湖南省长沙市望城区第二中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题
1．（2024高二上·望城月考）已知直线与垂直，垂足为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】充要条件；两条直线垂直的判定
【解析】【解答】解：因为直线：与直线：互相垂直，则，解得，
又因两直线垂足为，则，解得，
将代入直线，则，
解之得，
所以.
故选：B.
【分析】根据两直线垂直的充要条件（如果两条直线的斜率分别为和 ，那么这两条直线垂直的充要条件是）求出，再把点代入直线，可把值求出，再把已知点代入另一直线中，求出得解．
2．（2024高二上·望城月考）函数，若存在，使得对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由，又，
因为任意，都有，
所以是函数的最小值，也是极小值，
故有两实根，即有两实根，则，
记二次函数的零点为，
且，则在，上单调递增，在上单调递减，
当时，，因为是最小值，
所以，即，
解得，故，
故选：B．
【分析】因为任意，都有，根据最小值的定义可得是函数的最小值，也是极小值，由有两实根可得实数的取值范围，又当时，，故只需即可.
3．（2024高二上·望城月考）如图，过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由双曲线，可得，则且，
设是双曲线的右焦点，连接，
因为分别为的中点，，
在直角中，可得，
又由双曲线的定义，可得，
所以.
故选：A.
【分析】根据三角形的中位线性质（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半），得到，再由双曲线的定义，以及圆的切线性质，即可得到结论．
4．（2024高二上·望城月考）一块电路板的AB线路之间有100个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊接点脱落造成的，要想借助万用表，利用二分法的思想检测出哪处焊接点脱落，最多需要检测（ ）
A．4次 B．6次 C．7次 D．50次
【答案】C
【知识点】二分法求方程近似解
【解析】【解答】解：第一次，可去掉50个结果，从剩余的50个中继续二分法；
第二次，可去掉25个结果，从剩余的25个中继续二分法；
第三次，可去掉12或13个结果，考虑至多的情况，所以去掉12个结果，从剩余的13个中继续二分法；
第四次，可去掉6或7个结果，考虑至多的情况，所以去掉6个结果，从剩余的7个中继续二分法；
第五次，可去掉3或4个结果，考虑至多的情况，所以去掉3个结果，从剩余的4个中继续二分法；
第六次，可去掉2个结果，从剩余的2个中继续二分法；
第七次，可去掉1个结果，得到最终结果.
所以最多需要检测7次.
故选：C
【分析】由题意，根据二分法的思想，即可得出结论.
5．（2024高二上·望城月考）下列说法错误的是（ ）
A． B．所有的单位向量的模均相等
C．零向量与任何向量共线 D．相等向量必为共线向量
【答案】A
【知识点】向量的模；共线（平行）向量；相等向量
【解析】【解答】解：对A：因为，故A错；
对B：因为所有的单位向量的模均为1，故B正确；
对C：规定：零向量与任何向量共线，故C正确；
对D：因为相等向量方向相同，所以相等向量必共线，故D正确.
故选：A
【分析】根据实数与向量的积判断A，根据单位向量的概念（单位向量是指模等于1的向量）判断B，根据零向量的性质判断C，根据相等向量的性质（相等向量的模（长度）必须而且两个向量的方向必须相同）判断D.
6．（2024高二上·望城月考）若log2a<0， ，则（ ）
A．a>1，b>0 B．a>1，b<0
C．0
0 D．0【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】 ，则 ； ，则 。
故答案为：D。
【分析】利用对数函数的单调性结合特殊值0对应的对数的大小比较求出a的取值范围，再利用指数函数的单调性结合特殊值1对应的指数幂的大小比较求出b的取值范围，从而选出正确的选项。
7．（2024高二上·望城月考）空间直角坐标系中，已知点，则线段的中点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量的加减法；空间中的中点坐标公式
【解析】【解答】解：点，
由中点坐标公式得中得为：，即.
故选A.
【分析】根据中点坐标公式（有两点 A(x1， y1) B(x2， y2) 则它们的中点P的坐标为求解即可.
8．（2024高二上·望城月考）已知直线过点，，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：由题可得：，所以直线的倾斜角为：；
故选：C
【分析】求出直线的斜率，由斜率与倾斜角关系(，是斜率，是倾斜角。)即可求解.
