广东省佛山市顺德区桂洲中学2025届高三上学期第一次月考数学试卷
1．（2024高三上·顺德月考）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三上·顺德月考）已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高三上·顺德月考）函数y= 的定义域是（ ）
A．[0，2） B．[0.1）∪（1，2）
C．（1，2） D．[0，1）
4．（2024高三上·顺德月考）若正实数满足，则的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．（2024高三上·顺德月考）如图，在矩形中，M是的中点，若，则（ ）
A． B．1 C． D．2
6．（2024高三上·顺德月考）若不等式在上有解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高三上·顺德月考）已知向量，，且，则向量与的夹角等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高三上·顺德月考）已知，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024高三上·顺德月考）已知复数，则（ ）
A．复数z的虚部为3 B．
C．复数z的实部为 D．
10．（2024高三上·顺德月考）下列说法中正确的是（ ）
A．非零向量和满足，则与的夹角为
B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
C．若，则在方向上的投影向量的模为
D．若，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
11．（2024高三上·顺德月考）已知函数，则下列结论中正确的是（ ）.
A．是函数的一个单调减区间
B．的解集为
C．若，则，或
D．方程必有两个实数根
12．（2024高三上·顺德月考）已知向量，，若，则 ．
13．（2024高三上·顺德月考）已知实数满足，则的取值范围是 .
14．（2024高三上·顺德月考）若函数 在 上为增函数，则 取值范围为 .
15．（2024高三上·顺德月考）已知复数，为z的共轭复数，且．
（1）求m的值；
（2）若是关于x的实系数一元二次方程的一个根，求该一元二次方程的另一复数根．
16．（2024高三上·顺德月考）已知关于的不等式．
（1）当时，解关于的不等式；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
17．（2024高三上·顺德月考）在中，，，，D为BC的三等分点（靠近B点）．
（1）求的值；
（2）若点P满足，求的最小值，并求此时的．
18．（2024高三上·顺德月考）已知
（1）求，的值；
（2）求满足的实数a的值；
（3）求的定义域和值域．
19．（2024高三上·顺德月考）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，，且．
（1）求；
（2）若，的面积为，求a，b．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】依题意， ，故 .
故答案为：B.
【分析】解一元二次不等式化简集合A，求函数 的值域化简B.然后求 .
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】因为，
所以.
故选：A.
【分析】由题意可得，再根据复数的四则运算法则，从而得出复数z.
3．【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使原函数有意义，则 ，解得：0≤x＜2，且x≠1．
所以原函数的定义域为[0，1）∪（1，2）．
故选B．
【分析】给出的函数解析式含有分式，分子含有根式，需要根式内部的代数式大于等于0，分母含有对数式，需要对数式的真数大于0且不等于1，最后取交集．
4．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由为正实数，且，得，
则，
当且仅当，即时，取最小值9.
故选：C.
【分析】利用消元法，消去，再利用基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
5．【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为在矩形中，点M是的中点，
所以，
因为，所以，
所以.
故选：C．
【分析】根据矩形的结构特征和中点的性质，再结合平行四边形法则和三角形法则以及向量共线定理，从而由平面向量基本定理结合题意，从而得出的值，进而得出的值.
6．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：因为，所以，不等式化为，
又因为在上单调递减，所以，当时，有最小值，
所以，实数a的取值范围是．
故选：B．
【分析】由已知条件，将不等式进行参变分离得，再根据函数的单调性求得函数的最小值，从而得出实数a的取值范围.
7．【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：由，，得，
由，得，解得，则，
则，，，
因此，而，所以.
故选：D.
【分析】利用两向量垂直则数量积为零，再结合数量积的坐标表示可求出t的值，从而得出向量的坐标，再结合向量的模的坐标表示和数量积的坐标表示，从而由数量积求向量夹角公式和向量夹角的取值范围，进而得出向量与的夹角.
8．【答案】D
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：因为，令，则，
所以，
所以，
因为，所以，即，
所以.
故选：D.
【分析】令，利用换元法求出函数，再结合t的取值范围得出x的取值范围，从而由直接代入法，即可求出函数的解析式.
