第13章轴对称 复习检测卷（含答案）2024-2025学年人教版数学八年级上册
文档属性
| 名称 | 第13章轴对称 复习检测卷（含答案）2024-2025学年人教版数学八年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 650.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-06 10:43:22 | ||
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文档简介
第13章轴对称复习检测卷-2024-2025学年数学八年级上册人教版
一．选择题（共8小题）
1．（2024 滨州）数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”“黄金螺旋线”“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024 成都模拟）在平面直角坐标系中，点A（3，﹣2），B（m，n）关于x轴对称，将点B向左平移3个单位长度得到点C，则点C的坐标为（ ）
A．（3，﹣2） B．（3，2） C．（0，﹣2） D．（0，2）
3．（2024秋 宜兴市校级月考）下列说法：①形状相同的两个三角形是全等三角形；②全等三角形的中线相等；③成轴对称的两个图形中，对应点的连线段被对称轴垂直平分；④两条直角边对应相等的两个直角三角形全等．其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2024秋 凉州区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，且点D为BC上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠C为（ ）
A．30° B．36° C．40° D．45°
5．（2024秋 南岗区校级月考）如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝AK，BN＝BK，若∠MKN＝44°，则∠P＝（ ）
A．90° B．92° C．96° D．98°
6．（2023秋 凤山县期末）如图，OC＝CD＝DE，若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
7．（2024春 顺河区期末）如图，在四边形ABCD中，∠C＝40°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）
A．100° B．90° C．70° D．80°
8．（2024秋 玄武区校级月考）如图，∠ABC＝∠ACB，BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACF，连接AD．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠ADB+∠ACD＝90°；④△ABD和△ACD都是等腰三角形．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共8小题）
9．（2024春 城关区校级期末）如图，已知AB＝CB，要使四边形ABCD成为一个轴对称图形，还需添加一个条件，你添加的条件是 ．（只需写一个，不添加辅助线）
10．（2024秋 六合区校级月考）如图，∠A＝30°，∠C'＝60°，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，则∠B＝ ．
11．（2024秋 玄武区校级月考）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所得的锐角为40°，则∠C的度数为 ．
12．（2024秋 海淀区校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BD⊥AC，垂足为D．若CD＝2，则AC的长为 ．
13．（2024秋 西湖区校级月考）如图．在△ABC中，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，连结CD，若AB＝5，AC＝4，则△ACD的周长为 ．
14．（2024秋 虎丘区校级月考）若△ABC和△ADE均为等腰三角形，且AB＝AC＝AD＝AE，当∠ABC和∠ADE互余时，称△ABC与△ADE互为“底余等腰三角形”，△ABC的边BC上的高AH叫做△ADE的“余高”．如图，△ABC与△ADE互为“底余等腰三角形”．
（1）若连接BD，CE，判断△ABD与△ACE是否互为“底余等腰三角形”： （填“是”或“否”）；
（2）当∠BAC＝90°时，若△ADE的“余高”AH＝3，则DE＝ ．
15．（2024秋 姑苏区校级月考）如图，点B，F，D在射线AM上，点G，C，E在射线AN上，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GA，则∠A＝ °．
16．（2024 武威三模）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为 ．
三．解答题（共7小题）
17．（2023秋 宝丰县期末）平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（3，4），C（3，﹣1）．
（1）试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点；
（2）求△ABC的面积．
（3）若△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，写出A1、B1、C1的坐标．
18．（2023秋 乌鲁木齐期末）如图，直线AB∥CD，若∠1＝60°，∠2＝30°，求证：△FCE是等腰三角形．
19．（2024秋 廊坊期中）如图，在△ABC中，AC＝BC，CF为△ABC的角平分线，边AC的垂直平分线分别交AC，CF，CB于点D，O，E，连接OA、OB．
（1）不添加辅助线，请直接写出图中的等腰三角形（△ABC除外），并用“≌”表示全等的等腰三角形．
（2）若∠CAB＝65°，求∠BOE的度数．（可直接利用（1）的结论）
20．（2024秋 沭阳县校级月考）如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若∠ACB＝110°，则∠MCN的度数为 ；
（2）若∠ACB＝α，则∠MCN的度数为 ；（用含α的代数式表示）
（3）连接FC，试证明FC平分∠MCN．
21．（2024秋 靖江市校级月考）如图，已知AB∥CD，∠BAC的角平分线与CD交于点E，F为射线AB上的一个动点，连接EF，过点C作CG⊥EF，且FG＝EG．
（1）已知∠BAC＝70°，求∠AEF的度数．
（2）若∠AEF＝α，求∠ECG的度数．
22．（2024秋 高州市校级月考）如图1，A村和B村在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和4千米，又知道CD的长为4千米．
现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水．有两种方案备选方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即AC+AB）．（如图2）方案2：作A点关于直线CD的对称点A'，连接A'B交CD于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道AM和BM．（即AM+BM）（如图3）从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适．