9．（2024高二上·望城月考）已知在三棱锥中，，，平面PAC⊥平面ABC．若点M为BC的中点，点N为三棱锥表面上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥的外接球的表面积为
B．直线PC与AM所成的角
C．若，则点N的轨迹长度为
D．若点N在棱AC上，则的最小值为2
【答案】A,B,C
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：因为，，所以，
对于，如图（1），设的外心为，的外心为，
连接，．由已知，得．
取AC的中点H，则，，则，．
因为平面平面ABC，平面平面，平面，平面ABC，所以平面，平面PAC．
过点作平面ABC的垂线，过点作平面PAC的垂线，两垂线的交点为三棱锥的外接球的球心，且，
其半径，
所以，故A正确．
对于B，如图（2），取PB的中点，连接AD，DM，则，，，
则（或其补角）即为直线PC与AM所成的角．
因为平面平面，和都是以为顶角的等腰三角形，
所以，
所以．
因为，
所以．
因为，所以直线PC与AM所成的角，故B正确．
对于C，如图（2），过点M作于点．在平面PAC内，过点E作，交PC于点F，连接MF．
若，则点N的轨迹长度为，故C正确．
对于D，如图（3），把侧面PAC与底面ABC展开到同一个平面，连接PM，交AC于点N．
由两点之间线段最短，得，所以的最小值为，
故D错误．
故选：ABC．
【分析】先求出，再根据面面垂直的性质（如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面），利用球的性质找到球心，求出球的半径，球的表面积公式可知A正确；通过作平行线作出异面直线所成角，利用余弦定理计算可知B正确；过点M作于点．在平面PAC内，过点E作，交PC于点F，连接MF．根据，，得到点N的轨迹，计算可知C正确；利用侧面展开图中两点连线段最短，计算可得D错误．
10．（2024高二上·望城月考）已知，，，则（ ）
A．
B．
C．为钝角
D．在方向上的投影向量为
【答案】B,C,D
【知识点】空间向量平行的坐标表示；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：对于选项A，，故A错误；
对于选项B，因为，所以，故B正确；
对于选项C，因为，
所以，所以为钝角，故C正确；
对于选项D，在方向上的投影向量为，故D正确.
故选：BCD.
【分析】根据空间向量的数量积坐标公式（两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和）可判断AC选项；根据共线向量的关系可判断B选项；根据投影向量的定义可判断D选项.
11．（2024高二上·望城月考）如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．直线平面
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
【答案】A,B,D
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：
对于A，连接，，，，
平面，，同理，，，直线平面，故A正确；
对于B，∥，平面，平面，∥平面，
点在线段上运动，点到平面的距离为定值，又的面积为定值，利用等体积法知三棱锥的体积为定值，故B正确；
对于C，∥，异面直线与所成的角即为与所成的角，
当点位于点时，与所成的角为，
当点位于的中点时，平面，，，此时，与所成的角为，
异面直线与所成角的取值范围是，故C错误；
对于D，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，，
则，，，，，，
设平面的法向量，则，即，
令，得，所以，直线与平面所成角的正弦值为：
，
当时，直线与平面所成角的正弦值取得最大值，最大值为，故D正确.
故选：ABD
【分析】对于A，利用线面垂直的判定定理（如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面）及线面垂直的性质定理，即可进行判断；对于B，利用线面平行的判定定理，得出∥平面，再根据三棱锥的体积的计算方法，即可进行判断；对于C，利用异面直线所成角的计算方法，即可进行判断；对于D，通过建立空间直角坐标系，利用坐标法求出直线与平面所成角的正弦值，然后借助二次函数，即可进行判断.
12．（2024高二上·望城月考）某圆锥母线长为4，其侧面展开图为半圆面，则该圆锥体积为 .
【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】可设圆锥底面半径为 ，则圆锥底面圆周长为 ，因为圆锥侧面展开图为半圆面，由 知 ， ，由几何关系可知圆锥的高 ，故圆锥体积为
故答案为：
【分析】由已知利用弧长公式求得圆锥的底面半径，再由勾股定理求高，代入圆锥的体积公式得答案.
