选择必修第二册 第四章 4.1 数列的概念（第1课时） 课件(共24张PPT)

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第四章 数列
4.1 数列的概念（第1课时）
教学目标
学习目标 数学素养
1.理解数列的有关概念与数列的表示方法． 1.逻辑推理素养.
2.掌握数列的分类，了解数列的单调性． 2.数学抽象素养.
3.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任一项． 3.逻辑推理素养和数学运算素养.
本章引入
第四章 数列
对数列的研究源于现实生产、生活的需要. 例如，一棵树在某一时刻的高度是2m，如果在每年的同-时刻都记录下这棵树的高度，并按先后顺序排列起来，就得到一列数.人们常用这样的一列数有序地表达一类事物，或者记录一个过程.像这样按照确定的顺序排列的一列数称为数列.如果用正整数表示事物发展过程的先后顺序，并且把这样的正整数看作自变量的取值，把事物的对应数值看作相应的函数值，那么数列就是定义在正整数集(或正整数集的有限子集)上的一类离散函数.
本章我们将学习数列的概念和表示方法，并研究两类特殊的数列——等差数列和等比数列，探索它们的取值规律，建立它们的通项公式、前n项和公式，并应用它们解决一些问题. 我们将把数列看成一类特殊的函数，并用函数的思想方法研究数列. 我们还将学习数学归纳法，这是一种证明与正整数有关的数学命题的特殊方法.在本章的学习中，我们可以体验通过数学抽象获得一个数学对象，并通过数学运算、逻辑推理等进行研究的过程和方法;通过建立数学模型刻画具有递推规律的事物，提高解决实际问题的能力.
新知探究
4.1 的概念（第1课时）
在现实生活和数学学习中，我们经常需要根据问题的意义，通过对一些数据按特定顺序排列的方法来刻画研究对象.例如:
1.王芳从1岁到17岁，每年生日那天测量身高，将这些身高数据(单位：cm)依次排成一列数：
75，87，96，103，110，116，120，128，138，
145，153，158，160，162，163，165，168. ①
记王芳第i岁时的身高为hi，
那么h1=75，h2=87，……，h17=168.
我们发现，hi 中的i反映了身高按岁数从1到17的顺序排列时的确定位置，h1=75是排在第一位的数，h2=87是排在第二位的数，……，h17 =168是排在第17位的数，
它们之间不能交换位置.
所以，①是具有确定顺序的一列数.
知新引入
记第i天月亮可见部分的数为si,那么s1=5，s2=10，…，s15=240. 这里，si中的i反映了月亮可见部分的数按日期从1到15的顺序排列时的确定位置，即s1=5是排在第1位的数，s2=10是排在第2位的数，…，s15=240是排在第15位的数，
2. 在两河流域发掘的一块泥版上就有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数：
5，10，20，40，80，96，112，128，
144，160，176，192，208，224，240 ②
把满月分成240份，则从初一到十五每天月亮的可见部分可用一个代表份数的数来表示.
它们之间不能交换位置.
所以，②也是具有确定顺序的一列数.
知新探究
- -，… ③
记i次幂为ai ，那么a1 =- ，a2 = ，…，这里ai 中的i反映了从1到n按顺序排列时的确定位置，a1 =-是排第一位的数，a2= 是排在第二位的数，…
3.的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数:
.
它们之间不能交换位置.
所以，③也是具有确定顺序的一列数.
上述例子的共同特征是什么
你能仿照上面的叙述，说明③也是具有确定顺序的一列数吗
知新探究
数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示.其中第1项也叫做首项.
前面研究的例子中，①是按年龄从小到大的顺序排列的，②是照每月的日期从小到大的顺序排列的，③是按幂指数从小到大的顺序排列的，它们都是从第1项开始的.
数列中的每一个数叫做这个数列的项.
注意：这里要理清“数列的项”、“首项”、“数列的项数”.
一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列（sequence of number）.
项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列.
试以①②③例说明它们的“项”、“首项”、“项数”，并判断它们是有穷数列还是无穷数列.
知新探究
数列的一般形式是
a1，a2，a3，…，an，…
简记为{an}.
问题1 1，3，5，7是一个数列，7，5，3，1也是一个数列，这两个数列是不是同一个数列？
问题2 1，1，1，1，1，…是不是一个数列？
问题3：数列与集合有什么区别？
数列{an}中的数是有一定顺序的，而集合中的元素没有顺序；
数列{an}中是一列数，而集合中的元素不一定是数；
数列{an}中的数可以重复，而集合中的元素不能重复.