23．（2024秋 高新区月考）如图1，已知A，B为直线MN同侧的两点，连接AP，BP，若∠APM＝∠BPN，则称点P为点A，B关于直线MN的“等角点”．
【理解运用】
（1）如图2，在△ABC中，D为BC上一点，点D、E关于直线AB对称，连接EB并延长至点F，判断点B是否为点D、F关于直线AB的“等角点”，并说明理由；
【拓展提升】
（2）如图3，在△ABC中，∠ABC，∠BAC的平分线交于点O，点O到AC的距离为2，直线l垂直平分边BC，点P为O，B关于直线l“等角点”，连接OP，BP，当∠ACB＝60°时，OP+BP的值为 ．
第13章轴对称复习检测卷-2024-2025学年数学八年级上册人教版
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024 滨州）数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”“黄金螺旋线”“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、是轴对称图形；
D、是轴对称图形；
故选：B．
2．（2024 成都模拟）在平面直角坐标系中，点A（3，﹣2），B（m，n）关于x轴对称，将点B向左平移3个单位长度得到点C，则点C的坐标为（ ）
A．（3，﹣2） B．（3，2） C．（0，﹣2） D．（0，2）
【解答】解：∵点A（3，﹣2），B（m，n）关于x轴对称，
∴点B的坐标为（3，2），
∴将点B向左平移3个单位长度得到点C，则点C的坐标为（0，2）．
故选：D．
3．（2024秋 宜兴市校级月考）下列说法：①形状相同的两个三角形是全等三角形；②全等三角形的中线相等；③成轴对称的两个图形中，对应点的连线段被对称轴垂直平分；④两条直角边对应相等的两个直角三角形全等．其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①形状相同的两个三角形是相似三角形，不一定是全等三角形，只有形状相同，大小也相等的两个三角形才是全等三角形，不符合题意；
②全等三角形对应边上的中线相等，不符合题意；
③成轴对称的两个图形中，对应点的连线段被对称轴垂直平分，符合题意；
④两个直角三角形的两条直角边对应相等，这两个直角三角形全等，符合全等三角形的判定定理“SAS”，符合题意．
综上所述，正确的说法有③④共2个．
故选：B．
4．（2024秋 凉州区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，且点D为BC上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠C为（ ）
A．30° B．36° C．40° D．45°
【解答】解：∵AB＝AC，CD＝AD，AB＝BD，
∴∠B＝∠C＝∠CAD，∠ADB＝∠BAD，
∵∠ADB＝∠C+∠CAD＝∠C+∠C，
∴∠B+∠C+BAC＝∠C+∠C+2∠C+∠C＝180°，
∴∠C＝36°，
故选：B．
5．（2024秋 南岗区校级月考）如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝AK，BN＝BK，若∠MKN＝44°，则∠P＝（ ）
A．90° B．92° C．96° D．98°
【解答】解：∵PA＝PB，∴∠A＝∠B，
∵AM＝AK，BN＝BK，
∴∠AKM＝∠AMK＝∠BKN＝∠BNK，
∵∠MKN＝44°，
∴∠AKM＝∠BKN＝（180°﹣44°）＝68°，
∴∠A＝∠B＝180°﹣68°﹣68°＝44°，
∴∠P＝180°﹣∠A﹣∠B＝92°，
故选：B．
6．（2023秋 凤山县期末）如图，OC＝CD＝DE，若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
【解答】解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，
∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，
∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，
∴∠ODC＝25°，
∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝105°，
∴∠CDE＝105°﹣∠ODC＝80°．
故选：C．
7．（2024春 顺河区期末）如图，在四边形ABCD中，∠C＝40°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）
A．100° B．90° C．70° D．80°
【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．
∵∠C＝40°，
∴∠DAB＝140°，
∴∠AA′E+∠A″＝40°，
∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF＝40°，
∴∠EAF＝140°﹣40°＝100°，
故选：A．
8．（2024秋 玄武区校级月考）如图，∠ABC＝∠ACB，BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACF，连接AD．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠ADB+∠ACD＝90°；④△ABD和△ACD都是等腰三角形．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①过D作DM⊥AB于M，DP⊥AC于P，DN⊥BC于N，
∵BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACF，
∴DM＝DN，DP＝DN，
∴DM＝DP，
∴AD平分∠EAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ACB＝∠ABC，
∴∠EAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，
∵AD∥BC，故①正确；
②∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC＝2∠ADB，
即∠ACB＝2∠ADB，故②正确；
③∵CD平分∠ACF，
∴∠ACF＝2∠ACD，
又∠ACF+∠ACB＝180°，∠ACB＝2∠ADB，
∴2∠ADB+2∠ACD＝180°，
∴∠ADB+∠ACD＝90°，故③正确；
④∵BD平分∠ABC，AD∥BC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴△ABD是等腰三角形，
∵CD平分∠ACF，AD∥BC，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴△ACD是等腰三角形．
故④正确，
故选：D．
二．填空题（共8小题）
9．（2024春 城关区校级期末）如图，已知AB＝CB，要使四边形ABCD成为一个轴对称图形，还需添加一个条件，你添加的条件是 AD＝CD ．（只需写一个，不添加辅助线）
【解答】解：AD＝CD，
理由：在△ABD与△CBD中，，
∴△ABD≌△CBD，