13．（2024高二上·望城月考）与直线平行，且在轴上的截距为的直线方程是 ．
【答案】
【知识点】直线的一般式方程
【解析】【解答】解：根据已知条件和线线平行的性质可设所求的直线方程为，
令，得，
因为所求直线在轴上截距是，
所以，即，
所以所求的直线方程为．
故答案为：．
【分析】根据已知条件和线线平行的性质可设所求的直线方程可设为，令，得根据在轴上截距是1，求出值，得到直线方程
14．（2024高二上·望城月考）在 中，边 所对的角分别为 ，若 ， ，则 ； .
【答案】；
【知识点】同角三角函数间的基本关系；余弦定理
【解析】【解答】由题得 ,
所以 .
因为 ，所以 ,
所以C= .
故答案为： ；
【分析】先根据 求出A的值，再根据 求出B的值即得C的值.
15．（2024高二上·望城月考）（1）已知直线与直线平行，求的值；
（2）已知直线与直线互相垂直，求的值．
【答案】解：（1）由题意，直线与直线平行，
可得，解得，
当时，，，显然与不重合，此时，
所以.
（2）由题意，直线与直线垂直
可得，解得或，
即当直线时，或
【知识点】两条直线垂直的判定；直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【分析】（1）利用在一般式方程下，两直线平行的条件（两直线平行的条件是它们的一般式方程中的斜率相等且截距不等），列出方程，即可求解；
（2）利用在一般式方程下，两直线垂直的条件（如果两条直线的方程分别为l1： A1x+B1y+C1=0 和 l2： A2x+B2y+C2=0，那么这两条直线垂直的充要条件是 A1A2+B1B2=0 ），列出方程，即可求解.
16．（2024高二上·望城月考）已知直线：及圆：.
（1）若直线与圆相切，求的值；
（2）若直线与圆相交于，两点，且弦的长为，求的值.
【答案】（1）解：圆心，半径为，
由题意得：，解得或.
（2）解：如图：
设点到直线的距离为，利用勾股定理得：，
同时利用圆心到直线的距离：，解得.
【知识点】直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）利用圆心到直线的距离为半径求出的值即可；
（2）分别用勾股定理（三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方）和圆心到直线的距离建立等量关系求出的值.
（1）圆心，半径为，
由题意得：，解得或.
（2）如图：
设点到直线的距离为，利用勾股定理得：，
同时利用圆心到直线的距离：，解得.
17．（2024高二上·望城月考）如图，在三棱锥中，、分别为、的中点，求证：
（1）∥平面；
（2）若点为棱上一点，是确定点的位置，使得平面∥平面，并说明理由．
【答案】（1）证明：因为在中，、分别为、的中点，
则有∥，
又平面，平面，
所以∥平面．
（2）解：当点为棱的中点时，平面∥平面，理由如下：
由（1）知，∥平面，
同理：∥平面，
又平面，平面，，
所以平面∥平面．
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理可得∥，进而根据线面平行的判定定理可得∥平面； （2）先找到线面平行，当为中点时，运用三角形中位线（角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半）特征可得线面平行，根据面面平行的判定（如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行）可得面面平行．
（1）证明：因为在中，、分别为、的中点，
则有∥，
又平面，平面，
所以∥平面．
（2）解：当点为棱的中点时，平面∥平面，理由如下：
由（1）知，∥平面，
同理：∥平面，
又平面，平面，，
所以平面∥平面．
18．（2024高二上·望城月考）如图，在圆台中，分别为上、下底面直径，且，， 为异于的一条母线．
（1）若为的中点，证明：平面；
（2）若，求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明：如图，连接．
因为在圆台中，上、下底面直径分别为，且，
所以为圆台母线且交于一点P，所以四点共面.
在圆台中，平面平面，
由平面平面，平面平面，得.
又，所以，
所以，即为中点．
在中，又M为的中点，所以．
因为平面，平面，
所以平面；
（2）解：以为坐标原点，分别为轴，过O且垂直于平面的直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．
因为，所以．
则．
因为，所以．
所以，所以．
设平面的法向量为，
所以，所以，
令，则，所以，又，
设平面的法向量为，
所以，所以，
令，则，所以，
所以．
设二面角的大小为，则，
所以．
所以二面角的正弦值为.
