2024年北京丰台高二（上）期中数学（教师版）（PDF版，含答案）

2024北京丰台高二（上）期中
数 学
考试时间：120 分钟
第 I 卷（选择题 共 40 分）
一、选.择题：本部分共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出最符合题意的一项. 1. 已知 a = (2, 1,1) ， b = (4, 2,x) ，且 a∥b ，则 x = A 10 B. 2 C. 2 D. 10 2. 若直线 l 过两点 (0,0) 和 (1, 3) ，则直线 l 的倾斜角为 2π π 5π π
A. B. C. D.
3 3 6 6
3. 过点 A(1,4)，且横、纵截距相等的直线方程为
A. y = 4x或 y = x B. x + y + 5 = 0或 y = 4x
C. x y + 3 = 0 或 x + y 5 = 0 D. x + y 5 = 0或 y = 4x
4. 已知以点 (0,1) 为圆心，2 为半径的圆 C，则点M (1,2)与圆 C 的位置关系是
A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 无法判断
5．如图，在平行六面体 ABCD EFGH 中， AB = a,AD = b,AE = c ， I 为线段
E H
CH 的中点，则 AI 可表示为
F G
1 1 1 1
A. a + b + c B. a + b + c I
2 2 2 2 A D
1 1 1 1 B
C. a b + c D. a b + c C
2 2 2 2
6. 在空间直角坐标系 Oxyz 中，若点 B( 1,2,3)关于 y 轴的对称点为点 B ，点C(1,1, 2) 关于 Oyz 平面的对称
点为点C ，则 B C =
A． ( 2, 1,1) B． (0, 3,5) C． (2,1,-1) D． (0,3, 5)
7. 过原点且倾斜角为30 的直线被圆 x2 + (y 2)2 = 4所截得的弦长为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 3
8. 设 A,B 是 x 轴上的两点，点 P 的横坐标为 2，且 | PA |=| PB |，若直线 PA 的方程为 x y +1= 0 ，则直线
PB 的方程为
A. 2x + y 7 = 0 B. 2x y 4 = 0
C. x + y 5 = 0 D. x + y 1= 0
9. 在棱长为 4 的正方体内有一点 P，它到该正方体共顶点的三个面的距离分别为 2，1，1，记正方体的中心
为点 O，则 OP =
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A. 10 B. 6 C. 2 D. 2
10. 已知在棱长为 2 的正四面体中，点 M 满足 AM = xAB + yAC (x + y 1)AD ，点 N 满足
BN = BA+ (1 )BC ，当 AM，BN 均最短时， AM MN =
4 4 1 1
A． B. C. D.
3 3 3 3
第Ⅱ卷（非选择题共 110 分）
二、填空题：本题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.
2 2
11. 圆 x + y 2x + 6y + 9 = 0 的圆心坐标为___________；半径为___________.
12. 已知直线 l∥ ，且 l 的方向向量为 (2,m,1) ，平面 的法向量为 (1,1,2) ，
则m= .
13. 已知两平行直线 l1 : x + 2y 3 = 0， l2 : 2x +my 1= 0 ，则 l1 与 l2 间的距离是________.
14. 已知 AB = (2, 1,3) ， AC = ( 1,1, 2) ， AD = (2, 1, ) ，若 A，B，C，D 四点共面，则实数 =
__________________.
15. 在平面直角坐标系中，定义 d (A,B) = max{| x1 x2 |,| y1 y2 |}为两点 A(x1,y1), B(x2,y2 ) 的“切比雪夫距
离”，又设点 P 及直线 l 上任一点Q ，称 d (P,Q) 的最小值为点 P 到直线 l 的“切比雪夫距离”，记作
d (P,l) .已知点 P(3,1) 和直线 l : 2x y 1= 0 ，则 d (P,l) = ；若定点C(x0,y0 ) ，动点 P(x,y) 满足
d (C,P) = r(r 0) ，则点 P所在的曲线所围成图形的面积是 .