∴四边形ABCD是一个轴对称图形，
故答案为：AD＝CD．
10．（2024秋 六合区校级月考）如图，∠A＝30°，∠C'＝60°，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，则∠B＝ 90° ．
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴∠C＝∠C′＝60°，
∵∠A＝30°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，
故答案为：90°．
11．（2024秋 玄武区校级月考）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所得的锐角为40°，则∠C的度数为 65°或25° ．
【解答】解：如图，当AB的垂直平分线与边AC相交于点D时，∠ADE＝40°，则∠A＝90°﹣40°＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣50°）÷2＝65°．
如图，当AB边的垂直平分线与CA的延长线交于点D，∠ADE＝40°，则∠DAE＝90°﹣40°＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣50°＝130°．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣130°）÷2＝25°．
综上所述：∠C为65°或25°．
故答案为：65°或25°．
12．（2024秋 海淀区校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BD⊥AC，垂足为D．若CD＝2，则AC的长为 8 ．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BD⊥AC，
∴∠CBD＝180°﹣∠C﹣∠BDC＝30°，
∴BC＝2CD＝4，
∵∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝30°，
∴AC＝2BC＝8，
故答案为：8．
13．（2024秋 西湖区校级月考）如图．在△ABC中，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，连结CD，若AB＝5，AC＝4，则△ACD的周长为 9 ．
【解答】解：由作图过程可知，直线MN为线段BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
∴△ACD的周长为AC+AD+CD＝AC+AD+BD＝AC+AB＝4+5＝9．
故答案为：9．
14．（2024秋 虎丘区校级月考）若△ABC和△ADE均为等腰三角形，且AB＝AC＝AD＝AE，当∠ABC和∠ADE互余时，称△ABC与△ADE互为“底余等腰三角形”，△ABC的边BC上的高AH叫做△ADE的“余高”．如图，△ABC与△ADE互为“底余等腰三角形”．
（1）若连接BD，CE，判断△ABD与△ACE是否互为“底余等腰三角形”： 是 （填“是”或“否”）；
（2）当∠BAC＝90°时，若△ADE的“余高”AH＝3，则DE＝ 6 ．
【解答】解：（1）如图1，连接BD、CE，
∵AB＝AC＝AD＝AE，
∴∠ABC＝∠ACB，∠ADE＝∠AED，∠ADB＝∠ABD，∠AEC＝∠ACE，
∴∠ABC+∠ACB+∠ADE+∠AED＝2（∠ABC+∠ADE），∠ADB+∠ABD+∠AEC+∠ACE＝2（∠ADB+∠AEC），
∵∠ABC+∠ADE＝90°，
∴2（∠ABC+∠ADE）＝180°，
∵由四边形BDEC内角和可得∠ABC+∠ACB+∠ADE+∠AED+∠ADB+∠ABD+∠AEC+∠ACE＝360°，
∴2（∠ABC+∠ADE）+2（∠ADB+∠AEC）＝360°，
∴2（∠ADB+∠AEC）＝180°，
∴∠ADB+∠AEC＝90°，
∴△ABD与△ACE互为“底余等腰三角形”，
故答案为：是．
（2）如图：
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝AD＝AE，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵∠B+∠D＝90°，
∴∠D＝45°，
∴∠D＝∠E＝∠B＝∠C＝45°，
∴△ADE≌△ABC（AAS），
∴DE＝BC，
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH，∠HAB＝∠HAC＝45°，
∴，
∴DE＝BC＝6，
故答案为：6．
15．（2024秋 姑苏区校级月考）如图，点B，F，D在射线AM上，点G，C，E在射线AN上，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GA，则∠A＝ °．
【解答】解：∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GA，设∠A＝x，
则∠AFG＝∠ACB＝x，∠CGF＝∠CEF＝∠CBF＝∠CDF＝2x，
∠ECD＝∠CED＝∠EFD＝∠EDF＝3x，而∠A+∠CED+∠EDF＝180°，
故x＝，
即∠A＝，
故答案为：．
16．（2024 武威三模）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为 10 ．
【解答】解：∵BO为∠ABC的平分线，CO为∠ACB的平分线，
∴∠ABO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO，
∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠BCO，
∴∠ABO＝∠MOB，∠NOC＝∠ACO，
∴MB＝MO，NC＝NO，
∴MN＝MO+NO＝MB+NC，
∵AB＝4，AC＝6，
∴△AMN周长为AM+MN+AN＝AM+MB+AN+NC＝AB+AC＝10，
故答案为：10
三．解答题（共7小题）
17．（2023秋 宝丰县期末）平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（3，4），C（3，﹣1）．
（1）试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点；
（2）求△ABC的面积．
（3）若△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，写出A1、B1、C1的坐标．
【解答】解：（1）如图所示，点A、B、C即为所求；
（2）△ABC的面积为：＝5；
（3）若△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，则A1（1，﹣4）、B1（3，﹣4）、C1（3，1）．
18．（2023秋 乌鲁木齐期末）如图，直线AB∥CD，若∠1＝60°，∠2＝30°，求证：△FCE是等腰三角形．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠DFE＝∠1＝60°，
∵∠DFE＝∠2+∠E，∠DFE＝60°，∠2＝30°，
∴∠2＝∠E，
∴CF＝EF，
∴△FCE是等腰三角形．
19．（2024秋 廊坊期中）如图，在△ABC中，AC＝BC，CF为△ABC的角平分线，边AC的垂直平分线分别交AC，CF，CB于点D，O，E，连接OA、OB．
