2024级高一上学期第一次教学质量检测
数学试题
一、单选题（每小题4分，共40分）
1.已知集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是（ ）
A.， B.，
C.， D.，
3.下列关系中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
4.设集合，则，则等于（ ）
A. B. C. D.
5.设全集，，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
6.下列选项正确的是（ ）
A.“平行四边形的对角线互相垂直”是“这个平行四边形是菱形”的充分条件
B.“两个三角形的周长相等”是“这两个三角形全等”的充分条件
C.“”是“”的必要条件
D.“”是“”的必要条件
7.若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知命题，，命题，，则（ ）
A.p和q均为真命题 B.和q均为真命题
C.p和均为真命题 D.和均为真命题
9.设集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10.某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为（ ）
A.27 B.23 C.25 D.29
二、多选题（每小题6分，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分）
11.在以下写法中写法正确的是（ ）
A. B. C. D.
12.已知集合，，全集，则（ ）
A. B.
C. D.
13.下列说法正确的是（ ）
A.命题“，”的否定是“，”
B.命题“，”是假命题
C.“”是“”的充分条件
D.“”是“”的充分不必要条件
三、填空题（每小题5分，共15分）
14.集合的非空真子集有______个.
15.已知集合M满足，则满足条件的集合M的个数为______.
16.设全集，集合，集合，若，则实数m的取值范围为______.
四、解答题（共77分）
17.（13分）设集合，，，求
（1）；
（2）；
（3）.
18.（15分）设全集，集合，，求
（1），
（2），
（3）.
19.（15分）已知集合，，且.
（1）写出集合A的所有子集；
（2）求实数m的值组成的集合.
20.（1）（5分）若命题“，”为假命题，求实数a的最小值.
（2）（12分）求证：方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是.
21.（17分）已知：或.
（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
（2）若p是的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
2024级高一上学期第一次教学质量检测
数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
答案 C D B B D A C B C A BC AC ABD
3.B【详解】对于A，因为不是正整数，所以，故A错误；对于B，因为不是有理数，所以，故B正确；对于C.，因为0是自然数，所以，故C错误；对于D，因为不是整数，所以，故D错误.故选：B.
5.D【详解】由已知可解得，，，
，所以图中阴影部分表示得集合为，故选：D
6.A【详解】对于A中，平行四边形的对角线互相垂直是菱形的判定定理，即，所以A正确；对于B中，三边分别为3，4，5的三角形是周长为12的直角三角形，三边为4，4，4的三角形是等边三角形，两三角形周长相等但不全等，即，所以B错误；对于C中，例如：当时，满足，但，所以是的充分条件，所以C错误；对于D中，若，，满足，但不成立，所以D错误.故选：A.
7.C【详解】对A：依题意可得，故A错误；对即为与的交点，即，
解得或，即，故B错误；对，故C正确.
对，故D错误；故选：C.
8.B【详解】对于命题p，当时，，所以p为假命题，则为真命题；对于命题q，当时，，所以q为真命题，则为假命题；综上，和q均为真命题.故选：B
9.C【详解】由集合，，又，实数a的取值范围为：.
故选：C.
10.Α
【详解】作出韦恩图，如图所示，可知5人只喜欢唱歌，2人只喜欢跳舞，1人只喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞但不喜欢书法的有10人，同时喜欢唱歌和书法但不喜欢跳舞的有4人，同时喜欢跳舞和书法但不喜欢唱歌的有3人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为.
故选：A.
11.BC【详解】对于A，0不是集合的元素，故，故错误；对于B，空集是任一集合的子集，故正确；对于C，，故成立，故正确；对于D，集合中的元素在集合中，故，故错误.故选：BC.
12.AC【详解】因为，，，所以，，故A正确，B不正确；又，，所以，集合A不是的子集，故C正确，D不正确，故选：AC
13.ABD【详解】对于A，根据存在量词命题的否定形式可知A正确；对于B，在中，，所以方程无解，故B正确；对于C，取，，满足，但，即充分性不成立，故C错误；对于D，因为是的真子集，所以“”是“”的充分必要不条件，故D正确.故选：ABD.
14.30【详解】根据元素互异性集合A中有5个元素，所以非空真子集有.
故答案为：30.
15.16【详解】由已知可得，a一定是集合M的元素，所以只需要考虑剩余元素b，c，d，e出现在集合M中的情况即可.又集合的子集个数为，所以所有满足条件的集合M的个数是16.故答案为：16.
16.【详解】因为集合，集合，若，则，解得，所以实数m的取值范围为故答案为：.
17.（1）
（2）
（3）
【详解】（1）由，得 3分
（2）由，得，
又，故 8分
（3），故 13分
18.（1），
（2），
（3）.
【详解】（1），，
， 3分
（2）， 8分
（3）易得，
. 15分
19.（1），，，
（2）
【详解】（1）由解得或，
所以， 3分
所以集合的所有子集为，，，， 6分
（2）由得， 8分
①当时，，满足条件. 10分
②当时，，因为，
所以或，解得或 14分
综上，实数的值组成集合为. 15分
20.（1）；（2）2
【详解】（1）“，”为假命题
“，”为真命题， 2分
则对恒成立，
即，
故实数的最小值为2. 5分
（2）先证明充分性：
若，设方程的两个实根为，，
则，所以
有两不等实根. 4分
，，
所以两根同号；
故方程有两个同号且不相等的实根； 7分
再证明必要性：
若方程有两个不相等的实根，
则，解得①； 11分
又方程有两个同号的实根，
由韦达定理得两个之积必为正数:
②
由①②得的取值范围是； 16分
方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是. 17分
21.（1）；
（2）.
【详解】（1）因为，所以，即， 2分
条件下x的范围如图所示
4分
因为是的充分条件，所以作图如下:
所以或，
解得或，即实数的取值范围是； 9分
（3）依题意，， 11分
由（1）知，
又是的必要不充分条件，
或， 15分
解得或
实数的取值范围是. 17分2024级高一上学期第一次教学质量检测 数学答题卷
三、填空题：
四、解答题：