三、解答题：本题共 6 小题,共 85 分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
16.（本小题共 13 分）
已知直线 l 过点 (2,2)1 ，直线 l2 : y = x．
（Ⅰ）若 l1 ⊥ l2 ，求直线 l1 的方程；
（Ⅱ）若直线 l1 和 l x2 与 轴所围成的三角形的面积为 2，求直线 l1 的方程．
17. （本小题共 14 分）
如图所示，在三棱柱 ABC A1B1C1中，CA = a,CB = b,CC = c ，CA =CB =CC1=21 ，
2π π
ACB = ACC1 = ， BCC1 = ，点 N 是棱 AB 的中点，点M 在棱C1B1上，
3 2
且C1M = 2MB1 .
（Ⅰ）用a,b,c 表示向量 AM ；
（Ⅱ）求 AM ；
（Ⅲ）求证： AM ⊥ A1N .
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18. （本小题共 14 分）
C M B1 1
C : x2已知圆 + y
2 2x + 4y 4 = 0 2 2，圆C : (x 3) + (y 1) = 4及点 P(3,1)1 .
A
（Ⅰ）判断圆C 和圆C1的位置关系，并说明理由；
1
（Ⅱ）若斜率为 k 的直线 l 经过点 P且与圆C 相切，求直线 l 的方程. B
C
N
A
19. （本小题共 15 分）
如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB = 3， AD = AA1 = 2，点 E 在 AB上，且 AE=1.
（Ⅰ）求直线 BC1与直线CE 所成角的大小； D1 C1
（Ⅱ）求直线 BC1与平面 A1EC 所成角的正弦值；
A B11
（Ⅲ）若点 P在侧面 A1ABB1上，且点 P到直线 BB1和CD 的距离相等，求 D
C
点 P 到直线 AD1距离的最小值．
A E B
20. （本小题共 15 分）
如图，在四棱锥 P ABCD 中， CD ⊥ 平面 PAD ， △PAD 为等腰三角形， PA = PD = 5 ，
AD∥BC ， AD = CD = 2BC = 2 ，点 E,F 分别为棱 PD,PB 的中点．
（Ⅰ）求证：直线 BD∥平面 AEF；
（Ⅱ）求直线 BD 到平面 AEF 的距离；
35
（Ⅲ）试判断棱 PC 上是否存在一点 G，使平面 AEF 与平面 ADG 夹角的余弦值为 ，若存在，求
7
PG
出 的值；若不存在，请说明理由.
PC
21. （本小题共 14 分）
已知圆 M 的圆心在 y 轴上，半径为 2，且经过点 A( 2,2) . P
（Ⅰ）求圆 M 的标准方程； E F
（Ⅱ）设点 D(0,1)，过点 D 作直线 l1 ，交圆 M 于 P，Q 两点（P，Q 不在 y 轴 D
C
上），过点 D 作与直线 l1 垂直的直线 l2 ，交圆 M 于 E，F 两点，记四边 B
形 EPFQ 的面积为 S，求 S 的最大值. A
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
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参考答案
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、 选择题（每小题 4 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D A B A B C D A
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、 填空题（每小题 5 分，共 25 分）
5 4 2
11. (1, 3)；1 12. 4 13. 14. 3 15. ； 4r
2 3
（第一个空 3 分；第二个空 2 分)
三、 解答题（共 85 分）
16.（本小题共 13 分）
解：（I）设直线 l1的斜率为 k1 ，直线 l2 的斜率为 k2 ，
因为 l1 ⊥ l2 ，所以 k1 k2 = 1， ...............2 分
又因为 k2 =1，所以 k1 = 1， ...............3 分
又因为直线 l1过点(2,2)
所以直线 l1的方程为 y 2 = ( 1) (x 2) ，即 x + y 4 = 0 ．.............6 分
（II）若直线 l1斜率不存在，则直线 l1： x = 2 ，
此时，直线 l1和直线 l2 与 x 轴围成的三角形面积为 2，符合题意. .............8 分
若直线 l1斜率存在，设直线 l1的斜率为 k(k 0)，
设直线 l ： y 2 = k(x 2)1 ，与 x 轴交点为点 A ，
2 2
令 y = 0，解得 x = 2 ，所以点 A 坐标为 (2 ,0) ..............10 分
k k
直线 l1与直线 l2 的交点为点(2,2)
因为直线 l1和直线 l2 与 x 轴所围成的三角形面积为 2，
1 2 1
即 S = 2 | OA |= 2 ，即 | 2 |= 2 ，解得 k = ...............12 分
2 k 2
1
则直线 l1的方程为 y 2 = (x 2)， ...............13 分