（1）不添加辅助线，请直接写出图中的等腰三角形（△ABC除外），并用“≌”表示全等的等腰三角形．
（2）若∠CAB＝65°，求∠BOE的度数．（可直接利用（1）的结论）
【解答】解：（1）等腰三角形有△OAB，△OAC，△OBC；
∵AC＝BC，CF 为△ABC的角平分线，
∴CF垂直平分边AB，
∴OA＝OB，
∵边AC 的垂直平分线分别交AC，CF，CB于点D，O，E，
∴OA＝OC，
∴OA＝OC＝OB，
∴△OAB，△OAC，△OBC为等腰三角形，
在△OAC和△OBC中，
，
∴△OAC≌△OBC（SSS）；
（2）∵AC＝BC，∠CAB＝65°，
∴∠CBA＝∠CAB＝65°，∠ACB＝180°﹣∠CBA﹣∠CAB＝50°
∵CF为△ABC的角平分线，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠ACB＝180°﹣90°﹣50°＝40°．
∵△OBC 为等腰三角形，
∴∠CBO＝∠BCF＝25°，
∴∠BOE＝∠DEC﹣∠CBO＝40°﹣25°＝15°．
20．（2024秋 沭阳县校级月考）如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若∠ACB＝110°，则∠MCN的度数为 40° ；
（2）若∠ACB＝α，则∠MCN的度数为 2α﹣180° ；（用含α的代数式表示）
（3）连接FC，试证明FC平分∠MCN．
【解答】（1）解：∵DM，EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM＝CM，BN＝CN，
∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，
∵∠A+∠B+∠ACM+∠BCN+∠MCN＝180°，∠ACB＝∠ACM+∠BCN+∠MCN＝110°，
∴∠A+∠B＝70°，
∴∠A+∠B+∠ACM+∠BCN＝140°，
∴∠MCN＝40°，
故答案为：40°；
（2）解：∵DM，EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM＝CM，BN＝CN，
∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，
∵∠A+∠B+∠ACM+∠BCN+∠MCN＝180°，∠ACB＝∠ACM+∠BCN+∠MCN＝α，
∴∠A+∠B＝180°﹣α，
∴∠A+∠B+∠ACM+∠BCN＝2（180°﹣α）＝360°﹣2α，
∴∠MCN＝180°﹣（360°﹣2α）＝2α﹣180°，
故答案为：2α﹣180°；
（3）证明：如图，连接AF、BF，
由题意可得AF＝CF，BF＝CF，AM＝CM，BN＝CN，
∴AF＝BF，∠ACF＝∠CAF，∠BCF＝∠CBF，∠CAB＝∠ACM，∠CBA＝∠BCN，
∴∠BAF＝∠ABF，
∵∠MCF＝∠ACF﹣∠ACM＝∠CAF﹣∠CAM＝∠BAF，∠NCF＝∠BCF﹣∠BCN＝∠CBF﹣∠CBN＝∠ABF，
∴∠MCF＝∠NCF，
∴FC平分∠MCN．
21．（2024秋 靖江市校级月考）如图，已知AB∥CD，∠BAC的角平分线与CD交于点E，F为射线AB上的一个动点，连接EF，过点C作CG⊥EF，且FG＝EG．
（1）已知∠BAC＝70°，求∠AEF的度数．
（2）若∠AEF＝α，求∠ECG的度数．
【解答】解：（1）如图所示，连接CF，
∵CG⊥EF，FG＝EG．
∴CF＝CE，
∴∠CFE＝∠CEF，
∵AB∥CD，
∴∠BFE＝∠CEF，
∴∠CFE＝∠BFE，
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠AEC，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝35°
∴∠AEC＝∠CAE，
∴CA＝CE，
∴CF＝CA，
∴∠CFA＝∠CAF＝70°，
∴∠CEF＝∠CFE＝∠BFE＝（180°﹣70°）＝＝55°，
∵∠AEC＝35°，
∴∠AEF＝∠CEF﹣∠AEC＝20°；
（2）设∠AEC＝β，
∵∠AEF＝α，
∴∠CEF＝∠AEF+∠AEC＝α+β，
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠AEC＝β，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAE＝2β，
∴∠AEC＝∠EAC，
∴CA＝CE，
∵CG⊥EF，FG＝EG，
∴CG垂直平分EF，
∴CF＝CE，
∴CA＝CF，∠CFE＝∠CEF＝α+β，
∴∠CFA＝∠CAF＝2β，
∵AB∥CD，
∴∠AFE+∠CEF＝180°，
∴∠AFC+∠CFE+∠CEF＝180°，
即2β+α+β+α+β＝180°，
∴β＝，
∴α+β＝，
∵∠CGE＝90°，
∴∠ECG＝90°﹣∠CEF＝90°﹣（α+β）＝45°﹣，
∴∠ECG的度数为45°﹣．
22．（2024秋 高州市校级月考）如图1，A村和B村在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和4千米，又知道CD的长为4千米．
现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水．有两种方案备选方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即AC+AB）．（如图2）方案2：作A点关于直线CD的对称点A'，连接A'B交CD于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道AM和BM．（即AM+BM）（如图3）从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适．
【解答】解：方案1：如图2中，过点A作AE⊥BD于点E，
∵∠ACD]＝∠CDE＝∠AED＝90°，
∴四边形ACDE是矩形，
∴DE＝AC＝1，
∵AC＝1，BD＝4，
∴BE＝BD﹣DE＝4﹣1＝3，
在Rt△ABE中，AB2＝AE2+BE2，
∴，
∴AC+AB＝1+5＝6；
方案2：如图3中，过A′作A′H⊥BD交BD延长线于点H，
∵AA′⊥CD，BH⊥CD，
∴AA′∥BH，
∵A′H⊥BH，
∴CD＝A′H＝4，
同理A′C＝DH，
∵AC＝A′C＝1，
∴BH＝BD+DH＝BD+A′C＝BD+AC＝5，
∴，
∵AM′＝AM，
∴，
∵，
∴方案1路线短，更合适．
23．（2024秋 高新区月考）如图1，已知A，B为直线MN同侧的两点，连接AP，BP，若∠APM＝∠BPN，则称点P为点A，B关于直线MN的“等角点”．
【理解运用】
（1）如图2，在△ABC中，D为BC上一点，点D、E关于直线AB对称，连接EB并延长至点F，判断点B是否为点D、F关于直线AB的“等角点”，并说明理由；
【拓展提升】
（2）如图3，在△ABC中，∠ABC，∠BAC的平分线交于点O，点O到AC的距离为2，直线l垂直平分边BC，点P为O，B关于直线l“等角点”，连接OP，BP，当∠ACB＝60°时，OP+BP的值为 4 ．
【解答】解：（1）点B是点D、F关于直线AB的“等角点”，理由如下：
如图，
∵点D、E关于直线AB对称，
∴∠ABD＝∠ABE，
∵∠ABE＝∠FBM，
∴∠ABD＝∠FBM，
∴点B是点D、F关于直线AB的“等角点”；
（2）如图，连接OC，PC，过点O作OD⊥AC于D，
∵∠ABC，∠BAC的平分线交于点O，
∴OC平分∠ACB，
∴∠OCD＝∠ACB＝30°，
∵OD⊥AC，
∴OC＝2OD＝4，
