第4章实数 单元练习卷（含答案）2024-2025学年苏科版数学八年级上册

第4章实数同步练习卷-2024-2025学年数学八年级上册苏科版
一、单选题
1．下列实数：（每相邻两个1之间依次增加一个0，中，无理数的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．实数的相反数是（ ）
A． B． C． D．
3．若一个自然数的算术平方根是，则它的下一个自然数的算术平方根是（ ）
A． B． C． D．
4．如果一个圆的面积是，那么这个圆的半径是（ ）
A． B． C． D．9
5．若在两个连续整数和之间，即，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．如图，数轴上两点表示的数分别为和6.3，则两点表示的数之间的整数共有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
7．以下是小明的计算过程，错误的步骤是（ ）
解：原式①
②
③
④
A．① B．② C．③ D．④
8．如图， 在中，，，，则数轴上点A所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．方程的解为 ．
10． ．
11．比较大小： ．
12．将棱长分别为和的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，则这个大正方体铝块的棱长为 （不计损耗）．
13．若正实数a，b，c满足，则代数式的最小值是 ．
14．已知为两个连续的整数，且，则 ．
15．如图，一只蚂蚁沿着边长为1的正方体表面从点出发，经过3个面爬到点，如果它运动的路径是最短的，则最短路径的长为 ．
16．小明做数学题时，发现；；按此规律，若为正整数），则 ．
三、解答题
17．已知的算术平方根是4，的立方根是．求x与y的值．
18．某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间（）可以用公式：来估计，其中d（km）是雷雨区域的直径．（参考数据：，，，）
(1)如果雷雨区域的直径为，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果精确到）
(2)如果一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到）
19．若，正数的两个平方根分别是和，求的平方根．
20．如果，则，例如：，则，
(1)根据上述规定，若= x ，则x=
(2)记，求之间的数量关系
21．阅读下面文字，解答问题．
是无理数．无理数是无限不循环小数，小明用表示它的小数部分，理由是：的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，
又例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．
参考小明的做法解答：
(1)如果的整数部分为m，小数部分为n，则_______；
(2)如果，其中x是整数，且，则_______．
22．先观察等式，再解答问题：
①；②；
③．
(1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想______；
(2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含的式子表示的等式：____（为正整数）；
(3)应用上述结论，请计算的值．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D C D C B C D
1．D
【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：在实数：每相邻两个1之间依次增加一个0），中，无理数有每相邻两个1之间依次增加一个0，，共4个．
故选：D．
2．D
【分析】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键．
根据只有符号不同的两个实数叫互为相反相成数，求解即可．
【详解】解：的相反数是．
故选：D．
3．C
【分析】本题考查了算术平方根，先根据算术平方根的定义，得出这个自然数是，则它的下一个自然数是，再根据算术平方根根的定义，即可解答．
【详解】解：∵一个自然数的算术平方根是，
∴这个自然数是，
∴它的下一个自然数是，
∴它的下一个自然数的算术平方根是，
故选：C．
4．D
【分析】本题考查了算术平方根的应用．根据圆的面积公式，即可求解．
【详解】解：设半径为，则，
即，
解得：（舍去负值），
那么这个圆的半径是9，
故选：D．
5．C
【分析】此题考查了无理数的估算，求代数式的值，正确掌握无理数的估算方法是解题的关键．根据无理数的估算方法得到，继而求出，代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
6．B
【分析】此题主要考查了实数与数轴，计算出的大致范围，然后找出和6.3之间有多少整数即可．
【详解】解：∵，
∴在和6.3之间的整数由2，3，4，5，6；
∴一共有5个整数；
故选：B．
7．C
