广东省江门市新会区广雅中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题A卷
1．（2024高二上·新会月考）直线的斜率及在轴上的截距分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
2．（2024高二上·新会月考）已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高二上·新会月考）已知直线，，若，则实数的值为（ ）
A．1 B． C． D．
4．（2024高二上·新会月考）若如图中的直线的斜率为，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二上·新会月考）已知三棱锥，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高二上·新会月考）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二上·新会月考）如图所示，已知等腰直角三角形ADE与正方形ABCD所在的平面互相垂直，且，F是线段CD的中点，则BD与EF所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二上·新会月考）如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
9．（2024高二上·新会月考）空间直角坐标系中，已知，下列结论正确的有（ ）
A．
B．若，则
C．点A关于平面对称的点的坐标为
D．
10．（2024高二上·新会月考）已知直线：，，，则下列结论错误的是（ ）
A．直线恒过定点 B．当时，直线的倾斜角为
C．当时，直线的斜率不存在 D．当时，直线与直线平行
11．（2024高二上·新会月考）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．向量与所成角的余弦值为
C．平面的一个法向量是
D．点到平面的距离为
12．（2024高二上·新会月考）过点，且垂直于轴的直线方程是 .
13．（2024高二上·新会月考）设空间向量，，若，则＝ ．
14．（2024高二上·新会月考）已知直线过点且与x轴、y轴分别交于两点，O为坐标原点，则的最小值为 .
15．（2024高二上·新会月考）在空间直角坐标系中，已知向量，，．
（1）求，；
（2）求平面的一个法向量．
16．（2024高二上·新会月考）已知四边形的顶点.
（1）求斜率与斜率；
（2）求证：四边形为矩形.
17．（2024高二上·新会月考）已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高．
（1）求所在直线的方程；
（2）求高所在直线的方程.
18．（2024高二上·新会月考）如图，是边长为2的正三角形，是以AB为斜边的等腰直角三角形，且.
（1）求证：平面ABC平面ABD；
（2）求二面角A-BC-D的余弦值.
19．（2024高二上·新会月考）如图，边长为2的正方形中，点E是的中点，点F是的中点，将分别沿折起，使A C两点重合于点A'，连接.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】直线的斜截式方程
【解析】【解答】直线，即，
故直线的斜率为，在轴上的截距为，
故答案为：C.
【分析】本题考查直线的斜截式方程.先将直线方程化为斜截式，根据斜截式方程的定义可找出直线的斜率和在y轴上的截距.
2．【答案】D
【知识点】向量的数量积判断向量的共线与垂直；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，，所以根据空间向量的加减法、数量积以及模值运算可判断：
A.，A错误；
B.，B错误；
C.，C错误；
D.，D正确.
故答案为：D
【分析】本题考查空间向量的加减法，空间向量的数量积，空间向量的模长.根据空间向量的加法运算进行计算可判断A选项；根据空间向量的减法运算进行计算可判断B选项；根据空间向量的数量积公式进行计算可判断C选项；利用空间向量的模长公式进行计算可判断D选项.
3．【答案】A
【知识点】两条直线垂直的判定
【解析】【解答】由．
故答案为：A．
【分析】 利用直线与直线垂直的性质直接求解出答案.
4．【答案】C
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】设直线的倾斜角分别为，显然，且，
所以，
又在上单调递增，故，
所以.
故答案为：C
【分析】本题考查直线的倾斜角与斜率的关系.设直线的倾斜角分别为， 利用正切函数的符号可判断出，再利用正切函数的单调性可判断出，进而可选出选项.
5．【答案】C
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】
.
故答案为：C.
【分析】本题考查空间向量的线性运算.结合图形利用空间向量的加法运算可得：，再将进行替换，进行计算可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】空间向量的投影向量
【解析】【解答】向量，，则，
所以向量在向量上的投影向量为.
故答案为：A
【分析】本题考查空间向量的投影向量.先利用空间向量数量积求出，再根据投影向量的定义可得向量在向量上的投影向量为，代入数据可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】因为平面ADE⊥平面ABCD，平面平面ABCD=AD，AE⊥AD，平面ADE，
所以AE⊥平面ABCD，
又平面ABCD，所以AE⊥AB，
又AB⊥AD，所以AB，AD，AE两两垂直，
分别以AB、AD、AE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
可得B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，0，2），F（1，2，0），
∴，，
设BD与EF所成的角大小为α，
则，
即BD与EF所成的角的余弦值为，
故答案为：D.