∵直线l垂直平分边BC，
∴∠BPE＝∠CPE，BP＝CP，
∵点P为O，B关于直线l“等角点”，
∴∠BPE＝∠OPF，
∴∠CPE＝∠OPF，
∵∠OPF+∠BPO+∠BPE＝180°，
∴∠CPE+∠BPO+∠BPE＝180°，
∴O，P，C在同一条直线上，
∴OP+BP＝OP+CP＝OC＝4，
故答案为：4．
一．选择题（共8小题）
1．（2024 滨州）数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”“黄金螺旋线”“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024 成都模拟）在平面直角坐标系中，点A（3，﹣2），B（m，n）关于x轴对称，将点B向左平移3个单位长度得到点C，则点C的坐标为（ ）
A．（3，﹣2） B．（3，2） C．（0，﹣2） D．（0，2）
3．（2024秋 宜兴市校级月考）下列说法：①形状相同的两个三角形是全等三角形；②全等三角形的中线相等；③成轴对称的两个图形中，对应点的连线段被对称轴垂直平分；④两条直角边对应相等的两个直角三角形全等．其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2024秋 凉州区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，且点D为BC上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠C为（ ）
A．30° B．36° C．40° D．45°
5．（2024秋 南岗区校级月考）如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝AK，BN＝BK，若∠MKN＝44°，则∠P＝（ ）
A．90° B．92° C．96° D．98°
6．（2023秋 凤山县期末）如图，OC＝CD＝DE，若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
7．（2024春 顺河区期末）如图，在四边形ABCD中，∠C＝40°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）
A．100° B．90° C．70° D．80°
8．（2024秋 玄武区校级月考）如图，∠ABC＝∠ACB，BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACF，连接AD．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠ADB+∠ACD＝90°；④△ABD和△ACD都是等腰三角形．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共8小题）
9．（2024春 城关区校级期末）如图，已知AB＝CB，要使四边形ABCD成为一个轴对称图形，还需添加一个条件，你添加的条件是 ．（只需写一个，不添加辅助线）
10．（2024秋 六合区校级月考）如图，∠A＝30°，∠C'＝60°，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，则∠B＝ ．
11．（2024秋 玄武区校级月考）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所得的锐角为40°，则∠C的度数为 ．
12．（2024秋 海淀区校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BD⊥AC，垂足为D．若CD＝2，则AC的长为 ．
13．（2024秋 西湖区校级月考）如图．在△ABC中，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，连结CD，若AB＝5，AC＝4，则△ACD的周长为 ．
14．（2024秋 虎丘区校级月考）若△ABC和△ADE均为等腰三角形，且AB＝AC＝AD＝AE，当∠ABC和∠ADE互余时，称△ABC与△ADE互为“底余等腰三角形”，△ABC的边BC上的高AH叫做△ADE的“余高”．如图，△ABC与△ADE互为“底余等腰三角形”．
（1）若连接BD，CE，判断△ABD与△ACE是否互为“底余等腰三角形”： （填“是”或“否”）；
（2）当∠BAC＝90°时，若△ADE的“余高”AH＝3，则DE＝ ．
15．（2024秋 姑苏区校级月考）如图，点B，F，D在射线AM上，点G，C，E在射线AN上，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GA，则∠A＝ °．
16．（2024 武威三模）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为 ．
三．解答题（共7小题）
17．（2023秋 宝丰县期末）平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（3，4），C（3，﹣1）．
（1）试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点；
（2）求△ABC的面积．
（3）若△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，写出A1、B1、C1的坐标．
18．（2023秋 乌鲁木齐期末）如图，直线AB∥CD，若∠1＝60°，∠2＝30°，求证：△FCE是等腰三角形．
19．（2024秋 廊坊期中）如图，在△ABC中，AC＝BC，CF为△ABC的角平分线，边AC的垂直平分线分别交AC，CF，CB于点D，O，E，连接OA、OB．
（1）不添加辅助线，请直接写出图中的等腰三角形（△ABC除外），并用“≌”表示全等的等腰三角形．
（2）若∠CAB＝65°，求∠BOE的度数．（可直接利用（1）的结论）
20．（2024秋 沭阳县校级月考）如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若∠ACB＝110°，则∠MCN的度数为 ；
（2）若∠ACB＝α，则∠MCN的度数为 ；（用含α的代数式表示）
（3）连接FC，试证明FC平分∠MCN．
21．（2024秋 靖江市校级月考）如图，已知AB∥CD，∠BAC的角平分线与CD交于点E，F为射线AB上的一个动点，连接EF，过点C作CG⊥EF，且FG＝EG．
（1）已知∠BAC＝70°，求∠AEF的度数．
（2）若∠AEF＝α，求∠ECG的度数．
22．（2024秋 高州市校级月考）如图1，A村和B村在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和4千米，又知道CD的长为4千米．
现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水．有两种方案备选方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即AC+AB）．（如图2）方案2：作A点关于直线CD的对称点A'，连接A'B交CD于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道AM和BM．（即AM+BM）（如图3）从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适．
23．（2024秋 高新区月考）如图1，已知A，B为直线MN同侧的两点，连接AP，BP，若∠APM＝∠BPN，则称点P为点A，B关于直线MN的“等角点”．
