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7第12章《全等三角形》单元核心考点专题卷
核心考点一 全等三角形的概念及性质
1．如图，四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'，则∠A的度数是 °．
2．如图，点 B、E、C、F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，∠A＝∠D，BF＝10，EC＝4，则CF＝ ．
核心考点二 全等三角形的判定
3．如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（ ）
A．AC＝DF B．BE＝FC C．∠ACB＝∠F D．∠A＝∠D
4．已知△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，现有两个判断：①若A1B1＝A2B2，A1C1＝A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；②若A1B1＝A2B2，∠A1＝∠A2，则△A1B1C1≌△A2B2C2，对于上述的两个判断，下列说法正确的是（ ）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确
C．①②都错误 D．①②都正确
5．如图，已知BC＝EC，∠BCE＝∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为 ．（答案不唯一，只需填一个）
6．如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB∥DE，BC∥EF，AB＝DE．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若AF＝5，CF＝4，求AD的长．
核心考点三 全等三角形判定的几种应用
类型1 已知一边一角型
7．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，CE⊥AD于点E，BF⊥AD交AD的延长线于点F．
（1）求证：CE＝BF；
（2）若AE+AF＝16，求AD的长．
类型2 已知两边型
8．已知：DA⊥AB，CA⊥AE，AB＝AE，AC＝AD，求证：DE＝BC．
类型3 已知两角型
9．如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB＝OC．
核心考点四 角平分线的性质与判定
类型1 作一边的垂线段
10．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于E点，DF⊥AB于F点．若AB+AC＝18，S△ABC＝36，求DF的长．
类型2 作两边的垂线段
11．如图，AD是△ABC的角平分线，E、F分别是AC、AB上的两点，CE＝BF，求证：S△DCE＝S△DBF．
12．如图，在四边形ABCD中，AC为∠BAD的平分线，AB＝AD，点E，F分别在AB，AD上，且AE＝DF．请完整说明为何四边形AECF的面积为四边形ABCD面积的一半．中小学教育资源及组卷应用平台
7第12章《全等三角形》单元核心考点专题卷
核心考点一 全等三角形的概念及性质
1．如图，四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'，则∠A的度数是 95 °．
【思路点拔】利用相似多边形对应角相等即可求解．
解：∵四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，
∴∠D＝∠D′＝130°，
∴∠A＝360°﹣130°﹣60°﹣75°＝95°，
故答案为：95．
2．如图，点 B、E、C、F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，∠A＝∠D，BF＝10，EC＝4，则CF＝ 3 ．
【思路点拔】利用SAS证明△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质得出BC＝EF，根据线段的和差即可得解．
解：在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴BC＝EF，
∴BE＝CF，
∵BF＝10，EC＝4，
∴BE+CF＝BF﹣EC＝6，
∴CF＝3，
故答案为：3．
核心考点二 全等三角形的判定
3．如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（ ）
A．AC＝DF B．BE＝FC C．∠ACB＝∠F D．∠A＝∠D
【思路点拔】根据全等三角形的判定，利用SAS、AAS、ASA即可得答案．
解：∵∠B＝∠DEF，AB＝DE，
A、添加AC＝DF，不能判定△ABC≌△DEF，故此选项符合题意；
B、添加BE＝FC，则BC＝FE，利用SAS可得△ABC≌△DEF，故此选项不符合题意；
C、添加∠ACB＝∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF，故此选项不符合题意；
D、添加∠A＝∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF，故此选项不符合题意；
故选：A．
4．已知△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，现有两个判断：①若A1B1＝A2B2，A1C1＝A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；②若A1B1＝A2B2，∠A1＝∠A2，则△A1B1C1≌△A2B2C2，对于上述的两个判断，下列说法正确的是（ ）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确
C．①②都错误 D．①②都正确
【思路点拔】根据SSS即可推出△A1B1C1≌△A2B2C2，判断①正确；由已知条件不能得到△A1B1C1≌△A2B2C2，故②错误．