【分析】本题考查利用空间向量异面直线的夹角.先利用平面与平面垂直的性质证明AE⊥平面ABCD，进而可推出AE⊥AB，分别以AB、AD、AE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，求出，，利用空间向量的夹角计算公式可求出 BD与EF所成的角的余弦值 .
8．【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】因图中是四个相同的正方体排成的正四棱柱，故在上的投影都是，
所以，，
即的值只有一个．
故答案为：A.
【分析】本题考查投影向量的定义.根据正四棱柱的结构特征可得：在上的投影都是，再利用投影向量的定义可得，再进行计算可求出答案.
9．【答案】A,B
【知识点】空间向量的投影向量；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】对于A和D.，
，，A正确，D错误.
对于B.若，则，则，B正确，
对于C.点A关于平面对称的点的坐标为，故C错误，
故答案为：AB.
【分析】本题考查空间向量，空间向量的数量积，空间向量的模长.利用空间向量的定义求出，可判断A选项；利用空间向量的数量积公式进行计算，可判断B选项；根据空间坐标系求出对称点，可判断C选项；利用空间向量的模长公式进行计算可判断D选项.
10．【答案】A,C,D
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；恒过定点的直线
【解析】【解答】对于A，当时，，直线恒过定点，A错误，符合题意，
对于B，当时，直线的斜率为，倾斜角为，B正确，不符合题意，
对于C，当时，直线的斜率为0，C错误，符合题意，
对于D，当时，直线经过，两点，故直线与直线重合，D错误，符合题意，
故答案为：ACD
【分析】由直线的斜率和倾斜角，直线的位置关系对选项逐一判断.
11．【答案】B,C,D
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；平面的法向量
【解析】【解答】解：因为正方体的棱长为 ，为的中点，为的中点，
所以，，，，，，
所以，故选项A错误；
，，所以，故选项B正确；
，，记，
则，故，
因为，平面，
所以垂直于平面，故选项C正确；
，所以点到平面的距离，故选项D正确；
故选：BCD
【分析】先根据题意写出需要的点的坐标，然后利用空间向量分别计算每个选项即可.
12．【答案】
【知识点】直线的点斜式方程
【解析】【解答】依题意，过点，且垂直于轴的直线方程是故答案为：
【分析】本题考查直线方程.根据过点垂直x轴的直线方程为：，可求出直线方程.
13．【答案】3
【知识点】空间向量平行的坐标表示；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】，则显然，，解得，
则，，
故答案为：3.
【分析】本题考查空间向量共线定理.根据，可列出式子：，进而可求出的值，再求出，利用空间向量的模长公式可求出答案
14．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；直线的截距式方程
【解析】【解答】直线与与x轴、y轴分别交于，
可设直线的截距式，
直线过点，
，且，
，
当且仅当，即时，取得最小值.
故答案为：.
【分析】本题考查直线的截距式方程，利用基本不等式求最值.根据题意可设直线的截距式
又知直线过点，据此可推出，采用1 的代换法，先乘以1，再将1进行替换，利用基本不等式可求出最小值.
15．【答案】（1），，，
，.
（2）设平面的一个法向量为，
则，即，令，得，，
，
所以平面的一个法向量为.
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示；平面的法向量
【解析】【分析】本题考查空间向量，空间向量的法向量.（1）根据空间向量减法运算可得：，，再代入数据进行计算可求出答案.
（2）设平面的一个法向量为，根据法向量的定义可得：，据此可列出式子，再进行计算可求出法向量.
（1），，，
，.
（2）设平面的一个法向量为，
则，即，令，得，，
，
所以平面的一个法向量为.
16．【答案】（1）因为，
所以，即.
（2）因为，所以.
又因为，所以，
所以四边形为平行四边形，
又因为，所以，
所以四边形为矩形.
【知识点】斜率的计算公式；用斜率判定两直线平行；用斜率判定两直线垂直
【解析】【分析】本题考查直线的斜率公式，两条直线平行的斜率转化，两条直线垂直的斜率转化.（1）利用直线的斜率公式：，代入数据进行计算可求出直线的斜率；
（2）根据（1）的结论可得：，据此可得推出：，同理利用斜率公式进行计算可得：，据此可推出：，再根据，可证明，据此可证明四边形为矩形.
（1）因为，
所以，即.