【理解运用】
（1）如图2，在△ABC中，D为BC上一点，点D、E关于直线AB对称，连接EB并延长至点F，判断点B是否为点D、F关于直线AB的“等角点”，并说明理由；
【拓展提升】
（2）如图3，在△ABC中，∠ABC，∠BAC的平分线交于点O，点O到AC的距离为2，直线l垂直平分边BC，点P为O，B关于直线l“等角点”，连接OP，BP，当∠ACB＝60°时，OP+BP的值为 ．
第13章轴对称复习检测卷-2024-2025学年数学八年级上册人教版
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024 滨州）数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”“黄金螺旋线”“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、是轴对称图形；
D、是轴对称图形；
故选：B．
2．（2024 成都模拟）在平面直角坐标系中，点A（3，﹣2），B（m，n）关于x轴对称，将点B向左平移3个单位长度得到点C，则点C的坐标为（ ）
A．（3，﹣2） B．（3，2） C．（0，﹣2） D．（0，2）
【解答】解：∵点A（3，﹣2），B（m，n）关于x轴对称，
∴点B的坐标为（3，2），
∴将点B向左平移3个单位长度得到点C，则点C的坐标为（0，2）．
故选：D．
3．（2024秋 宜兴市校级月考）下列说法：①形状相同的两个三角形是全等三角形；②全等三角形的中线相等；③成轴对称的两个图形中，对应点的连线段被对称轴垂直平分；④两条直角边对应相等的两个直角三角形全等．其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①形状相同的两个三角形是相似三角形，不一定是全等三角形，只有形状相同，大小也相等的两个三角形才是全等三角形，不符合题意；
②全等三角形对应边上的中线相等，不符合题意；
③成轴对称的两个图形中，对应点的连线段被对称轴垂直平分，符合题意；
④两个直角三角形的两条直角边对应相等，这两个直角三角形全等，符合全等三角形的判定定理“SAS”，符合题意．
综上所述，正确的说法有③④共2个．
故选：B．
4．（2024秋 凉州区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，且点D为BC上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠C为（ ）
A．30° B．36° C．40° D．45°
【解答】解：∵AB＝AC，CD＝AD，AB＝BD，
∴∠B＝∠C＝∠CAD，∠ADB＝∠BAD，
∵∠ADB＝∠C+∠CAD＝∠C+∠C，
∴∠B+∠C+BAC＝∠C+∠C+2∠C+∠C＝180°，
∴∠C＝36°，
故选：B．
5．（2024秋 南岗区校级月考）如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝AK，BN＝BK，若∠MKN＝44°，则∠P＝（ ）
A．90° B．92° C．96° D．98°
【解答】解：∵PA＝PB，∴∠A＝∠B，
∵AM＝AK，BN＝BK，
∴∠AKM＝∠AMK＝∠BKN＝∠BNK，
∵∠MKN＝44°，
∴∠AKM＝∠BKN＝（180°﹣44°）＝68°，
∴∠A＝∠B＝180°﹣68°﹣68°＝44°，
∴∠P＝180°﹣∠A﹣∠B＝92°，
故选：B．
6．（2023秋 凤山县期末）如图，OC＝CD＝DE，若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
【解答】解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，
∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，
∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，
∴∠ODC＝25°，
∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝105°，
∴∠CDE＝105°﹣∠ODC＝80°．
故选：C．
7．（2024春 顺河区期末）如图，在四边形ABCD中，∠C＝40°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）
A．100° B．90° C．70° D．80°
【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．
∵∠C＝40°，
∴∠DAB＝140°，
∴∠AA′E+∠A″＝40°，
∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF＝40°，
∴∠EAF＝140°﹣40°＝100°，
故选：A．
8．（2024秋 玄武区校级月考）如图，∠ABC＝∠ACB，BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACF，连接AD．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠ADB+∠ACD＝90°；④△ABD和△ACD都是等腰三角形．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①过D作DM⊥AB于M，DP⊥AC于P，DN⊥BC于N，
∵BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACF，
∴DM＝DN，DP＝DN，
∴DM＝DP，
∴AD平分∠EAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ACB＝∠ABC，
∴∠EAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，
∵AD∥BC，故①正确；
②∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC＝2∠ADB，
即∠ACB＝2∠ADB，故②正确；
③∵CD平分∠ACF，
∴∠ACF＝2∠ACD，
又∠ACF+∠ACB＝180°，∠ACB＝2∠ADB，
∴2∠ADB+2∠ACD＝180°，
∴∠ADB+∠ACD＝90°，故③正确；
④∵BD平分∠ABC，AD∥BC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴△ABD是等腰三角形，
∵CD平分∠ACF，AD∥BC，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴△ACD是等腰三角形．
故④正确，
故选：D．
二．填空题（共8小题）
9．（2024春 城关区校级期末）如图，已知AB＝CB，要使四边形ABCD成为一个轴对称图形，还需添加一个条件，你添加的条件是 AD＝CD ．（只需写一个，不添加辅助线）
【解答】解：AD＝CD，
理由：在△ABD与△CBD中，，
∴△ABD≌△CBD，
∴四边形ABCD是一个轴对称图形，
故答案为：AD＝CD．
10．（2024秋 六合区校级月考）如图，∠A＝30°，∠C'＝60°，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，则∠B＝ 90° ．