9．【答案】A,C,D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：对于选项A和选项C，复数，
复数的虚部为3，实部为，所以，选项A和选项C正确；
对于B，，所以，选项B错误；
对于D，，所以，选项D正确.
故选：ACD.
【分析】利用复数的乘法法则求出复数，从而得出复数z的虚部，进而判断出选项A；利用复数求模公式判断出选项B；利用复数的实部的定义，从而判断出选项C；利用复数的乘法运算法则判断出选项D，进而找出正确的选项.
10．【答案】B,C
【知识点】向量的模；平面向量的正交分解及坐标表示；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：对于A：由，则，
所以，即，
所以，
所以，所以与的夹角为，故A错误；
对于B：由，，所以，
则与共线，不能作为平面向量的基底，故B正确；
对于C：因为，则或，
则在方向上的投影向量的模为，故C正确；
对于D：由，，则，
若与的夹角为锐角，则且与不能同向，
即，
解得且，故D正确.
故选：BC．
【分析】利用数量积求模公式和数量积的运算律以及数量积求向量夹角公式，从而判断出选项A；由向量共线定理和平面向量基底的判断方法，从而判断选项B；根据共线向量得出向量的夹角，再结合数量积求投影向量的方法，从而得出在方向上的投影向量的模，进而判断选项C；根据且与不能同向，再结合向量的坐标运算和数量积的坐标表示，则得到关于的不等式组，从而解不等式组得出实数的取值范围，即可判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
11．【答案】B,C
【知识点】函数的单调性及单调区间；复合函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：对于A：当时，，
函数f(x)是由与复合而成，
而与都是减函数，
由复合函数的单调性法则可得在上是增函数，故A错误；
对于B：如图，
当时，由 ，，，
所以不成立；
当时，，也即，解得，
所以的解集为，故B成立；
对于C，当时，，即，解得，
当时，，即，解得，故C正确；
对于D，方程的根是函数与交点的个数，
如图，
函数与只有一个交点，故方程只有一个实数根，故D错误.
故选：BC.
【分析】根据复合函数的单调性判断方法，即可判断选项A；利用分类讨论的方法，再解不等式结合并集的运算法则，即可判断选项B；利用分类讨论的方法，从而解方程，即可判断选项C；利用两函数与的图象和这两个函数的交点的个数与方程的根的个数的等价关系，即可判断D，从而找出结论正确的选项.
12．【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：，，
∵，，解得．
故填：．
【分析】根据向量共线的坐标表示和列向量的坐标运算，从而得出k的值．
13．【答案】
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】解：设，
则，解得，
所以，
因为，
所以，
又因，
所以，
即的取值范围是.
故答案为：.
【分析】 根据不等式的性质设，求出a、b的值，利用不等式的性质进行求解，即可得 的取值范围 .
14．【答案】
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】函数 在 上为增函数，则需 ，
解得 ，故填 .
【分析】由一次函数、二次函数，及增函数的定义便可得到，从而解该不等式组即可得出 的取值。
15．【答案】（1）解：已知，则，
由，得，
解得：.
（2）解：由（1）可知，，将代入方程可得：，即：，
得出：，解得：，，
代入一元二次方程中得：，
解得：，，
即方程另外一个复数根为.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；复数代数形式的加减运算
【解析】【分析】（1）根据共轭复数的概念，再结合复数的加法运算法则，从而得出实数m的值.
（2）由（1）可知，将代入一元二次方程中，从而建立关于a，b的方程组，进而求出参数，的值，再将a，b的值代入一元二次方程中得出，然后再根据求根公式求解得出另外一个复数根.
（1）已知，则，
由于，得，解得：
（2）由（1）可知，，将代入方程可得：，
即：，得：，解得：，，
代入一元二次方程中得：，
解得：，，
即方程另外一个复数根为
16．【答案】解：（1）不等式可化为，
当时，不等式化为；
①时，，解不等式得，
②时，，解不等式得，
③时，，解不等式得．
综上所述，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为．
（2）由题意不等式化为，
当时，，且，
所以，原不等式可化为恒成立，
设，，则的最小值为，
所以，实数的取值范围是．
【知识点】函数恒成立问题；一元二次不等式及其解法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）首先将不等式因式分解后，再分类讨论的取值范围，从而解出不等式的解集.