.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）如图根据题意和圆台的结构可知平面平面，有面面平行的性质可得，根据相似三角形的性质可得为中点，则，结合线面平行的判定定理（平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行）即可证明；
（2）建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求出平面、平面的法向量，结合空间向量数量积的定义和同角的三角函数关系计算即可求解.
（1）如图，连接．
因为在圆台中，上、下底面直径分别为，且，
所以为圆台母线且交于一点P，所以四点共面.
在圆台中，平面平面，
由平面平面，平面平面，得.
又，所以，
所以，即为中点．
在中，又M为的中点，所以．
因为平面，平面，
所以平面；
（2）以为坐标原点，分别为轴，过O且垂直于平面的直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．
因为，所以．
则．
因为，所以．
所以，所以．
设平面的法向量为，
所以，所以，
令，则，所以，又，
设平面的法向量为，
所以，所以，
令，则，所以，
所以．
设二面角的大小为，则，
所以．
所以二面角的正弦值为.
.
19．（2024高二上·望城月考）在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为的圆C与直线相切于原点O．
（1）求圆C的方程．
（2）试探求C上是否存在异于原点的点Q，使点Q到定点的距离等于线段OF的长 若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：设圆的圆心为，则圆的方程为：.∵直线与圆相切于原点，∴点在圆上，且垂直于直线，
于是有，解得：或.
由于在第二象限，故，，故.
∴圆的方程为：.
（2）解：存在，这是因为：设存在符合条件的点，则：，
解得：或（舍去），
∴圆存在点，使到定点的距离等于线段的长.
【知识点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系；圆方程的综合应用
【解析】【分析】（1）设圆心为，根据圆和直线相切于原点及圆的半径，列出满足的条件，可求值；
（2）假设存在点，设为根据点在圆上和到点的距离等于线段的长，列方程组求解.
（1）设圆的圆心为，则圆的方程为：.
∵直线与圆相切于原点，∴点在圆上，且垂直于直线，
于是有，解得：或.
由于在第二象限，故，，故.
∴圆的方程为：.
（2）存在，这是因为：
设存在符合条件的点，则：，
解得：或（舍去），
∴圆存在点，使到定点的距离等于线段的长.
1 / 1湖南省长沙市望城区第二中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题
1．（2024高二上·望城月考）已知直线与垂直，垂足为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二上·望城月考）函数，若存在，使得对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二上·望城月考）如图，过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二上·望城月考）一块电路板的AB线路之间有100个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊接点脱落造成的，要想借助万用表，利用二分法的思想检测出哪处焊接点脱落，最多需要检测（ ）
A．4次 B．6次 C．7次 D．50次
5．（2024高二上·望城月考）下列说法错误的是（ ）
A． B．所有的单位向量的模均相等
C．零向量与任何向量共线 D．相等向量必为共线向量
6．（2024高二上·望城月考）若log2a<0， ，则（ ）
A．a>1，b>0 B．a>1，b<0
C．00 D．07．（2024高二上·望城月考）空间直角坐标系中，已知点，则线段的中点坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二上·望城月考）已知直线过点，，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二上·望城月考）已知在三棱锥中，，，平面PAC⊥平面ABC．若点M为BC的中点，点N为三棱锥表面上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥的外接球的表面积为
B．直线PC与AM所成的角
C．若，则点N的轨迹长度为
D．若点N在棱AC上，则的最小值为2
10．（2024高二上·望城月考）已知，，，则（ ）
A．
B．
C．为钝角
D．在方向上的投影向量为
11．（2024高二上·望城月考）如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．直线平面
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
12．（2024高二上·望城月考）某圆锥母线长为4，其侧面展开图为半圆面，则该圆锥体积为 .
13．（2024高二上·望城月考）与直线平行，且在轴上的截距为的直线方程是 ．
14．（2024高二上·望城月考）在 中，边 所对的角分别为 ，若 ， ，则 ； .
15．（2024高二上·望城月考）（1）已知直线与直线平行，求的值；
（2）已知直线与直线互相垂直，求的值．
16．（2024高二上·望城月考）已知直线：及圆：.
（1）若直线与圆相切，求的值；
（2）若直线与圆相交于，两点，且弦的长为，求的值.