问题4 {an} 与an的意思一样吗？
知新探究
由于数列{an}中的每一项an与它的序号n有下面的对应关系:
所以数列{an}是从正整数集N﹡(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数,其自变量是序号n,对应的函数值是数列的第n项an，记为an=f(n)．
也就是说,当自变量从1开始,按照从小到大的顺序依次取值时,对应的一列函数值f(1)，f(2)，…，f(n)，…，就是数列{an}.另一方面,对于函数y=f(x)，如果f(n)(n∈N﹡）有意义,那么
f(1)，f(2)，…，f(n)，…，
构成了一个数列{f(n)}.
数列是一种特殊的函数，但函数不一定是数列.
序号
项
(自变量)
(函数值)
以前我们学习的 函数的自变量通常是 连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数.
知新探究
与其他函数一样，数列也可以用表格和图象表示
如问题1中的数列①可以表示下表
它的图象如图所示.
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
an 75 87 96 103 110 116 120 128 138 145 153 158 160 162 163 165 168
从上表和上图，你能发现此数列中的项随序号的变化呈现出的特点吗
可以发现数列中的项的大小随序号的增大而增大.
知新探究
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；
与函数类似，我们可以定义数列的单调性.
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列.
特别地，各项都相等的数列叫做常数列.
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列，叫摆动数列.
此数列的通项公式为：an=.
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
例如， 的1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数:
显然，通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项.
知新探究
【例1】根据下列数列{an}的通项公式, 写出数列的前5项,并画出它们的图象.
⑴； ⑵.
解：
⑴当通项公式中的n=1，2，3，4，5时，数列{an}的前5项依次为1，3，6，10，15.
图象如图所示.
知新探究
【例1】根据下列数列{an}的通项公式, 写出数列的前5项,并画出它们的图象.
⑴； ⑵.
解：
⑵当通项公式中的n=1，2，3，4，5时，数列{an}的前5项依次为1，0，-1，0，1.
图象如图所示.
思考：数列的图像可能是连续的线条吗？为什么？
初试身手
1.已知数列的通项公式an=，则a2a3等于(　　)
A.70 B.28 C.20 D.8
解：
由an=，得
∴a2a3=2×10=20.故选C.
C
a2=2×2-2=2，a3=3×3+1=10,
知新探究
【例2】根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式:
⑴1,1,1,1，…； ⑵1，-1,1，-1，…；
⑶1×2,2×3,3×4,4×5，…； ⑷9,99,999，9999，…；
解：
⑴an=1;
⑵an=(-1)n+1;
an=
⑶an=n(n+1);
⑷an=10n-1;
第⑵题的通项公式还有没有其它结果？
(-1)n或(-1)n+1
常常用来表示正负相间的变化规律.
an=
知新探究
【例2】根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式:
⑸1,-,… ⑹2,0,2,0,…
解：
⑹可以看成数列1,1,1,1，…与数列1，-1,1，-1，…，对应项的和所得的数列，an=1+(-1)n+1.
这两道题的通项公式还有没有其它结果？
⑹an=1+(-1)n+1.
⑸；
分析：⑸可以看成数列1，，…与数列1，-1,1，-1，…，对应项的乘积所得的数列，；
注意：
①一些数列的通项公式不是唯一的；
②不是每一个数列都能写出它的通项公式；
③常用来表示正负相间的变化规律.
知新探究
用观察法求数列通项公式的策略
1.统一数列各项的表示形式；
2.根据数列各项的结构拆项，使每一部分与项数的关系更明显；
3.根据每一部分与项数的关系，写出数列的通项公式.
初试身手
⑴an=2n-1;
⑵an=;
2.根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式:
⑴ 1,3,5,7,…； ⑵ 1,11,111,1111，…；
⑶0.9,0.99,0.999,0.9999，…; ⑷ ,…；
⑸,…; ⑹,….
⑶an=1-;
⑷an= ;
解：
⑸an=;
⑹an=.
课堂小结
1.数列
把按照确定的顺序排列的一列数称为数列（sequence of number）.数列中的每一个数叫做这个数列的项.
2.数列的分类
数列{an}是从正整数集N﹡(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数,其自变量是序号n,对应的函数值是数列的第n项an，记为an=f(n)．
类别 含义
按项数
按项的变化趋势
有穷数列
无穷数列
项数有限的数列叫做有穷数列
项数无限的数列叫做有穷数列
递增数列
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列
递减数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列
常数列
各项都相等的数列叫做常数列
摆动数列
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列，叫做摆动数列
课堂小结
3.数列的表示
①按顺序一一列举：a1，a2，a3，…，an，… 简记{an}
②列表法
③图象法
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项.
④通项公式法
作业布置
作业： P5 练习 第2,3题
P8 习题4.1 第1，2⑴⑵,3题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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