（2）利用x的取值范围和不等式的基本性质，将不等式参变分离，从而将不等式转化为恒成立，再结合不等式恒成立问题，从而转化为求函数的最小值，进而求出实数的取值范围.
17．【答案】（1）解：因为，，所以
（2）解：如图建立直角坐标系，
则，，，令，
所以，，
∴，
∴当时，，此时.
【知识点】函数的最大（小）值；平面向量的基本定理；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）利用平面向量基本定理，将和分别用，线性表示，再由数量积运算法则得出的值.
（2）利用已知条件，建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，设，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积的坐标表示将所求式子表示为关于的函数，进而由二次函数的图象求最值的方法得出的最小值，并求此时的．
（1）因为，
所以
（2）如图建立直角坐标系，则，，
令
所以，
∴
∴当时，，
此时
18．【答案】（1）解：，
.
（2）解：由或，解得.
（3）如图所示：
所以，函数的定义域为，
值域为.
【知识点】函数的值域；函数的值；简单函数定义域
【解析】【分析】（1）根据分段函数的解析式和自变量所属范围，从而求出函数的值.
(2)根据函数值和分段函数的解析式，再结合分类讨论的方法，从而求出对应的自变量的值.
(3)利用分段函数的解析式画出分段函数的图象，从而由分段函数的图象确定分段函数的定义域和值域.
（1），
.
（2）由或，解得.
（3）
的定义域为，值域为
19．【答案】（1）解：由有，
展开，由正弦定理，
有（*），
又，所以，
有，
代入（*）有，
因为，所以，则，
变形为，因为，所以，故；
（2）解：由，，
可得，因为，所以，联立解得，或．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由题意，利用向量垂直的坐标表示可得，再根据正弦定理化边为角，结合三角形内角和动力以及两角和的正弦公式化简求角即可；
（2）由（1）的结论，以及三角形面积公式可得，再由余弦定理可得，联立即可求得a，b 的值.
1 / 1广东省佛山市顺德区桂洲中学2025届高三上学期第一次月考数学试卷
1．（2024高三上·顺德月考）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】依题意， ，故 .
故答案为：B.
【分析】解一元二次不等式化简集合A，求函数 的值域化简B.然后求 .
2．（2024高三上·顺德月考）已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】因为，
所以.
故选：A.
【分析】由题意可得，再根据复数的四则运算法则，从而得出复数z.
3．（2024高三上·顺德月考）函数y= 的定义域是（ ）
A．[0，2） B．[0.1）∪（1，2）
C．（1，2） D．[0，1）
【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使原函数有意义，则 ，解得：0≤x＜2，且x≠1．
所以原函数的定义域为[0，1）∪（1，2）．
故选B．
【分析】给出的函数解析式含有分式，分子含有根式，需要根式内部的代数式大于等于0，分母含有对数式，需要对数式的真数大于0且不等于1，最后取交集．
4．（2024高三上·顺德月考）若正实数满足，则的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由为正实数，且，得，
则，
当且仅当，即时，取最小值9.
故选：C.
【分析】利用消元法，消去，再利用基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
5．（2024高三上·顺德月考）如图，在矩形中，M是的中点，若，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为在矩形中，点M是的中点，
所以，
因为，所以，
所以.
故选：C．
【分析】根据矩形的结构特征和中点的性质，再结合平行四边形法则和三角形法则以及向量共线定理，从而由平面向量基本定理结合题意，从而得出的值，进而得出的值.
6．（2024高三上·顺德月考）若不等式在上有解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：因为，所以，不等式化为，
又因为在上单调递减，所以，当时，有最小值，
所以，实数a的取值范围是．
故选：B．
【分析】由已知条件，将不等式进行参变分离得，再根据函数的单调性求得函数的最小值，从而得出实数a的取值范围.
7．（2024高三上·顺德月考）已知向量，，且，则向量与的夹角等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：由，，得，
由，得，解得，则，
则，，，
因此，而，所以.