（2）因为，所以.
又因为，所以，
所以四边形为平行四边形，
又因为，所以，
所以四边形为矩形.
17．【答案】（1）因为是边的中点，所以，
所以直线的斜率，
所以所在直线的方程为：，即，
（2）因为是边AB的中点，所以，
因为是边上的高，
所以，所以，
所以，
因此高所在直线的方程为：，即.
【知识点】两条直线垂直的判定；直线的点斜式方程；平面内中点坐标公式
【解析】【分析】本题考查直线方程.（1）根据题意利用中点坐标公式求的坐标，利用直线的斜率公式：可求出直线的斜率，利用直线的点斜式求直线方程，再化为一般式可求出答案；
（2）根据两条直线垂直斜率相乘等于-1，据此可列出方程：，解方程可求出直线的斜率，再利用直线的点斜式可求出直线方程，再化为一般式可求出答案.
（1）因为是边的中点，所以，
所以直线的斜率，
所以所在直线的方程为：，即，
（2）因为是边AB的中点，所以，
因为是边上的高，
所以，所以，
所以，
因此高所在直线的方程为：，即.
18．【答案】（1）证明：取AB中点O，连OC OD，因为是边长为2的正三角形，是以AB为斜边的等腰直角三角形，所以，，
所以是二面角的平面角.
在中，
因为，，，所以
所以.
所以平面ABC平面ABD.
（2）过O作OMBC交BC于M，连DM，
由（1）可知面，又面，所以，由，面
所以BC平面DOM
因为面，所以BCDM，
则为二面角A-BC-D的平面角.
在中，，，由勾股定理：，
∴二面角A-BC-D的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】本题考查平面与平面垂直的判定，二面角的求法.（1）取AB中点O，连OC OD，利用二面角的定义可推出是二面角的平面角，再由勾股定理逆定理可得：，据此可推出，即二面角的平面角是直二面角，利用平面与平面垂直的定义可证明结论；
（2）过O作OMBC交BC于M，连DM，利用直线与平面垂直的判定定理可证明BC平面DOM，利用二面角的定义可推出为二面角A-BC-D的平面角，再利用勾股定理可求出，利用余弦函数的定义可求出二面角A-BC-D的余弦值.
19．【答案】（1）在正方形中，有，则，
又，平面，∴平面，
而平面，∴；
（2）方法一：∵正方形的边长为2，点E是的中点，点F是的中点，
∴，
∴，
∴，
由（1）得平面，
∴分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
∴，
设平面的一个法向量为，
则有，可取，
令直线与平面所成角为，
∴，
∴直线与平面所成角的正弦值为；
方法二：连接交于点，连接，
∵正方形中，点E是的中点，点F是的中点，
∴，
∴点G为的中点，则，
又，∴，
又平面，∴平面，
又面，所以面平面，
平面平面，∴在面的射影在上，
则为直线与平面所成角，
由（1）可得，∴为直角三角形，
在正方形中，，，
易得，，
又，∴，
∴，
∴直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角.（1）根据折叠的性质可得：，利用直线与平面垂直的判定定理可证明平面，利用直线与平面垂直的性质可证明 ；
（2）方法一：先利用勾股定理可证明，根据（1）的结论可得：平面，以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，写出对应点的坐标，求出，求出平面的一个法向量，利用直线与平面所成角的定义可求出答案；
方法二：连接交于点，连接，根据正方形的性质可得，利用等腰三角形的性质可证明，，利用直线与平面垂直的判定定理可证明平面，进而可证明面平面，根据直线与平面所成角的定义可得为直线与平面所成角，再利用正弦的定义可求出直线与平面所成角的正弦值.
（1）在正方形中，有，
则，
又，平面，∴平面，
而平面，∴；
（2）方法一：∵正方形的边长为2，点E是的中点，点F是的中点，
∴，
∴，
∴，
由（1）得平面，
∴分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
∴，
设平面的一个法向量为，
则有，可取，
令直线与平面所成角为，
∴，
∴直线与平面所成角的正弦值为；
方法二：连接交于点，连接，
∵正方形中，点E是的中点，点F是的中点，
∴，
∴点G为的中点，则，
又，∴，
又平面，∴平面，
又面，所以面平面，
平面平面，∴在面的射影在上，
则为直线与平面所成角，
由（1）可得，∴为直角三角形，
在正方形中，，，
易得，，
又，∴，
∴，
∴直线与平面所成角的正弦值为.
