北师大版2024-2025学年度九年级上册数学期中模拟测试卷（含答案）

北师大版2024-2025学年度九年级上册数学期中模拟测试卷
数学试卷
（本试卷考查范围前1~3章，共3大题，25个小题。满150分，考试时间120分钟。）
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分；A、B、C、D四个选项中，只有一项符合题意。）
1．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的是（ ）
若，则是菱形
若，则是矩形
若，则是正方形
若，则是正方形
2．用配方法解一元二次方程，则方程可变形为（ ）
A． B． C． D．
3．已知是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A． B．7 C． D．
4．在四边形中，，．下列说法能使四边形为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
5．若实数k、b是一元二次方程的两个根，且，则一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．小刚、小强计划利用暑期从A，B，C三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．某超市一月份的营业额为200万元，第一季度的营业额共1000万元，如果平均每月的增长率为x，则由题意列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，将正方形纸片折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，若，则的度数为（ ）
A． B．
C． D．
9．袋中有50个除颜色外完全相同的小球，搅匀后随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，记为一次试验，通过多次摸球试验后发现从中摸出一个红球的频率稳定在，则估计袋中红球的个数为（ ）
A．20 B．15 C．10 D．5
10．如图，在的边上分别截取、，使；分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接、、、．若，四边形的面积为，则的长为（ ）
A． B．
C． D．
11．某校举行安全系列教育活动主题手抄报的评比活动，学校共设置了“交通安全”“消防安全”“饮食安全”“校园安全”四个主题内容，每位参加活动的同学应从这四个主题中随机选取一个，李明和张佳都参加了本次评比活动，他们两人选取的主题不同的概率是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，正方形的边长为，将该正方形沿方向平移，得到正方形，交于点E，交于点F，则的长为（ ）
B．
C． D．
二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分。）
13．若a是一元二次方程的一个根，则的值是 ．
14．将一元二次方程化为一般形式则a的值为 ．
15．如右图，为斜边上的中线，E为的中点．若，，则 ．
16．在一个不透明的袋中装有40个红、黄、蓝三种颜色的球，除颜色外其他都相同，佳佳和琪琪通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2左右，则袋中红球大约有 ．
三、解答题（9个小题，共98分。）
17．（8分）解方程∶
(1) (2)
18．（10分）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；（5分）
(2)若方程的两个实数根分别为，且，求m的值．（4分）
19．（10分）如图，在中，，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交于的延长线于点，且，连接．
(1)求证：是的中点；（5分）
(2)求证：四边形为矩形．（5分）
20．（10分）“四大名著”《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》是中国优秀文化的重要组成部分．某校九年级计划开展“名著共读”活动．
(1)若从中随机选取1本开展共读活动，抽到《西游记》的概率是____；（5分）
(2)若从中随机选取2本名著开展活动，其中有一本是《西游记》的概率是多少？（用树状图或列表的方法分析过程，并求出结果） （5分）
21．（12分）已知 ，是一元二次方程的两个实数根．
(1)求实数的取值范围．（4分）
(2)若，满足；求实数的值．（4分）
(3)实数在（2）条件下，求代数式的值．（4分）
22．（12分）如图，在矩形中，，．动点、分别从点、以的速度同时出发．动点沿向终点运动，动点沿向终点运动，交对角线于点．设点的运动时间为（秒）．
(1)用含的式子表示：和； （4分）
(2)当四边形是矩形时，求出的值； （4分）
(3)某学习小组发现，在运动过程中，无论为何值，四边形的面积都不变，请加以说明，并求出此面积．（4分）
23．（12分）一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同．
(1)摸出1个球，记下颜色后不放回，并搅匀，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好颜色不同的概率；（要求画树状图或列表） （4分）
(2)摸出1个球记下颜色后放回，再摸出一个球，求两次摸出的球恰好颜色不同的概率；（4分）
(3)观察（1）（2）结果相同吗？你觉得计算两步概率时要注意什么？ （4分）
24．（12分）对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有．像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为配方法．利用以上配方法解决下列问题：
(1)利用配方法分解因式：． （4分）
(2)求二次三项式的最小值． （4分）
(3)已知是实数，试比较与的大小，请说明理由．（4分）
25．（12分）我们国家青少年平均运动时间、身体素质水平都处于严重落后状态，而且还在持续下降．为了引起社会、学校和家庭对青少年的重视，某地区抽查了部分九年级学生，进行了一次身体素质测试，将成绩分成5组并绘制成如图两幅统计图，成绩高于90分的评为优秀．
根据上述所给的统计表中的信息，解决下列问题：
(1)本次抽测了_____名九年级学生，______； （4分）
(2)若该地区有2.4万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有多少人？ （4分）
(3)在本次抽测的优秀学生中按的比例抽取部分学生，其中恰好有2名女生．若从中随机选取2名学生参加市级运动会，求恰好抽取一男一女的概率．（4分）
试卷第1页，共3页
九年级上册 数学期中模拟测试卷 第 1 页，共 4 页 九年级上册 数学期中模拟测试卷 第 1 页，共 4 页
参考答案
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分；A、B、C、D四个选项中，只有一项符合题意。）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C A B B D C C C
题号 11 12
答案 C C
二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分。）
13．8
14．
15．3
16．8个
三、解答题（9个小题，共98分。）
17．(1) (2)
18．解（1）证明：关于的一元二次方程，
，
，
则方程有两个不相等的实数根；
（2）由根与系数的关系可得：，，
，
，即，
整理得：，
解得：或．
19．解：（1）证明：是的中点，
∵，
，
，
又，
，即是的中点；
（2）证明：，，
四边形是平行四边形
，，
即
四边形是矩形．
20．（1）解：根据题意可知，抽到《西游记》的概率为，
故答案为：；
（2）解：把《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》四本书分别记为A，B，C，D，根据题意，画出如下的树状图：
由树状图可知看出，所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相等．
其中有一本是《西游记》的结果有6种，
所以其中有一本是《西游记》的概率是．
故其中有一本是《西游记》的概率是．
21．（1）解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴，
即，
解得：，
∴实数的取值范围．
（2）解：由根与系数关系可得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
上式可化为，
解得，，
∵实数的取值范围，
∴．
（3）解：当时，原一元二次方程为，
∴，，，
∴，，
故，
，
，
，
，
，
，
代入，，原式，
∴代数式的值为．
22．（1）解：∵矩形，，
∴，，
由勾股定理得，，
∴，
∴，，
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，即，解得，，
∴t的值为2．
（3）解：，
∴无论为何值，四边形的面积都不变，面积为．
23．（1）解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，两次摸出的球恰好颜色不同的有4种情况，
∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率是：；
（2）解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球恰好颜色不同的有4种情况，
∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率是：．
（3）解：两次摸法的概率不同，
因此在计算两步概率时要注意第一次摸出的球是放回还是没放回．
24．（1）解：
；
（2）
，
当时，二次三项式的最小值为；
（3）
，
．
25．（1）解：本次抽测了名九年级学生，
；
（2）解：组人数所占的比例为：，
（人），
故该地区有2.4万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有人；
（3）解：组人数为（人），
∵在本次抽测的优秀学生中按的比例抽取部分学生，
∴抽取的优秀学生人数为（人），
∵其中恰好有2名女生，
∴组的男生人数为：（人），
画出树状图如下：
由树状图可得，共有种等可能出现的结果，其中恰好抽取一男一女的结果有12种，
故恰好抽取一男一女的概率为．
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