2024-2025学年贵州省贵阳市乐湾国际实验学校高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年贵州省贵阳市乐湾国际实验学校高二（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数为虚数单位对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.下列可使，，构成空间的一个基底的条件是( )
A. ，，两两垂直 B.
C. D.
3.已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.已知空间中三点，，，则( )
A. 与是共线向量
B. 与同向的单位向量是
C. 与夹角的余弦值是
D. 与夹角的正弦值是
5.若向量是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得：，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为( )
A. B. C. D.
6.如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足，则下列说法错误的是( )
A. 当时，点在棱上
B. 当时，点在线段上
C. 当时，点在棱上
D. 当时，点在线段上
7.如图，已知空间四边形，其对角线，，，分别是对边，的中点，点在线段上，且，现用向量，，表示向量，设，则，，的值分别为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知平行六面体中，棱、、两两的夹角均为，，，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有( )
A. B. 在方向上的投影向量为
C. 若，则 D. 若，则
10.下列命题正确的是( )
A. 若，则与，共面
B. 若，则，，，共面
C. 若，则，，，共面
D. 若，则，，，共面
11.如图，在三棱柱中，，分别是线段，上的点，且，设，且均为单位向量，若，，则下列说法中正确的是( )
A. 与的夹角为 B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数满足，且是纯虚数，则复数 ______．
13.直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量为，，，则、、的值依次为______．
14.在空间直角坐标系中，若一条直线经过点，且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示，已知直线的方程为，则点到直线的距离为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知中，角，，所对的边分别为，，，其中．
求的值；
若的面积为，周长为，求的外接圆面积．
16.本小题分
如图，在三棱锥中，，求证：．
平行六面体中，，，，，，，求对角线的长．
17.本小题分
如图，在四棱柱中，侧棱平面，，，，，为棱的中点，为棱的中点．
证明：；
求异面直线与所成角的余弦值；
求点到平面的距离．
18.本小题分
四棱锥中，平面，底面是正方形，，点是棱上一点．
求证：平面平面；
当为的一个三等分点，即时，求四面体的体积；
当为中点时，求平面与平面夹角的大小．
19.本小题分
对于实数，，，，称为二阶行列式，定义其一种运算：对于向量，，称为与的向量积，定义一种运算：在三棱锥中，已知，，，．
试计算，并指出向量的几何意义．
求三棱锥的高．
求三棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.、、
14.
15.解：由正弦定理得，
因为，，故，则，
因为，故．
由题意，故．
由余弦定理得，
解得故的外接圆半径，
故所求外接圆面积．
16.解：证明：，，
，
同理由，，
，，
；
，，，
又，，
，，
，
，
对角线的长为．
17.解：证明：根据题意，在四棱柱中，
因为侧棱平面，所以，
又因为，则以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
则，，，，，，
所以，，所以，
所以，故BC；
根据题意，，，而为棱的中点，则，
，，．
所以异面直线与所成角的余弦值．
设平面的法向量为，，，
则，取，得，
点到平面的距离为：
．
18.解：证明：底面是正方形，
，
平面，平面，
，又，，，平面，
平面，又平面，
平面平面．
因为，
所以，
故，
又，
所以，
又平面，底面是正方形，，
所以，
所以，
所以四面体的体积为；
平面，，平面，
所以，，又，
所以，，两两垂直，
以坐标原点，以，，为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，
解得，令，得，
故为平面的一个法向量，
设平面的法向量为，
则，
解得，令，得，
故为平面的一个法向量，
设平面与平面夹角为，则，
则，
所以平面与平面夹角为．
19.解：由题可得，，
所以，，
所以，
由于，所以，
又因为，所以，且，
而显然与不共线，
所以是底面的一个单位法向量．
因为，
所以，
即三棱锥的高．
设侧棱与底面所成角为，
因为，
所以，
即侧棱与底面所成角的正弦值为．
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