1 / 1广东省江门市新会区广雅中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题A卷
1．（2024高二上·新会月考）直线的斜率及在轴上的截距分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【知识点】直线的斜截式方程
【解析】【解答】直线，即，
故直线的斜率为，在轴上的截距为，
故答案为：C.
【分析】本题考查直线的斜截式方程.先将直线方程化为斜截式，根据斜截式方程的定义可找出直线的斜率和在y轴上的截距.
2．（2024高二上·新会月考）已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】向量的数量积判断向量的共线与垂直；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，，所以根据空间向量的加减法、数量积以及模值运算可判断：
A.，A错误；
B.，B错误；
C.，C错误；
D.，D正确.
故答案为：D
【分析】本题考查空间向量的加减法，空间向量的数量积，空间向量的模长.根据空间向量的加法运算进行计算可判断A选项；根据空间向量的减法运算进行计算可判断B选项；根据空间向量的数量积公式进行计算可判断C选项；利用空间向量的模长公式进行计算可判断D选项.
3．（2024高二上·新会月考）已知直线，，若，则实数的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【知识点】两条直线垂直的判定
【解析】【解答】由．
故答案为：A．
【分析】 利用直线与直线垂直的性质直接求解出答案.
4．（2024高二上·新会月考）若如图中的直线的斜率为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】设直线的倾斜角分别为，显然，且，
所以，
又在上单调递增，故，
所以.
故答案为：C
【分析】本题考查直线的倾斜角与斜率的关系.设直线的倾斜角分别为， 利用正切函数的符号可判断出，再利用正切函数的单调性可判断出，进而可选出选项.
5．（2024高二上·新会月考）已知三棱锥，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】
.
故答案为：C.
【分析】本题考查空间向量的线性运算.结合图形利用空间向量的加法运算可得：，再将进行替换，进行计算可求出答案.
6．（2024高二上·新会月考）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量的投影向量
【解析】【解答】向量，，则，
所以向量在向量上的投影向量为.
故答案为：A
【分析】本题考查空间向量的投影向量.先利用空间向量数量积求出，再根据投影向量的定义可得向量在向量上的投影向量为，代入数据可求出答案.
7．（2024高二上·新会月考）如图所示，已知等腰直角三角形ADE与正方形ABCD所在的平面互相垂直，且，F是线段CD的中点，则BD与EF所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】因为平面ADE⊥平面ABCD，平面平面ABCD=AD，AE⊥AD，平面ADE，
所以AE⊥平面ABCD，
又平面ABCD，所以AE⊥AB，
又AB⊥AD，所以AB，AD，AE两两垂直，
分别以AB、AD、AE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
可得B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，0，2），F（1，2，0），
∴，，
设BD与EF所成的角大小为α，
则，
即BD与EF所成的角的余弦值为，
故答案为：D.
【分析】本题考查利用空间向量异面直线的夹角.先利用平面与平面垂直的性质证明AE⊥平面ABCD，进而可推出AE⊥AB，分别以AB、AD、AE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，求出，，利用空间向量的夹角计算公式可求出 BD与EF所成的角的余弦值 .
8．（2024高二上·新会月考）如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】因图中是四个相同的正方体排成的正四棱柱，故在上的投影都是，
所以，，
即的值只有一个．
故答案为：A.
【分析】本题考查投影向量的定义.根据正四棱柱的结构特征可得：在上的投影都是，再利用投影向量的定义可得，再进行计算可求出答案.
9．（2024高二上·新会月考）空间直角坐标系中，已知，下列结论正确的有（ ）
A．
B．若，则
C．点A关于平面对称的点的坐标为
D．
【答案】A,B
【知识点】空间向量的投影向量；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】对于A和D.，
，，A正确，D错误.
对于B.若，则，则，B正确，
对于C.点A关于平面对称的点的坐标为，故C错误，
故答案为：AB.
【分析】本题考查空间向量，空间向量的数量积，空间向量的模长.利用空间向量的定义求出，可判断A选项；利用空间向量的数量积公式进行计算，可判断B选项；根据空间坐标系求出对称点，可判断C选项；利用空间向量的模长公式进行计算可判断D选项.