2
综上：直线 l1的方程为 x = 2 或 x 2y + 2 = 0．
17. （本小题共 14 分）
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2
解：（I） AM CM CA CC1 C M CA a b c .............4 分 1
3
2 2
（II） AM （ 2a b c）
3
4 4 1 1 148
=4+ 4+4 2 2 （ ） 2 4 ( )= ，
9 3 2 2 9
2 37
则 AM .............8 分
3
1
（III） A1N CN CA1 (CA CB) (CA CC 1)
2
1 1 1 1
CA CB CC a b c .............10 分 1
2 2 2 2
2 1 1
AM A1N ( a b c) ( a b c)
3 2 2
1 2 1 1 1 1 2 1 2 2
a a b a c a b b b c a c b c c
2 3 2 2 3 2 3
1 2 1 2 2 5 1 1
a b c a b+ a c b c
2 3 6 2 6
1 5 1 1 1
2+ 2 2-2 2- 2 2 （- ）+ 2 2 （- ）-0
3 6 2 2 2
0 .............12 分
所以 AM A1N ，即 AM A1N . ............. 13 分
18.（本小题共 14 分）
2 2
（I）圆C 方程可整理为： (x 1) + (y + 2) = 9，
则圆心C(1, 2)，半径 r = 3， ...............2 分
由圆C1 方程可知：圆心C1(3,1) ，半径 r1 = 2 ， ...............3 分
2 2
因为 | CC1 |= (1 3) + ( 2 1) = 13 ， ...............4 分
r + r1 = 5， r r1 =1，
所以 r r1 | CC1 | r + r1 ， ...............5 分
所以圆C 和圆C1 相交. ...............6 分
（II）当过 P(3,1) 的直线斜率不存在，
即直线为 x = 3时，其与圆C 不相切， ...............7 分
所以可设所求切线方程为： y 1= k(x 3) ，即 kx y 3k +1= 0 ，....8 分
| 3 2k | 2 2
所以圆心C 到切线的距离 d = = 3，即9k + 9 = (3 2k) ，..10 分
k 2 +1
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12
解得： k = 0 或 k = ， ...............12 分
5
12
所以切线方程为： y =1或 y 1= (x 3)，
5
即 y =1或12x + 5y 41= 0 . ...............14 分
19．（本小题共 15 分） z
解：以 D 为坐标原点，分别以 DA, DC, DD1 所在直线为 x 轴， y 轴， z D1 C1
轴建立空间直角坐标系，如图所示：
A B11
D(0,0,0),C(0,3,0), A(2,0,0)，B(2,3,0),
D C y
E(2,1,0), A1(2,0,2),C1(0,3,2)
...............1 分 A E B
x
(I) BC1 ( 2,0,2), EC ( 2,2,0) ............... 2 分
BC1 EC 4 1cos BC1, EC ............... 4 分
BC 2 2 2 2 21 EC
所以直线 BC1 与直线 EC 所成角为60 . ............... 5 分
（II）设平面 A EC 的一个法向量为 n (x, y, z)1
A1E (0,1, 2), EC ( 2,2,0)
n A1E n A1E 0 y 2z 0
因为 所以
n EC n EC 0 2x 2y 0
设 z=1 ,则 y=2,x=2
所以 n (2,2,1) ............... 8 分
设直线 BC1 与平面 A1EC 所成角为
BC1 n 2 2 2 1 2
则 sin cos BC1,n
BC n 2 2 3 61
2
所以直线 BC1 与平面 A1EC 所成角的正弦值为 . ...............10 分
6
2
（III）设 P(2,a,b)，a [0,3],b [0, 2]，根据题意有3 a b 4 ，
2 2
即b (3 a) 4 ............... 12 分
AP (0,a,b), AD1 ( 2,0,2)
则点 P 到 AD1 的距离
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2 AD
d AP (AP 1 )2 a2 b2
2b
( )2
AD 2 21
1
a2 b2
1
= a2 (3 a)2
3 2 5 3
2 a 3a+ = （a 1)2 1 ...............14 分
2 2 2 2 2
当 a=1时， d 取得最小值 1. ...............15 分
20. （本小题共 15 分）
解：（I）连接 BD
因为点 E, F 分别为棱 PD, PB 的中点，