17．（2024高二上·望城月考）如图，在三棱锥中，、分别为、的中点，求证：
（1）∥平面；
（2）若点为棱上一点，是确定点的位置，使得平面∥平面，并说明理由．
18．（2024高二上·望城月考）如图，在圆台中，分别为上、下底面直径，且，， 为异于的一条母线．
（1）若为的中点，证明：平面；
（2）若，求二面角的正弦值．
19．（2024高二上·望城月考）在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为的圆C与直线相切于原点O．
（1）求圆C的方程．
（2）试探求C上是否存在异于原点的点Q，使点Q到定点的距离等于线段OF的长 若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】充要条件；两条直线垂直的判定
【解析】【解答】解：因为直线：与直线：互相垂直，则，解得，
又因两直线垂足为，则，解得，
将代入直线，则，
解之得，
所以.
故选：B.
【分析】根据两直线垂直的充要条件（如果两条直线的斜率分别为和 ，那么这两条直线垂直的充要条件是）求出，再把点代入直线，可把值求出，再把已知点代入另一直线中，求出得解．
2．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由，又，
因为任意，都有，
所以是函数的最小值，也是极小值，
故有两实根，即有两实根，则，
记二次函数的零点为，
且，则在，上单调递增，在上单调递减，
当时，，因为是最小值，
所以，即，
解得，故，
故选：B．
【分析】因为任意，都有，根据最小值的定义可得是函数的最小值，也是极小值，由有两实根可得实数的取值范围，又当时，，故只需即可.
3．【答案】A
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由双曲线，可得，则且，
设是双曲线的右焦点，连接，
因为分别为的中点，，
在直角中，可得，
又由双曲线的定义，可得，
所以.
故选：A.
【分析】根据三角形的中位线性质（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半），得到，再由双曲线的定义，以及圆的切线性质，即可得到结论．
4．【答案】C
【知识点】二分法求方程近似解
【解析】【解答】解：第一次，可去掉50个结果，从剩余的50个中继续二分法；
第二次，可去掉25个结果，从剩余的25个中继续二分法；
第三次，可去掉12或13个结果，考虑至多的情况，所以去掉12个结果，从剩余的13个中继续二分法；
第四次，可去掉6或7个结果，考虑至多的情况，所以去掉6个结果，从剩余的7个中继续二分法；
第五次，可去掉3或4个结果，考虑至多的情况，所以去掉3个结果，从剩余的4个中继续二分法；
第六次，可去掉2个结果，从剩余的2个中继续二分法；
第七次，可去掉1个结果，得到最终结果.
所以最多需要检测7次.
故选：C
【分析】由题意，根据二分法的思想，即可得出结论.
5．【答案】A
【知识点】向量的模；共线（平行）向量；相等向量
【解析】【解答】解：对A：因为，故A错；
对B：因为所有的单位向量的模均为1，故B正确；
对C：规定：零向量与任何向量共线，故C正确；
对D：因为相等向量方向相同，所以相等向量必共线，故D正确.
故选：A
【分析】根据实数与向量的积判断A，根据单位向量的概念（单位向量是指模等于1的向量）判断B，根据零向量的性质判断C，根据相等向量的性质（相等向量的模（长度）必须而且两个向量的方向必须相同）判断D.
6．【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】 ，则 ； ，则 。
故答案为：D。
【分析】利用对数函数的单调性结合特殊值0对应的对数的大小比较求出a的取值范围，再利用指数函数的单调性结合特殊值1对应的指数幂的大小比较求出b的取值范围，从而选出正确的选项。
7．【答案】A
【知识点】空间向量的加减法；空间中的中点坐标公式
【解析】【解答】解：点，
由中点坐标公式得中得为：，即.
故选A.
【分析】根据中点坐标公式（有两点 A(x1， y1) B(x2， y2) 则它们的中点P的坐标为求解即可.
8．【答案】C
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：由题可得：，所以直线的倾斜角为：；
故选：C
【分析】求出直线的斜率，由斜率与倾斜角关系(，是斜率，是倾斜角。)即可求解.