10．（2024高二上·新会月考）已知直线：，，，则下列结论错误的是（ ）
A．直线恒过定点 B．当时，直线的倾斜角为
C．当时，直线的斜率不存在 D．当时，直线与直线平行
【答案】A,C,D
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；恒过定点的直线
【解析】【解答】对于A，当时，，直线恒过定点，A错误，符合题意，
对于B，当时，直线的斜率为，倾斜角为，B正确，不符合题意，
对于C，当时，直线的斜率为0，C错误，符合题意，
对于D，当时，直线经过，两点，故直线与直线重合，D错误，符合题意，
故答案为：ACD
【分析】由直线的斜率和倾斜角，直线的位置关系对选项逐一判断.
11．（2024高二上·新会月考）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．向量与所成角的余弦值为
C．平面的一个法向量是
D．点到平面的距离为
【答案】B,C,D
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；平面的法向量
【解析】【解答】解：因为正方体的棱长为 ，为的中点，为的中点，
所以，，，，，，
所以，故选项A错误；
，，所以，故选项B正确；
，，记，
则，故，
因为，平面，
所以垂直于平面，故选项C正确；
，所以点到平面的距离，故选项D正确；
故选：BCD
【分析】先根据题意写出需要的点的坐标，然后利用空间向量分别计算每个选项即可.
12．（2024高二上·新会月考）过点，且垂直于轴的直线方程是 .
【答案】
【知识点】直线的点斜式方程
【解析】【解答】依题意，过点，且垂直于轴的直线方程是故答案为：
【分析】本题考查直线方程.根据过点垂直x轴的直线方程为：，可求出直线方程.
13．（2024高二上·新会月考）设空间向量，，若，则＝ ．
【答案】3
【知识点】空间向量平行的坐标表示；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】，则显然，，解得，
则，，
故答案为：3.
【分析】本题考查空间向量共线定理.根据，可列出式子：，进而可求出的值，再求出，利用空间向量的模长公式可求出答案
14．（2024高二上·新会月考）已知直线过点且与x轴、y轴分别交于两点，O为坐标原点，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；直线的截距式方程
【解析】【解答】直线与与x轴、y轴分别交于，
可设直线的截距式，
直线过点，
，且，
，
当且仅当，即时，取得最小值.
故答案为：.
【分析】本题考查直线的截距式方程，利用基本不等式求最值.根据题意可设直线的截距式
又知直线过点，据此可推出，采用1 的代换法，先乘以1，再将1进行替换，利用基本不等式可求出最小值.
15．（2024高二上·新会月考）在空间直角坐标系中，已知向量，，．
（1）求，；
（2）求平面的一个法向量．
【答案】（1），，，
，.
（2）设平面的一个法向量为，
则，即，令，得，，
，
所以平面的一个法向量为.
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示；平面的法向量
【解析】【分析】本题考查空间向量，空间向量的法向量.（1）根据空间向量减法运算可得：，，再代入数据进行计算可求出答案.
（2）设平面的一个法向量为，根据法向量的定义可得：，据此可列出式子，再进行计算可求出法向量.
（1），，，
，.
（2）设平面的一个法向量为，
则，即，令，得，，
，
所以平面的一个法向量为.
16．（2024高二上·新会月考）已知四边形的顶点.
（1）求斜率与斜率；
（2）求证：四边形为矩形.
【答案】（1）因为，
所以，即.
（2）因为，所以.
又因为，所以，
所以四边形为平行四边形，
又因为，所以，
所以四边形为矩形.
【知识点】斜率的计算公式；用斜率判定两直线平行；用斜率判定两直线垂直
【解析】【分析】本题考查直线的斜率公式，两条直线平行的斜率转化，两条直线垂直的斜率转化.（1）利用直线的斜率公式：，代入数据进行计算可求出直线的斜率；
（2）根据（1）的结论可得：，据此可得推出：，同理利用斜率公式进行计算可得：，据此可推出：，再根据，可证明，据此可证明四边形为矩形.
（1）因为，
所以，即.
（2）因为，所以.
又因为，所以，
所以四边形为平行四边形，
又因为，所以，
所以四边形为矩形.
17．（2024高二上·新会月考）已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高．
（1）求所在直线的方程；
（2）求高所在直线的方程.
【答案】（1）因为是边的中点，所以，
所以直线的斜率，
所以所在直线的方程为：，即，
（2）因为是边AB的中点，所以，
因为是边上的高，
所以，所以，
所以，
因此高所在直线的方程为：，即.