解：∵△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，A1B1＝A2B2，A1C1＝A2C2，
∴B1C1＝B2C2，
∴△A1B1C1≌△A2B2C2（SSS），故①正确；
∵由A1B1＝A2B2，∠A1＝∠A2，不能得到△A1B1C1≌△A2B2C2，故②错误；
故选：A．
5．如图，已知BC＝EC，∠BCE＝∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为 AC＝CD ．（答案不唯一，只需填一个）
【思路点拔】可以添加条件AC＝CD，再由条件∠BCE＝∠ACD，可得∠ACB＝∠DCE，再加上条件CB＝EC，可根据SAS定理证明△ABC≌△DEC．
解：添加条件：AC＝CD，
∵∠BCE＝∠ACD，
∴∠ACB＝∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
故答案为：AC＝CD（答案不唯一）．
6．如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB∥DE，BC∥EF，AB＝DE．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若AF＝5，CF＝4，求AD的长．
【思路点拔】（1）根据平行线的性质得出∠A＝∠D，∠ACB＝∠DFE，再根据AAS证明△ABC≌△DEF即可；
（2）根据全等三角形的性质推出CD＝AF＝5，即可得出结果．
解：（1）证明：∵AB∥DE，BC∥EF，
∴∠A＝∠D，∠ACB＝∠DFE，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；
（2）解：由（1）知，△ABC≌△DEF，
∴AC＝DF，
∴CD＝AF＝5，
∴AD＝AF+CF+CD＝5+4+5＝14．
核心考点三 全等三角形判定的几种应用
类型1 已知一边一角型
7．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，CE⊥AD于点E，BF⊥AD交AD的延长线于点F．
（1）求证：CE＝BF；
（2）若AE+AF＝16，求AD的长．
【思路点拔】（1）中线可得BD＝CD，通过两个垂直可以判断两个角都为90°，还有对顶角，通过（AAS）即可证明两个三角形全等，进而得证．
（2）通过观察可发现AE+AF根据（1）中的全等可拆分为2AD，从而得出答案．
解：（1）证明：∵AD是BC的边上的中线，
∴BD＝CD，
∵CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠BFD＝∠CED＝90°．
在△BFD和△CED中，
，
∴△BFD≌△CED（AAS），
∴BF＝CE．
（2）解：由（1）知△BFD≌△CED，
∴DF＝DE，
∵AE+AF＝16，
∴AE+AE+DE+DF＝2AE+2DE＝16，
∴2AD＝16，
∴AD＝8．
故AD＝8．
类型2 已知两边型
8．已知：DA⊥AB，CA⊥AE，AB＝AE，AC＝AD，求证：DE＝BC．
【思路点拔】由垂直的定义得到一对直角相等，再利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形EAD与三角形BAC全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证．
证明：∵DA⊥AB，CA⊥AE，
∴∠EAC＝∠BAD＝90°，
∴∠EAC+∠CAD＝∠BAD+∠CAD，
∴∠EAD＝∠BAC，
在△EAD和△BAC中
，
∴△EAD≌△BAC，
∴DE＝BC．
类型3 已知两角型
9．如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB＝OC．
【思路点拔】首先角平分线的性质得到OD＝OE，然后利用其他已知条件可以证明△BOD≌△COE，从而不难得到结论．
证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，AO平分∠BAC，
∴OD＝OE，∠BDO＝∠CEO＝90°．
∵∠BOD＝∠COE，
∴△BOD≌△COE（ASA）．
∴OB＝OC．
核心考点四 角平分线的性质与判定
类型1 作一边的垂线段
10．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于E点，DF⊥AB于F点．若AB+AC＝18，S△ABC＝36，求DF的长．
【思路点拔】根据角平分线的性质得到DF＝DE，根据三角形的面积公式计算即可．
解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于E点，DF⊥AB于F点，
∴DF＝DE，
∵S△ABD+S△ADC＝S△ABC，
∴AB×DFAC×DE＝36，又AB+AC＝18，
∴DF＝DE＝4．
类型2 作两边的垂线段
11．如图，AD是△ABC的角平分线，E、F分别是AC、AB上的两点，CE＝BF，求证：S△DCE＝S△DBF．
【思路点拔】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点D到AB、AC的距离相等，设为h，再根据等底等高的三角形的面积相等证明．
解：∵AD是△ABC的角平分线，
∴点D到AB、AC的距离相等，设为h，
∵CE＝BF，
∴S△DCE＝S△DBF．
12．如图，在四边形ABCD中，AC为∠BAD的平分线，AB＝AD，点E，F分别在AB，AD上，且AE＝DF．请完整说明为何四边形AECF的面积为四边形ABCD面积的一半．
【思路点拔】分别作CM⊥AB于M，CN⊥AD于N，由角平分线的性质定理，可得：CM＝CN．由等底等高，可得S△ABC＝S△ACD，S△AEC＝S△CDF，可得S四边形AECF＝S△ACD，进而判定四边形AECF与四边形ABCD的面积关系．
解：分别作CM⊥AB于M，CN⊥AD于N，
∵AC为∠BAD的角平分线，
∴CN＝CM．
∵AB＝AD，
∴S△ABC＝S△ACD，
∴S△ACDS四边形ABCD．
∵AE＝DF，CM＝CN，
∴S△AEC＝S△CDF，
∴S四边形AECF＝S△ACD．
∴S四边形AECFS四边形ABCD．