9．【答案】A,B,C
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：因为，，所以，
对于，如图（1），设的外心为，的外心为，
连接，．由已知，得．
取AC的中点H，则，，则，．
因为平面平面ABC，平面平面，平面，平面ABC，所以平面，平面PAC．
过点作平面ABC的垂线，过点作平面PAC的垂线，两垂线的交点为三棱锥的外接球的球心，且，
其半径，
所以，故A正确．
对于B，如图（2），取PB的中点，连接AD，DM，则，，，
则（或其补角）即为直线PC与AM所成的角．
因为平面平面，和都是以为顶角的等腰三角形，
所以，
所以．
因为，
所以．
因为，所以直线PC与AM所成的角，故B正确．
对于C，如图（2），过点M作于点．在平面PAC内，过点E作，交PC于点F，连接MF．
若，则点N的轨迹长度为，故C正确．
对于D，如图（3），把侧面PAC与底面ABC展开到同一个平面，连接PM，交AC于点N．
由两点之间线段最短，得，所以的最小值为，
故D错误．
故选：ABC．
【分析】先求出，再根据面面垂直的性质（如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面），利用球的性质找到球心，求出球的半径，球的表面积公式可知A正确；通过作平行线作出异面直线所成角，利用余弦定理计算可知B正确；过点M作于点．在平面PAC内，过点E作，交PC于点F，连接MF．根据，，得到点N的轨迹，计算可知C正确；利用侧面展开图中两点连线段最短，计算可得D错误．
10．【答案】B,C,D
【知识点】空间向量平行的坐标表示；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：对于选项A，，故A错误；
对于选项B，因为，所以，故B正确；
对于选项C，因为，
所以，所以为钝角，故C正确；
对于选项D，在方向上的投影向量为，故D正确.
故选：BCD.
【分析】根据空间向量的数量积坐标公式（两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和）可判断AC选项；根据共线向量的关系可判断B选项；根据投影向量的定义可判断D选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：
对于A，连接，，，，
平面，，同理，，，直线平面，故A正确；
对于B，∥，平面，平面，∥平面，
点在线段上运动，点到平面的距离为定值，又的面积为定值，利用等体积法知三棱锥的体积为定值，故B正确；
对于C，∥，异面直线与所成的角即为与所成的角，
当点位于点时，与所成的角为，
当点位于的中点时，平面，，，此时，与所成的角为，
异面直线与所成角的取值范围是，故C错误；
对于D，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，，
则，，，，，，
设平面的法向量，则，即，
令，得，所以，直线与平面所成角的正弦值为：
，
当时，直线与平面所成角的正弦值取得最大值，最大值为，故D正确.
故选：ABD
【分析】对于A，利用线面垂直的判定定理（如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面）及线面垂直的性质定理，即可进行判断；对于B，利用线面平行的判定定理，得出∥平面，再根据三棱锥的体积的计算方法，即可进行判断；对于C，利用异面直线所成角的计算方法，即可进行判断；对于D，通过建立空间直角坐标系，利用坐标法求出直线与平面所成角的正弦值，然后借助二次函数，即可进行判断.
12．【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】可设圆锥底面半径为 ，则圆锥底面圆周长为 ，因为圆锥侧面展开图为半圆面，由 知 ， ，由几何关系可知圆锥的高 ，故圆锥体积为
故答案为：
【分析】由已知利用弧长公式求得圆锥的底面半径，再由勾股定理求高，代入圆锥的体积公式得答案.
13．【答案】
【知识点】直线的一般式方程
【解析】【解答】解：根据已知条件和线线平行的性质可设所求的直线方程为，
令，得，
因为所求直线在轴上截距是，
所以，即，
所以所求的直线方程为．
故答案为：．
【分析】根据已知条件和线线平行的性质可设所求的直线方程可设为，令，得根据在轴上截距是1，求出值，得到直线方程
14．【答案】；
【知识点】同角三角函数间的基本关系；余弦定理
【解析】【解答】由题得 ,
所以 .
因为 ，所以 ,
所以C= .
故答案为： ；
【分析】先根据 求出A的值，再根据 求出B的值即得C的值.
15．【答案】解：（1）由题意，直线与直线平行，
可得，解得，
当时，，，显然与不重合，此时，
所以.
（2）由题意，直线与直线垂直
可得，解得或，
即当直线时，或
【知识点】两条直线垂直的判定；直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【分析】（1）利用在一般式方程下，两直线平行的条件（两直线平行的条件是它们的一般式方程中的斜率相等且截距不等），列出方程，即可求解；
（2）利用在一般式方程下，两直线垂直的条件（如果两条直线的方程分别为l1： A1x+B1y+C1=0 和 l2： A2x+B2y+C2=0，那么这两条直线垂直的充要条件是 A1A2+B1B2=0 ），列出方程，即可求解.