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴∠C＝∠C′＝60°，
∵∠A＝30°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，
故答案为：90°．
11．（2024秋 玄武区校级月考）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所得的锐角为40°，则∠C的度数为 65°或25° ．
【解答】解：如图，当AB的垂直平分线与边AC相交于点D时，∠ADE＝40°，则∠A＝90°﹣40°＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣50°）÷2＝65°．
如图，当AB边的垂直平分线与CA的延长线交于点D，∠ADE＝40°，则∠DAE＝90°﹣40°＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣50°＝130°．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣130°）÷2＝25°．
综上所述：∠C为65°或25°．
故答案为：65°或25°．
12．（2024秋 海淀区校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BD⊥AC，垂足为D．若CD＝2，则AC的长为 8 ．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BD⊥AC，
∴∠CBD＝180°﹣∠C﹣∠BDC＝30°，
∴BC＝2CD＝4，
∵∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝30°，
∴AC＝2BC＝8，
故答案为：8．
13．（2024秋 西湖区校级月考）如图．在△ABC中，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，连结CD，若AB＝5，AC＝4，则△ACD的周长为 9 ．
【解答】解：由作图过程可知，直线MN为线段BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
∴△ACD的周长为AC+AD+CD＝AC+AD+BD＝AC+AB＝4+5＝9．
故答案为：9．
14．（2024秋 虎丘区校级月考）若△ABC和△ADE均为等腰三角形，且AB＝AC＝AD＝AE，当∠ABC和∠ADE互余时，称△ABC与△ADE互为“底余等腰三角形”，△ABC的边BC上的高AH叫做△ADE的“余高”．如图，△ABC与△ADE互为“底余等腰三角形”．
（1）若连接BD，CE，判断△ABD与△ACE是否互为“底余等腰三角形”： 是 （填“是”或“否”）；
（2）当∠BAC＝90°时，若△ADE的“余高”AH＝3，则DE＝ 6 ．
【解答】解：（1）如图1，连接BD、CE，
∵AB＝AC＝AD＝AE，
∴∠ABC＝∠ACB，∠ADE＝∠AED，∠ADB＝∠ABD，∠AEC＝∠ACE，
∴∠ABC+∠ACB+∠ADE+∠AED＝2（∠ABC+∠ADE），∠ADB+∠ABD+∠AEC+∠ACE＝2（∠ADB+∠AEC），
∵∠ABC+∠ADE＝90°，
∴2（∠ABC+∠ADE）＝180°，
∵由四边形BDEC内角和可得∠ABC+∠ACB+∠ADE+∠AED+∠ADB+∠ABD+∠AEC+∠ACE＝360°，
∴2（∠ABC+∠ADE）+2（∠ADB+∠AEC）＝360°，
∴2（∠ADB+∠AEC）＝180°，
∴∠ADB+∠AEC＝90°，
∴△ABD与△ACE互为“底余等腰三角形”，
故答案为：是．
（2）如图：
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝AD＝AE，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵∠B+∠D＝90°，
∴∠D＝45°，
∴∠D＝∠E＝∠B＝∠C＝45°，
∴△ADE≌△ABC（AAS），
∴DE＝BC，
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH，∠HAB＝∠HAC＝45°，
∴，
∴DE＝BC＝6，
故答案为：6．
15．（2024秋 姑苏区校级月考）如图，点B，F，D在射线AM上，点G，C，E在射线AN上，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GA，则∠A＝ °．
【解答】解：∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GA，设∠A＝x，
则∠AFG＝∠ACB＝x，∠CGF＝∠CEF＝∠CBF＝∠CDF＝2x，
∠ECD＝∠CED＝∠EFD＝∠EDF＝3x，而∠A+∠CED+∠EDF＝180°，
故x＝，
即∠A＝，
故答案为：．
16．（2024 武威三模）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为 10 ．
【解答】解：∵BO为∠ABC的平分线，CO为∠ACB的平分线，
∴∠ABO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO，
∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠BCO，
∴∠ABO＝∠MOB，∠NOC＝∠ACO，
∴MB＝MO，NC＝NO，
∴MN＝MO+NO＝MB+NC，
∵AB＝4，AC＝6，
∴△AMN周长为AM+MN+AN＝AM+MB+AN+NC＝AB+AC＝10，
故答案为：10
三．解答题（共7小题）
17．（2023秋 宝丰县期末）平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（3，4），C（3，﹣1）．
（1）试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点；
（2）求△ABC的面积．
（3）若△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，写出A1、B1、C1的坐标．
【解答】解：（1）如图所示，点A、B、C即为所求；
（2）△ABC的面积为：＝5；
（3）若△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，则A1（1，﹣4）、B1（3，﹣4）、C1（3，1）．
18．（2023秋 乌鲁木齐期末）如图，直线AB∥CD，若∠1＝60°，∠2＝30°，求证：△FCE是等腰三角形．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠DFE＝∠1＝60°，
∵∠DFE＝∠2+∠E，∠DFE＝60°，∠2＝30°，
∴∠2＝∠E，
∴CF＝EF，
∴△FCE是等腰三角形．
19．（2024秋 廊坊期中）如图，在△ABC中，AC＝BC，CF为△ABC的角平分线，边AC的垂直平分线分别交AC，CF，CB于点D，O，E，连接OA、OB．
（1）不添加辅助线，请直接写出图中的等腰三角形（△ABC除外），并用“≌”表示全等的等腰三角形．
（2）若∠CAB＝65°，求∠BOE的度数．（可直接利用（1）的结论）
【解答】解：（1）等腰三角形有△OAB，△OAC，△OBC；
∵AC＝BC，CF 为△ABC的角平分线，
∴CF垂直平分边AB，
∴OA＝OB，