【分析】本题考查了利用算术平方根，立方根，绝对值的性质进行计算，熟练掌握运算性质是解题的关键．
根据算术平方根，立方根，绝对值的性质求解即可．
【详解】解：错误的步骤是③，错误原因是去绝对值时没有加括号．
故选：C．
8．D
【分析】本题考查了勾股定理的应用和实数与数轴，利用勾股定理求得的长度，然后结合数轴求得的值即可．
【详解】解：在中，，，
，
设点A所表示的数为，
∵，
∴，
∴，
数轴上点所表示的数是：．
故选：D．
9．
【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时除以9，接着把方程两边同时开平方即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
解得，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了立方根，解题的关键是根据立方根的定义来解答．
【详解】解：，
故答案为：
11．
【分析】本题考查了比较实数的大小．利用作差法结合平方法解答即可．
【详解】解：因为，且，，
所以，
所以，
所以；
故答案为：．
12．
【分析】本题考查立方根的应用，根据题意，得到大正方体的体积等于两个小正方体的体积之和，求出大正方体的体积，再求出棱长即可．
【详解】解：由题意，得：大正方体铝块的棱长为；
故答案为：
13．
【分析】本题主要考查算术平方根的最值问题，勾股定理．本题利用几何法求解，通过构造图示的三个直角三角形，即，，，则由勾股定理可知，即，同理可得：，，进而得到，可知当，，，四点共线时，最小，即为长，根据勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：构造图示的三个直角三角形，
即，，，
满足，，，，，，
则由勾股定理可知，即，
同理可得，，
，
即可知当，，，四点共线时，最小，即最小值为的长，
当，，，四点共线时，．
在中，．
故答案为：．
14．3
【分析】本题考查了无理数的估算，求算术平方根，解题的关键是熟练掌握无理数的估算，正确得到m、n的值．
利用无理数的估算，先取出m、n的值，然后代入计算，即可得到答案．
【详解】解：，
，
∵为两个连续的整数，且，
，，
，
．
故答案为：3．
15．
【分析】此题考查了平面展开最短路径问题，勾股定理，熟练求出的长是解本题的关键．将正方体展开，根据两点之间线段最短，构造出直角三角形，进而求出最短路径的长．
【详解】解：将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时最短，
，
故答案为：．
16．73
【分析】此题考查了数字类规律，找出一系列等式的规律为的正整数），令求出与的值，即可求得的值．
【详解】解：根据题中的规律得：的正整数），
，
，，
则．
故答案为：73．
17．
【分析】本题主要考查了根据算术平方根和立方根求原数，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，据此可得，，解之即可得到答案．
【详解】解：∵的算术平方根是4，
∴，
∴，
∵的立方根是，
∴
∴．
18．(1)这场雷雨大约能持续
(2)这场雷雨区域的直径大约是
【分析】本题考查了算术平方根，立方根的应用；
（1）根据，其中是雷雨区域的直径，开平方的意义，可得答案；
（2）根据，其中是雷雨区域的直径，开立方的意义，可得答案．
【详解】（1）解：当时，则，
因此；
答：这场雷雨大约能持续.
（2）当时，由可得（）
答：这场雷雨区域的直径大约是
19．
【分析】此题主要考查了算术平方根、平方根的定义，还要注意正数的两个平方根之间的关系．
由于一个正数的两个平方根互为相反数，得：．解方程即可求出c，然后即可求b，根据算术平方根的定义可求a，再代入计算可求平方根．
【详解】解：∵正数的两个平方根分别是和，
∴，解得，
∴，
由，得，
∴，
∵，
∴的平方根是．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查了新定义运算，同底数幂的乘法运算，理解新定义是解题的关键．
（1）根据新定义运算直接可得结果；
（2）根据同底数幂的乘法运算结合新定义即可求解．
【详解】（1）解：∵
∴
．
故答案为：
（2）解：∵，，，
∴
即
．
21．(1)8
(2)
【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数的运算：
（1）先估算出，再参照小明的做法求出m和n，代入计算即可；
（2）先估算出，再参照小明的做法求出的整数部分和小数部分，即可求出，的值，将，的值代入中计算求解即可．
【详解】（1）解：，
∴，
的整数部分为，
∴小数部分为．
，，
，
故答案为：8；
（2）解：，
∴，
的整数部分为，小数部分为．
，即，其中是整数，且，
，；
∴
，
故答案为：．
22．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了实数运算相关的规律的探究．
（1）利用题中等式的计算规律得到的结果为；
（2）第n个等式的左边为，等式右边为1与的和；
（3）根据规律得到，，，，，相加即可求解．
【详解】（1）解：的结果为；
故答案为：；
（2）解：∵①；
②；
③，
∴，
故答案为：；
（3）解：∵，
，
，
，
，
∴
．