2024年北京大兴高二（上）期中数学（PDF版，无答案）

2024北京大兴高二（上）期中
数 学
2024．11
1. 本试卷共 4页，共两部分，21 道小题．满分 150 分。考试时间 120 分钟。
2. 在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号。
3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4. 在答题卡上，选择题用 2B 铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答。
第一部分 （选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）直线 x + y 1 = 0 的倾斜角的正切值为
（A） 1 （B）1
（C） 0 （D） 2
（2）已知两个向量 a = (1， 1，1)，b = (2，m，2) ，且 a ⊥ b ，则 m=
（A） 2 （B） 2
（C） 4 （D） 6
1
（3）过点 M ( 2，a) ， N (a，4) 的直线的斜率为 ，则 | MN |=
2
（A） 2 （B） 2 5
（C） 4 （D） 4 2
（ ）圆 x24 + (y + 2)2 = 1关于 x轴对称的圆的方程为
（A） x2 + (y + 2)2 = 1 （B） (x + 2)2 + y2 = 1
（C） (x + 2)2 + (y 2)2 = 1 （D） x2 + (y 2)2 = 1
（5）若向量 d = (1，1， 2) 是直线 l 的方向向量，向量 n = ( 1，3，0) 是平面 的法向量，则直线 l 与平面
的位置关系是
（A）直线 l 在平面 内 （B）相交但不垂直
（C）平行 （D）垂直
（6）已知直线 x + 2y 4 = 0与直线 2x + my + m + 3 = 0 平行，则它们之间的距离为
（A） 5 （B） 10
3 5 3 10
（C） （D）
2 2
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（7）在平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中， AB = AD = AA1 = 1，
BAD = BAA1 = DAA = 60 ，则 AC1 1 的长为
（A） 3 （B） 6
（C） 3 （D） 6
（8）已知圆O : x2 + y2 = 1 ，直线 3x + 4y 10 = 0 上动点 P ，过点 P 作圆O 的一条切线，切点为 A ，则
| PA | 的最小值为
（A）1 （B） 2
（C） 3 （D） 2
（9）已知点C(2，0) ，直线 kx y + k = 0 (k 0) 与圆 (x 1)2 + (y 1)2 = 2 交于 A，B 两点，则“ ABC 为等
边三角形”是“ k = 1”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（10）如图，放在平面直角坐标系中的“太极图”整体是一个圆形，且黑色阴影区域与白色
区域关于原点中心对称，其中黑色阴影区域在 y 轴右侧部分的边界为一个半圆. 已知
直线 l : y = a(x 2) . 给出下列四个结论：
①当 a = 0 时，若直线 l 截黑色阴影区域所得两部分
面积记为 S1 ，S2 ( S1 S2 ) ，则 S1 : S2 = 3 : 1；
4
②当 a = 时，直线 l 与黑色阴影区域有1个公共点；
3
③当 a [ 1，1]时，直线 l 与黑色阴影区域的边界曲线有 2 个公共点．
其中所有正确结论的序号是
（A）①② （B）①③
（C）②③ （D）①②③
第二部分 （非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
（11）已知 A(1，1)， B(2，2) ，C(0，n) 三点共线，则 n = ______．
（ 2 212）已知圆C : x + y 2x + 4y + a = 0，则圆心C 的坐标为______；当圆C 与 y 轴相切时，
则实数 a的值为______．
（13）已知平面 过点O(0，0，0) ， A(2，2，0) ， B(0，0，2)三点，直线 l 与平面 垂直，则直线 l 的一个方
向向量的坐标可以是______．
（14）直线 x 2y + 2 = 0和 2x + y 6 = 0与两坐标轴正半轴围成的四边形的面积为______．
（15）如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB = 2 ， E 为 BB1 的中点， F 为棱CC1( 含端
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点 ) 上的动点，给出下列四个结论：
①存在 F ，使得 BF ⊥ DE；
②存在 F ，使得 B1F 平面 A1ED ；
③当 F 为线段CC1 中点时，三棱锥 A1 EFD 的体积最小；
④当 F 与C1 重合时，直线 EF 与直线 A1D 所成角的余弦值最小.
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题 14 分）
已知平面内两点 A(8， 6)， B(2，2) ．
（Ⅰ）求线段 AB 的中垂线方程；
（Ⅱ）求过点 P(2， 3) 且与直线 AB 平行的直线的方程．
（17）（本小题 14 分）
已知圆C 的半径为 2 ，圆心在 x轴的正半轴上，直线 3x+4y+4 = 0 与圆C 相切．
（Ⅰ）求圆C 的方程；
（Ⅱ）求直线 x 2y + 2 = 0与圆C 相交的弦长．
（18）（本小题 14 分）
如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA ⊥平面 ABCD ， AB ⊥ BC ， AB ⊥ AD ，
1
且 PA = AB = BC = AD = 2 ．
2
（Ⅰ）求直线 PB与直线CD 所成角的大小；
（Ⅱ）求直线 PD 与平面 PAC 所成角的正弦值．
（19）（本小题 14 分）
已知圆C 过 A(4，1) ，B(0，1) ，M (2，3) 三点，直线 l : y = x + 2 ．
（Ⅰ）求圆C 的方程；
（Ⅱ）求圆C 关于直线 l 对称的圆C 的方程；
（Ⅲ）若 P 为直线 l 上的动点，Q 为圆C 上的动点，O 为坐标原点，求 | OP | + | PQ |的最小值．
（20）（本小题 14 分）
在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，Q 为 PD 的中点， PA ⊥ AD， PA = AB = 2 ，再从条件
①、条件②这两个条件中任选一个作为已知．
（Ⅰ）求证： PA ⊥平面 ABCD；
（Ⅱ）求平面 ACQ 与平面 ABCD 夹角的余弦值；
（Ⅲ）求点 B 到平面 ACQ 的距离．
条件①：平面 PAD ⊥ 平面 ABCD；
条件②： PA ⊥ AB ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
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（21）（本小题 15 分）
已知圆 ： x2 2M + y 12x 14y + 60 = 0及其上一点 A(2，4) ．
（Ⅰ）若圆 N 与 x轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x = 6上，求圆 N 的标准方程；
（Ⅱ）设过点 A的直线 l 与圆 M 相交的另一交点为 B ，且 ABM 为直角三角形，求 l 的方程；
（Ⅲ）设动点T (t，0) ，若圆 M 上存在 P，Q 两点，使得TA +TP = TQ ，求实数 t 的取值范围．
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