16．【答案】（1）解：圆心，半径为，
由题意得：，解得或.
（2）解：如图：
设点到直线的距离为，利用勾股定理得：，
同时利用圆心到直线的距离：，解得.
【知识点】直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）利用圆心到直线的距离为半径求出的值即可；
（2）分别用勾股定理（三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方）和圆心到直线的距离建立等量关系求出的值.
（1）圆心，半径为，
由题意得：，解得或.
（2）如图：
设点到直线的距离为，利用勾股定理得：，
同时利用圆心到直线的距离：，解得.
17．【答案】（1）证明：因为在中，、分别为、的中点，
则有∥，
又平面，平面，
所以∥平面．
（2）解：当点为棱的中点时，平面∥平面，理由如下：
由（1）知，∥平面，
同理：∥平面，
又平面，平面，，
所以平面∥平面．
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理可得∥，进而根据线面平行的判定定理可得∥平面； （2）先找到线面平行，当为中点时，运用三角形中位线（角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半）特征可得线面平行，根据面面平行的判定（如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行）可得面面平行．
（1）证明：因为在中，、分别为、的中点，
则有∥，
又平面，平面，
所以∥平面．
（2）解：当点为棱的中点时，平面∥平面，理由如下：
由（1）知，∥平面，
同理：∥平面，
又平面，平面，，
所以平面∥平面．
18．【答案】（1）证明：如图，连接．
因为在圆台中，上、下底面直径分别为，且，
所以为圆台母线且交于一点P，所以四点共面.
在圆台中，平面平面，
由平面平面，平面平面，得.
又，所以，
所以，即为中点．
在中，又M为的中点，所以．
因为平面，平面，
所以平面；
（2）解：以为坐标原点，分别为轴，过O且垂直于平面的直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．
因为，所以．
则．
因为，所以．
所以，所以．
设平面的法向量为，
所以，所以，
令，则，所以，又，
设平面的法向量为，
所以，所以，
令，则，所以，
所以．
设二面角的大小为，则，
所以．
所以二面角的正弦值为.
.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）如图根据题意和圆台的结构可知平面平面，有面面平行的性质可得，根据相似三角形的性质可得为中点，则，结合线面平行的判定定理（平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行）即可证明；
（2）建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求出平面、平面的法向量，结合空间向量数量积的定义和同角的三角函数关系计算即可求解.
（1）如图，连接．
因为在圆台中，上、下底面直径分别为，且，
所以为圆台母线且交于一点P，所以四点共面.
在圆台中，平面平面，
由平面平面，平面平面，得.
又，所以，
所以，即为中点．
在中，又M为的中点，所以．
因为平面，平面，
所以平面；
（2）以为坐标原点，分别为轴，过O且垂直于平面的直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．
因为，所以．
则．
因为，所以．
所以，所以．
设平面的法向量为，
所以，所以，
令，则，所以，又，
设平面的法向量为，
所以，所以，
令，则，所以，
所以．
设二面角的大小为，则，
所以．
所以二面角的正弦值为.
.
19．【答案】（1）解：设圆的圆心为，则圆的方程为：.∵直线与圆相切于原点，∴点在圆上，且垂直于直线，
于是有，解得：或.
由于在第二象限，故，，故.
∴圆的方程为：.
（2）解：存在，这是因为：设存在符合条件的点，则：，
解得：或（舍去），
∴圆存在点，使到定点的距离等于线段的长.
【知识点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系；圆方程的综合应用
【解析】【分析】（1）设圆心为，根据圆和直线相切于原点及圆的半径，列出满足的条件，可求值；
（2）假设存在点，设为根据点在圆上和到点的距离等于线段的长，列方程组求解.
（1）设圆的圆心为，则圆的方程为：.
∵直线与圆相切于原点，∴点在圆上，且垂直于直线，
于是有，解得：或.
由于在第二象限，故，，故.
∴圆的方程为：.
（2）存在，这是因为：
设存在符合条件的点，则：，
解得：或（舍去），
∴圆存在点，使到定点的距离等于线段的长.
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