故选：D.
【分析】利用两向量垂直则数量积为零，再结合数量积的坐标表示可求出t的值，从而得出向量的坐标，再结合向量的模的坐标表示和数量积的坐标表示，从而由数量积求向量夹角公式和向量夹角的取值范围，进而得出向量与的夹角.
8．（2024高三上·顺德月考）已知，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：因为，令，则，
所以，
所以，
因为，所以，即，
所以.
故选：D.
【分析】令，利用换元法求出函数，再结合t的取值范围得出x的取值范围，从而由直接代入法，即可求出函数的解析式.
9．（2024高三上·顺德月考）已知复数，则（ ）
A．复数z的虚部为3 B．
C．复数z的实部为 D．
【答案】A,C,D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：对于选项A和选项C，复数，
复数的虚部为3，实部为，所以，选项A和选项C正确；
对于B，，所以，选项B错误；
对于D，，所以，选项D正确.
故选：ACD.
【分析】利用复数的乘法法则求出复数，从而得出复数z的虚部，进而判断出选项A；利用复数求模公式判断出选项B；利用复数的实部的定义，从而判断出选项C；利用复数的乘法运算法则判断出选项D，进而找出正确的选项.
10．（2024高三上·顺德月考）下列说法中正确的是（ ）
A．非零向量和满足，则与的夹角为
B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
C．若，则在方向上的投影向量的模为
D．若，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
【答案】B,C
【知识点】向量的模；平面向量的正交分解及坐标表示；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：对于A：由，则，
所以，即，
所以，
所以，所以与的夹角为，故A错误；
对于B：由，，所以，
则与共线，不能作为平面向量的基底，故B正确；
对于C：因为，则或，
则在方向上的投影向量的模为，故C正确；
对于D：由，，则，
若与的夹角为锐角，则且与不能同向，
即，
解得且，故D正确.
故选：BC．
【分析】利用数量积求模公式和数量积的运算律以及数量积求向量夹角公式，从而判断出选项A；由向量共线定理和平面向量基底的判断方法，从而判断选项B；根据共线向量得出向量的夹角，再结合数量积求投影向量的方法，从而得出在方向上的投影向量的模，进而判断选项C；根据且与不能同向，再结合向量的坐标运算和数量积的坐标表示，则得到关于的不等式组，从而解不等式组得出实数的取值范围，即可判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
11．（2024高三上·顺德月考）已知函数，则下列结论中正确的是（ ）.
A．是函数的一个单调减区间
B．的解集为
C．若，则，或
D．方程必有两个实数根
【答案】B,C
【知识点】函数的单调性及单调区间；复合函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：对于A：当时，，
函数f(x)是由与复合而成，
而与都是减函数，
由复合函数的单调性法则可得在上是增函数，故A错误；
对于B：如图，
当时，由 ，，，
所以不成立；
当时，，也即，解得，
所以的解集为，故B成立；
对于C，当时，，即，解得，
当时，，即，解得，故C正确；
对于D，方程的根是函数与交点的个数，
如图，
函数与只有一个交点，故方程只有一个实数根，故D错误.
故选：BC.
【分析】根据复合函数的单调性判断方法，即可判断选项A；利用分类讨论的方法，再解不等式结合并集的运算法则，即可判断选项B；利用分类讨论的方法，从而解方程，即可判断选项C；利用两函数与的图象和这两个函数的交点的个数与方程的根的个数的等价关系，即可判断D，从而找出结论正确的选项.
12．（2024高三上·顺德月考）已知向量，，若，则 ．
【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：，，
∵，，解得．
故填：．
【分析】根据向量共线的坐标表示和列向量的坐标运算，从而得出k的值．
13．（2024高三上·顺德月考）已知实数满足，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】解：设，
则，解得，
所以，
因为，
所以，
又因，
所以，
即的取值范围是.
故答案为：.
【分析】 根据不等式的性质设，求出a、b的值，利用不等式的性质进行求解，即可得 的取值范围 .
14．（2024高三上·顺德月考）若函数 在 上为增函数，则 取值范围为 .
