2024-2025学年四川省达州中学高一（上）第一次质检数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年四川省达州中学高一（上）第一次质检
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
2.命题“，使得”的否定形式是( )
A. ，使得 B. ，使得
C. ，使得 D. ，使得
3.若、、、为集合的四个元素，则以、、、为边长的四边形可能为( )
A. 等腰梯形 B. 菱形 C. 直角梯形 D. 矩形
4.已知，，，均为实数，则下列命题正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若且，则
5.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知，，若不等式恒成立，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.若、、是互不相等的正数，且，则下列关系中可能成立的是( )
A. B. C. D.
8.设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，，则下列结论正确的是( )
A. 若且，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.不等式的解集是，则下列选项正确的是( )
A. 且
B. 不等式的解集是
C.
D. 不等式的解集是
11.已知，，，则( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，，且，则的值为______．
13.已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是______．
14.已知正实数、满足，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设，试比较与的大小．
已知、、、且，，求证：．
16.本小题分
已知正数，满足．
求的最小值；
若恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
若不等式的解集为：或，解关于的不等式：；
解关于的不等式．
18.本小题分
年上海世博会某国要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字型地域，计划在正方形上建一座“观景花坛”，造价为元，在四个相同的矩形上图中阴影部分铺花岗岩地坪，造价为元，再在四个空角如等上铺草坪，造价为元设长为，长为．
试找出与满足的等量关系式；
设总造价为元，试建立与的函数关系若总造价不超过元，求长的取值范围．
19.本小题分
设、、、为正实数，证明不等式：；
若正实数、满足：，求的最小值；
若，，当时，求的最大值．
参考答案
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13.
14.
15.解：
，
因为，所以，，
所以，所以；
证明：，
因为且，，
所以，
又因为，所以，
所以．
16.解：，
，，，
．
当且仅当，即，时取“”，
的最小值为．
，
，
，
且，，
，当且仅当，即时取“”，
，
恒成立，即，解得，
实数的取值范围为．
17.解：因为不等式的解集为或，
所以一元二次方程的两个根是或，且，
由韦达定理得，解得，
又，解得，
故可化为，
故，
解得，
所以不等式的解集为；
当时，原不等式化为，解得，
当时，令，解得或，
故可化为，
当时，则或，
当时，解，解得，
当时，解，解得，
当时，则，解，解得，
当时，则，此时不等式化为，解得，
综上，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，．
18.解：两个相同的矩形和构成的面积为，
，
．
，
又总造价不超过元，
，解得，
故AD长的取值范围为．
19.解：证明：
，
又因为，，，为正实数，所以，
当且仅当时，等号成立，
不等式得证．
由的结论，有：，
当且仅当，又，即，时，等号成立，
则的最小值为．
，
等号成立当且仅当或，
所以的最大值为．
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