所以 EF 是 PBD的中位线，
所以 EF / /BD ， ............... 2 分
因为 EF 平面 EFA， BD 平面 EFA， ............... 3 分
所以 BD / / 平面 EFA . ............... 4 分
（II）由（I）知直线 BD到平面 AEF 的距离等于点 B 到平面 AEF 的距离
取 AD 中点O ，连接OB,OP ，
因为 AD / /BC, AD 2BC 2 ，
所以四边形OBCD为平行四边形，
所以OB / /DC ，
因为CD 平面 PAD ，所以OB 平面 PAD ，
所以OB AD,OB OP，
因为 PA PD,O 为 AD 中点，
所以 PO AD . ............... 5 分
以O 为坐标原点，分别以OA,OB,OP 所在直线为 x轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，如图所示:
O(0,0,0), A(1,0,0)，B(0, 2,0), D( 1,0,0),
z
1
P(0,0,2),C( 1,2,0), E( ,0,1), F(0,1,1)
2 P
设平面 AEF 的一个法向量为n (x, y, z) E F
D C
n AE n AE 0 O y
因为 所以 B
n EF n EF 0
A
3 x
x z 0
2
所以
1
x y 0
2
设 x=2 ,则 y 1, z 3所以 n (2, 1,3) ............. 7 分
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AB ( 1,2,0)
AB n -2-2 2 14
d = ............... 9 分
n 14 7
35
（III）棱 PC 上存在点G ，使平面 AEF 与平面 ADG 夹角的余弦值为
7
............... 10 分
设 PG = PC(0 1)
AD ( 2,0,0), AP ( 1,0,2), PC ( 1,2, 2)
AG = AP + PG = ( 1,0,2)+ ( 1,2, 2) = ( 1 , 2 , 2 2 )
............... 11 分
设平面 ADG 的一个法向量为m (x, y, z)
m AD m AD 0
因为 所以
m AG m AG 0
2x = 0

（ 1 )x + 2 y + (2 2 )z = 0
设 z= ,则 x = 1, y = 1 所以n = (0, 1, ) ............... 13 分
n m ( 1）+3 35
cos n,m = = = ............... 14 分
n m 2 ( 1)2 + 9 2 7
3
解得 = [0,1]
4
PG 3
所以 = ............... 15 分
PC 4
21. （本小题共 14 分）
(1) 因为圆 M 的圆心在 y 轴上，可设圆心坐标为M (0,b)，
又因为半径为 2，且经过点 A( 2, 2)，
所以 | AM |= ( 2)
2 + (2 b)2 = 2，解得：b = 2 ，
2 2
所以圆 M 的标准方程为： x + (y 2) = 4 . ...............4 分
（II）若直线 l1的斜率不存在，则 l1的方程为 x = 0 ， l2 的方程为 y =1，
1
则 | PQ |= 4,| EF |= 2 3，则 S = | EF | | PQ |= 4 3 ， ...............5 分
2
若直线 l1的斜率存在，设直线直线 l1的方程 y = kx +1，即 kx y +1= 0，
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| 2+1| 1
则圆心 (0, 2)到直线 l1的距离 d1 = = ，
k 2 +1 k 2 +1
1 4k 2 +3
所以 | PQ |= 2 4 = 2 ， ...............8 分
k 2 +1 k 2 +1
若 k = 0 ，则直线 l2 斜率不存在，
1
则 | PQ |= 2 3,| EF |= 4，则 S = | EF | | PQ |= 4 3 ， ...............9 分若 k 0 ，则直线 l2 得方程为
2
1
y = x +1，即 x + ky k = 0，
k
k
则圆心 (0, 2)到直线 l1的距离d2 = ，
k 2 +1
k 2 3k 2 + 4
所以 | EF |= 2 4 = 2 ， ...............11 分
k 2 +1 k 2 +1
1 (4k 2 +3)(3k 2 + 4) 12(k 2 +1)2 + k 2
则 S = | EF | | PQ |= 2 = 2
2 (k 2 +1)2 (k 2 +1)2
k 2 1 1 1
= 2 12+ = 2 12+ 2 12+ = 7 2当 且 仅 当 k = ， 即
(k 2 +1)2 1 k 2
k 2 + + 2 1
2 2 k
2 + 2
k k 2
k = 1时，取等号，
综上所述，因为7 = 49 4 3，
所以 S 的最大值为 7. ...............14 分
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