【答案】
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】函数 在 上为增函数，则需 ，
解得 ，故填 .
【分析】由一次函数、二次函数，及增函数的定义便可得到，从而解该不等式组即可得出 的取值。
15．（2024高三上·顺德月考）已知复数，为z的共轭复数，且．
（1）求m的值；
（2）若是关于x的实系数一元二次方程的一个根，求该一元二次方程的另一复数根．
【答案】（1）解：已知，则，
由，得，
解得：.
（2）解：由（1）可知，，将代入方程可得：，即：，
得出：，解得：，，
代入一元二次方程中得：，
解得：，，
即方程另外一个复数根为.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；复数代数形式的加减运算
【解析】【分析】（1）根据共轭复数的概念，再结合复数的加法运算法则，从而得出实数m的值.
（2）由（1）可知，将代入一元二次方程中，从而建立关于a，b的方程组，进而求出参数，的值，再将a，b的值代入一元二次方程中得出，然后再根据求根公式求解得出另外一个复数根.
（1）已知，则，
由于，得，解得：
（2）由（1）可知，，将代入方程可得：，
即：，得：，解得：，，
代入一元二次方程中得：，
解得：，，
即方程另外一个复数根为
16．（2024高三上·顺德月考）已知关于的不等式．
（1）当时，解关于的不等式；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】解：（1）不等式可化为，
当时，不等式化为；
①时，，解不等式得，
②时，，解不等式得，
③时，，解不等式得．
综上所述，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为．
（2）由题意不等式化为，
当时，，且，
所以，原不等式可化为恒成立，
设，，则的最小值为，
所以，实数的取值范围是．
【知识点】函数恒成立问题；一元二次不等式及其解法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）首先将不等式因式分解后，再分类讨论的取值范围，从而解出不等式的解集.
（2）利用x的取值范围和不等式的基本性质，将不等式参变分离，从而将不等式转化为恒成立，再结合不等式恒成立问题，从而转化为求函数的最小值，进而求出实数的取值范围.
17．（2024高三上·顺德月考）在中，，，，D为BC的三等分点（靠近B点）．
（1）求的值；
（2）若点P满足，求的最小值，并求此时的．
【答案】（1）解：因为，，所以
（2）解：如图建立直角坐标系，
则，，，令，
所以，，
∴，
∴当时，，此时.
【知识点】函数的最大（小）值；平面向量的基本定理；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）利用平面向量基本定理，将和分别用，线性表示，再由数量积运算法则得出的值.
（2）利用已知条件，建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，设，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积的坐标表示将所求式子表示为关于的函数，进而由二次函数的图象求最值的方法得出的最小值，并求此时的．
（1）因为，
所以
（2）如图建立直角坐标系，则，，
令
所以，
∴
∴当时，，
此时
18．（2024高三上·顺德月考）已知
（1）求，的值；
（2）求满足的实数a的值；
（3）求的定义域和值域．
【答案】（1）解：，
.
（2）解：由或，解得.
（3）如图所示：
所以，函数的定义域为，
值域为.
【知识点】函数的值域；函数的值；简单函数定义域
【解析】【分析】（1）根据分段函数的解析式和自变量所属范围，从而求出函数的值.
(2)根据函数值和分段函数的解析式，再结合分类讨论的方法，从而求出对应的自变量的值.
(3)利用分段函数的解析式画出分段函数的图象，从而由分段函数的图象确定分段函数的定义域和值域.
（1），
.
（2）由或，解得.
（3）
的定义域为，值域为
19．（2024高三上·顺德月考）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，，且．
（1）求；
（2）若，的面积为，求a，b．
【答案】（1）解：由有，
展开，由正弦定理，
有（*），
又，所以，
有，
代入（*）有，
因为，所以，则，
变形为，因为，所以，故；
（2）解：由，，
可得，因为，所以，联立解得，或．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由题意，利用向量垂直的坐标表示可得，再根据正弦定理化边为角，结合三角形内角和动力以及两角和的正弦公式化简求角即可；
（2）由（1）的结论，以及三角形面积公式可得，再由余弦定理可得，联立即可求得a，b 的值.
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