【知识点】两条直线垂直的判定；直线的点斜式方程；平面内中点坐标公式
【解析】【分析】本题考查直线方程.（1）根据题意利用中点坐标公式求的坐标，利用直线的斜率公式：可求出直线的斜率，利用直线的点斜式求直线方程，再化为一般式可求出答案；
（2）根据两条直线垂直斜率相乘等于-1，据此可列出方程：，解方程可求出直线的斜率，再利用直线的点斜式可求出直线方程，再化为一般式可求出答案.
（1）因为是边的中点，所以，
所以直线的斜率，
所以所在直线的方程为：，即，
（2）因为是边AB的中点，所以，
因为是边上的高，
所以，所以，
所以，
因此高所在直线的方程为：，即.
18．（2024高二上·新会月考）如图，是边长为2的正三角形，是以AB为斜边的等腰直角三角形，且.
（1）求证：平面ABC平面ABD；
（2）求二面角A-BC-D的余弦值.
【答案】（1）证明：取AB中点O，连OC OD，因为是边长为2的正三角形，是以AB为斜边的等腰直角三角形，所以，，
所以是二面角的平面角.
在中，
因为，，，所以
所以.
所以平面ABC平面ABD.
（2）过O作OMBC交BC于M，连DM，
由（1）可知面，又面，所以，由，面
所以BC平面DOM
因为面，所以BCDM，
则为二面角A-BC-D的平面角.
在中，，，由勾股定理：，
∴二面角A-BC-D的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】本题考查平面与平面垂直的判定，二面角的求法.（1）取AB中点O，连OC OD，利用二面角的定义可推出是二面角的平面角，再由勾股定理逆定理可得：，据此可推出，即二面角的平面角是直二面角，利用平面与平面垂直的定义可证明结论；
（2）过O作OMBC交BC于M，连DM，利用直线与平面垂直的判定定理可证明BC平面DOM，利用二面角的定义可推出为二面角A-BC-D的平面角，再利用勾股定理可求出，利用余弦函数的定义可求出二面角A-BC-D的余弦值.
19．（2024高二上·新会月考）如图，边长为2的正方形中，点E是的中点，点F是的中点，将分别沿折起，使A C两点重合于点A'，连接.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）在正方形中，有，则，
又，平面，∴平面，
而平面，∴；
（2）方法一：∵正方形的边长为2，点E是的中点，点F是的中点，
∴，
∴，
∴，
由（1）得平面，
∴分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
∴，
设平面的一个法向量为，
则有，可取，
令直线与平面所成角为，
∴，
∴直线与平面所成角的正弦值为；
方法二：连接交于点，连接，
∵正方形中，点E是的中点，点F是的中点，
∴，
∴点G为的中点，则，
又，∴，
又平面，∴平面，
又面，所以面平面，
平面平面，∴在面的射影在上，
则为直线与平面所成角，
由（1）可得，∴为直角三角形，
在正方形中，，，
易得，，
又，∴，
∴，
∴直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角.（1）根据折叠的性质可得：，利用直线与平面垂直的判定定理可证明平面，利用直线与平面垂直的性质可证明 ；
（2）方法一：先利用勾股定理可证明，根据（1）的结论可得：平面，以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，写出对应点的坐标，求出，求出平面的一个法向量，利用直线与平面所成角的定义可求出答案；
方法二：连接交于点，连接，根据正方形的性质可得，利用等腰三角形的性质可证明，，利用直线与平面垂直的判定定理可证明平面，进而可证明面平面，根据直线与平面所成角的定义可得为直线与平面所成角，再利用正弦的定义可求出直线与平面所成角的正弦值.
（1）在正方形中，有，
则，
又，平面，∴平面，
而平面，∴；
（2）方法一：∵正方形的边长为2，点E是的中点，点F是的中点，
∴，
∴，
∴，
由（1）得平面，
∴分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
∴，
设平面的一个法向量为，
则有，可取，
令直线与平面所成角为，
∴，
∴直线与平面所成角的正弦值为；
方法二：连接交于点，连接，
∵正方形中，点E是的中点，点F是的中点，
∴，
∴点G为的中点，则，
又，∴，
又平面，∴平面，
又面，所以面平面，
平面平面，∴在面的射影在上，
则为直线与平面所成角，
由（1）可得，∴为直角三角形，
在正方形中，，，
易得，，
又，∴，
∴，
∴直线与平面所成角的正弦值为.
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