，求的值．
23．（2024九上·柳州开学考）如图，直线与轴、轴分别交于点、，抛物线经过点、，其顶点为．
（1）求抛物线的解析式．
（2）求的面积．
（3）点为直线上方抛物线上的任意一点，过点作轴交直线于点，求线段的最大值及此时点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、是一元二次方程，故A正确；
B、是一元一次方程，故B错误；
C、是二元一次方程，故C错误；
D、是一元三次方程，故D错误；
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的定义逐一判断即可.
2．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵函数是二次函数，
∴，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的定义，二次项系数不能等于零即可解答.
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根 ，
∴1+m=0，
解之：m=-1.
故答案为：A
【分析】将x=1代入方程，可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
4．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
∴，
∴，，
故答案为：B.
【分析】提公因式x，利用因式分解法解一元二次方程即可．
5．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数，当时，y随x增大而减小，
∴a-1>0，
∴，
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的性质即可解答.
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A．Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×0=4>0，方程有两个不相等，故A错误；
B．Δ=b2-4ac=42-4×1×(-1)=20>0，方程有两个不相等，故B错误；
C．Δ=b2-4ac=(-5)2-4×3×2=1>0，方程有两个不相等，故C错误；
D．Δ=b2-4ac=(-4)2-4×2×3=-8<0，方程没有实数根，故D正确；
故答案为：D.
【分析】分别计算一元二次方程的判别式，利用判别式判断一元二次方程根的情况即可解答.
7．【答案】C
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵抛物线经过点（3，0），对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∵ax2＋bx＋c＞0，
∴y＞0，
∴对应抛物线在x轴上方，即在（﹣1，0）与（3，0）之间．
∴﹣1＜x＜3．
故答案为：C.
【分析】观察图象，得抛物线经过点（3，0），对称轴为直线x＝1，根据抛物线的对称性求出另一个交点，再结合图象确定不等式的解集即可.
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】设这种植物每个支干长出 个小分支，
依题意，得： ，
解得： （舍去）， ．
故答案为：C．
【分析】根据题意，可列出一元二次方程，解出结果即可。
9．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设一共有x支球队参加比赛，由题意，得：；
故答案为：D.
【分析】根据比赛采用单循环制（每两支球队之间都进行一场比赛），比赛共进行了78场，列出一元二次方程即可解答．
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①因为抛物线对称轴的直线，则，，故①正确；
②抛物线开口向下，故，
对称轴在y轴右侧，故，
抛物线与y轴交于正半轴，故，
，
故②错误，不符合题意；
③从图象看，两个函数图象有两个交点，故方程有两个不相等的实数根，③正确，符合题意；
④因为抛物线对称轴是：，，
所以抛物线与x轴的另一个交点是，
故④错误，不符合题意；
⑤由图象得：当时，有，故⑤正确，符合题意．
故正确的有：①③⑤．
故答案为：B.
【分析】根据抛物线对称轴为，即可判断①；根据开口方向、对称轴即可判断②；结合方程与函数的关系即可判断③；根据题中抛物线的对称轴和一个与x轴的交点即可确定另一个交点，从而判断④；由函数图象求不等式解集即可判断⑤.
11．【答案】，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得解得，，
故答案为：，
【分析】根据题意运用直接开平方法解一元二次方程即可求解。
12．【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
13．【答案】－2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设x1、x2是 一元二次方程x2＋2x－1＝0的两根，
则x1+x2=-2 ；
故答案为：-2.
【分析】根据根与系数的关系：，计算即可.
14．【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵y＝（x﹣3）2﹣2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，抛物线开口向上，
∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝（x﹣3）2﹣2图象上，
又∵a=>0，抛物线开口向上，对称轴为直线x=3，
∴在x<3时，y随x增大而减小，在x>3时，y随x增大而增大，
∵x1＜x2＜3，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【分析】根据抛物线顶点式可知对称轴为x=3，开口向上，得出在x<3时，y随x增大而减小，即可解答.
15．【答案】且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；根据一元二次根的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴且，
故答案为：且．
【分析】由一元二次方程的定义和根的判别式，列出不等式组即可解答.
16．【答案】4
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的应用-几何问题
17．【答案】解：，
，
解得：，；
，
，
，
，
；
，
，，，
，
，
；
，
，
，
解得：，．
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）因式分解法解方程即可；
（2）配方法解方程即可；
（3）公式法解方程即可；
（4）因式分解法解方程即可．
18．【答案】解：设每轮传染中平均每人传染了x人，
依题意，得，
即，
解方程，得，（舍去）．
答：每轮传染中平均每人传染了15人，
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【分析】 设每轮传染中平均每人传染了x人， 则第一轮传染x人，第二轮传染x(1+x)人，根据“ 经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒 ”列出方程并解之即可.
19．【答案】（1），
对称轴为直线；
（2）将该抛物线向右平移个单位长度，
新的抛物线的解析式为：，
把代入，得：，
解得：负值舍去．
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）将一般式转化为顶点式，即可求得对称轴；
（2）根据二次函数图象平移规则“左加右减，上加下减”，表示出新的抛物线的解析式，再将原点坐标代入求解即可．
20．【答案】（1）解：∵方程有实数根，
∴Δ＝36-4（2m+1）＝36-8m-4＝32-8m≥0，
解得：m≤4．
故m的取值范围是m≤4；
（2）解：∵x1，x2是方程x2+6x+（2m+1）＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝-6，x1·x2＝2m+1，
∵2x1x2-x1-x2≥8，
∴2（2m+1）+6≥8，
解得m≥0，
由（1）可得m≤4，
∴m的取值范围是0≤m≤4．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程有实数根可得Δ ≥0，即可求得m的取值范围；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可得x1+x2＝-6，x1·x2＝2m+1， 将其代入不等式得m的取值范围，再与（1）中的m的取值范围取交集可得.
21．【答案】（1）平均每天的销售数量为：件，
答：平均每天的销售数量件；
（2）设每件商品降价元，
根据题意，得：，
解得：，，
答：当每件商品降价元或元时，该商店每天销售利润为元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意得出，平均每天的销售量每件商品降低的价格，即可解答；
（2）设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件，利用总利润＝每件盈利×平均每天的销售量，列出关于的一元二次方程，即可解答．
22．【答案】（1），
，
解得：，，
，
故方程是“邻根方程”；
（2），
，
解得：，，
方程是常数是“邻根方程”，
，或．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）理解新定义后，运用因式分解法解一元二次方程，再根据新定义判断即可；
（2）先将原方程用因式分解法解出两个根，再根据新定义确定m的数值.
23．【答案】（1）解：当时，，
当时，，
，，
由题意得：，
解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）解：由抛物线的顶点式得：，
设的解析式为：，
则，
解得：，
∴的解析式为：，
令与轴交于点，
当时，，
解得：，则，
∴；
（3）解：设的解析式为：，
则：，
解得：，
的解析式为：，
点为直线上方抛物线上的任意一点，过点作轴，
设点，
则，
，
当时，有最大值，为，
此时．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）先由一次函数解析式求出、的坐标，再根据待定系数法求解抛物线解析式；
（2）先根据抛物线的顶点坐标求出AC解析式，再确定AC与x轴交点E的坐标，最后将三角形ABC分成三角形ABE和三角形CBE，由三角形面积公式即可求解；
（3）先求出AB解析式，表示出点P、点D的坐标，即可写出PD长度的表达式，再根据二次函数的性质
求出的最大值，此时的值就是的横坐标，进而求出其纵坐标．
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