∵边AC 的垂直平分线分别交AC，CF，CB于点D，O，E，
∴OA＝OC，
∴OA＝OC＝OB，
∴△OAB，△OAC，△OBC为等腰三角形，
在△OAC和△OBC中，
，
∴△OAC≌△OBC（SSS）；
（2）∵AC＝BC，∠CAB＝65°，
∴∠CBA＝∠CAB＝65°，∠ACB＝180°﹣∠CBA﹣∠CAB＝50°
∵CF为△ABC的角平分线，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠ACB＝180°﹣90°﹣50°＝40°．
∵△OBC 为等腰三角形，
∴∠CBO＝∠BCF＝25°，
∴∠BOE＝∠DEC﹣∠CBO＝40°﹣25°＝15°．
20．（2024秋 沭阳县校级月考）如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若∠ACB＝110°，则∠MCN的度数为 40° ；
（2）若∠ACB＝α，则∠MCN的度数为 2α﹣180° ；（用含α的代数式表示）
（3）连接FC，试证明FC平分∠MCN．
【解答】（1）解：∵DM，EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM＝CM，BN＝CN，
∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，
∵∠A+∠B+∠ACM+∠BCN+∠MCN＝180°，∠ACB＝∠ACM+∠BCN+∠MCN＝110°，
∴∠A+∠B＝70°，
∴∠A+∠B+∠ACM+∠BCN＝140°，
∴∠MCN＝40°，
故答案为：40°；
（2）解：∵DM，EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM＝CM，BN＝CN，
∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，
∵∠A+∠B+∠ACM+∠BCN+∠MCN＝180°，∠ACB＝∠ACM+∠BCN+∠MCN＝α，
∴∠A+∠B＝180°﹣α，
∴∠A+∠B+∠ACM+∠BCN＝2（180°﹣α）＝360°﹣2α，
∴∠MCN＝180°﹣（360°﹣2α）＝2α﹣180°，
故答案为：2α﹣180°；
（3）证明：如图，连接AF、BF，
由题意可得AF＝CF，BF＝CF，AM＝CM，BN＝CN，
∴AF＝BF，∠ACF＝∠CAF，∠BCF＝∠CBF，∠CAB＝∠ACM，∠CBA＝∠BCN，
∴∠BAF＝∠ABF，
∵∠MCF＝∠ACF﹣∠ACM＝∠CAF﹣∠CAM＝∠BAF，∠NCF＝∠BCF﹣∠BCN＝∠CBF﹣∠CBN＝∠ABF，
∴∠MCF＝∠NCF，
∴FC平分∠MCN．
21．（2024秋 靖江市校级月考）如图，已知AB∥CD，∠BAC的角平分线与CD交于点E，F为射线AB上的一个动点，连接EF，过点C作CG⊥EF，且FG＝EG．
（1）已知∠BAC＝70°，求∠AEF的度数．
（2）若∠AEF＝α，求∠ECG的度数．
【解答】解：（1）如图所示，连接CF，
∵CG⊥EF，FG＝EG．
∴CF＝CE，
∴∠CFE＝∠CEF，
∵AB∥CD，
∴∠BFE＝∠CEF，
∴∠CFE＝∠BFE，
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠AEC，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝35°
∴∠AEC＝∠CAE，
∴CA＝CE，
∴CF＝CA，
∴∠CFA＝∠CAF＝70°，
∴∠CEF＝∠CFE＝∠BFE＝（180°﹣70°）＝＝55°，
∵∠AEC＝35°，
∴∠AEF＝∠CEF﹣∠AEC＝20°；
（2）设∠AEC＝β，
∵∠AEF＝α，
∴∠CEF＝∠AEF+∠AEC＝α+β，
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠AEC＝β，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAE＝2β，
∴∠AEC＝∠EAC，
∴CA＝CE，
∵CG⊥EF，FG＝EG，
∴CG垂直平分EF，
∴CF＝CE，
∴CA＝CF，∠CFE＝∠CEF＝α+β，
∴∠CFA＝∠CAF＝2β，
∵AB∥CD，
∴∠AFE+∠CEF＝180°，
∴∠AFC+∠CFE+∠CEF＝180°，
即2β+α+β+α+β＝180°，
∴β＝，
∴α+β＝，
∵∠CGE＝90°，
∴∠ECG＝90°﹣∠CEF＝90°﹣（α+β）＝45°﹣，
∴∠ECG的度数为45°﹣．
22．（2024秋 高州市校级月考）如图1，A村和B村在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和4千米，又知道CD的长为4千米．
现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水．有两种方案备选方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即AC+AB）．（如图2）方案2：作A点关于直线CD的对称点A'，连接A'B交CD于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道AM和BM．（即AM+BM）（如图3）从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适．
【解答】解：方案1：如图2中，过点A作AE⊥BD于点E，
∵∠ACD]＝∠CDE＝∠AED＝90°，
∴四边形ACDE是矩形，
∴DE＝AC＝1，
∵AC＝1，BD＝4，
∴BE＝BD﹣DE＝4﹣1＝3，
在Rt△ABE中，AB2＝AE2+BE2，
∴，
∴AC+AB＝1+5＝6；
方案2：如图3中，过A′作A′H⊥BD交BD延长线于点H，
∵AA′⊥CD，BH⊥CD，
∴AA′∥BH，
∵A′H⊥BH，
∴CD＝A′H＝4，
同理A′C＝DH，
∵AC＝A′C＝1，
∴BH＝BD+DH＝BD+A′C＝BD+AC＝5，
∴，
∵AM′＝AM，
∴，
∵，
∴方案1路线短，更合适．
23．（2024秋 高新区月考）如图1，已知A，B为直线MN同侧的两点，连接AP，BP，若∠APM＝∠BPN，则称点P为点A，B关于直线MN的“等角点”．
【理解运用】
（1）如图2，在△ABC中，D为BC上一点，点D、E关于直线AB对称，连接EB并延长至点F，判断点B是否为点D、F关于直线AB的“等角点”，并说明理由；
【拓展提升】
（2）如图3，在△ABC中，∠ABC，∠BAC的平分线交于点O，点O到AC的距离为2，直线l垂直平分边BC，点P为O，B关于直线l“等角点”，连接OP，BP，当∠ACB＝60°时，OP+BP的值为 4 ．
【解答】解：（1）点B是点D、F关于直线AB的“等角点”，理由如下：
如图，
∵点D、E关于直线AB对称，
∴∠ABD＝∠ABE，
∵∠ABE＝∠FBM，
∴∠ABD＝∠FBM，
∴点B是点D、F关于直线AB的“等角点”；
（2）如图，连接OC，PC，过点O作OD⊥AC于D，
∵∠ABC，∠BAC的平分线交于点O，
∴OC平分∠ACB，
∴∠OCD＝∠ACB＝30°，
∵OD⊥AC，
∴OC＝2OD＝4，
∵直线l垂直平分边BC，
∴∠BPE＝∠CPE，BP＝CP，
∵点P为O，B关于直线l“等角点”，
∴∠BPE＝∠OPF，
∴∠CPE＝∠OPF，
∵∠OPF+∠BPO+∠BPE＝180°，
∴∠CPE+∠BPO+∠BPE＝180°，
∴O，P，C在同一条直线上，
∴OP+BP＝OP+CP＝OC＝4，
故答案为：4．