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7第12章《全等三角形》单元核心思想方法专题卷
核心方法一 截长补短法
类型1 角平线模型截长补短
1．如图，在△DBC中，DB＝DC，A为△DBC外一点，且∠BAC＝∠BDC，DM⊥AC于M．
（1）求证：AD平分△ABC的外角；
（2）判断AM、AC、AB有怎样的数量关系，并证明你的结论．
类型 2 半角与倍角模型一截长补短
2．（1）问题背景．
如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是线段BC、线段CD上的点．若∠BAD＝2∠EAF，试探究线段BE、EF、FD之间的数量关系．
小明同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG．再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 EF＝BE+DF ．
（2）猜想论证．
如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E在线段BC上，F在线段CD延长线上．若∠BAD＝2∠EAF，上述结论是否依然成立？若成立说明理由；若不成立，试写出相应的结论并给出你的证明．
核心方法二 中线倍长法
类型1 倍长中点处的线段
3．如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．
分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．请根据上述分析写出详细的证明过程（只需写一种思路）．
类型2 倍长三角形的中线
4．如图，AD是△ABC的中线，AE⊥AC，AF⊥AB，且AE＝AC，AF＝AB，求证：ADEF．
核心方法三 作垂线法
5．如图，点A、B分别在x轴、y轴上，且OA＝OB，P为动点，且PA⊥PB．
（1）如图①，P在第一象限时，求∠OPA的度数；
（2）如图②，P在第四象限时，求∠OPA的度数；
（3）在（2）的条件下，如图③，过O作OE⊥BP于E，判断线段BP、AP、EO之间的数量关系，写出你的结论并证明．中小学教育资源及组卷应用平台
7第12章《全等三角形》单元核心思想方法专题卷
核心方法一 截长补短法
类型1 角平线模型截长补短
1．如图，在△DBC中，DB＝DC，A为△DBC外一点，且∠BAC＝∠BDC，DM⊥AC于M．
（1）求证：AD平分△ABC的外角；
（2）判断AM、AC、AB有怎样的数量关系，并证明你的结论．
【思路点拔】（1）如图1中，作DN⊥BA交BA的延长线于点N．只要证明△DNB≌△DMC（AAS），即可推出DN＝DM解决问题；
（2）结论：AC﹣AB＝2AM．利用全等三角形的性质即可证明；
【解答】（1）证明：如图1中，作DN⊥BA交BA的延长线于点N．
∵∠BAO＝∠ODC，∠AOB＝∠DOC，
∴∠ABO＝∠DCO，
∵DM⊥AC，DN⊥AB，
∴∠DNB＝∠DMC＝90°，
∵DB＝DC，
∴△DNB≌△DMC（AAS），
∴DN＝DM，∵DM⊥AC，DN⊥AB，
AD平分△ABC的外角；
（2）结论：AC﹣AB＝2AM．
理由：∵DN＝DM，DA＝DA，∠DNA＝∠DMA＝90°，
∴Rt△DNA≌Rt△DMA（HL），
∴AN＝AM，
∵△DNB≌△DMC（AAS），
∴BN＝CM，
∴AC﹣AB＝AM+CM﹣（BN﹣AN）＝2AM．
类型 2 半角与倍角模型一截长补短
2．（1）问题背景．
如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是线段BC、线段CD上的点．若∠BAD＝2∠EAF，试探究线段BE、EF、FD之间的数量关系．
小明同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG．再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 EF＝BE+DF ．
（2）猜想论证．
如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E在线段BC上，F在线段CD延长线上．若∠BAD＝2∠EAF，上述结论是否依然成立？若成立说明理由；若不成立，试写出相应的结论并给出你的证明．
【思路点拔】（1）延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，即可证明△ABE≌△ADG（SAS），可得AE＝AG，再证明△AEF≌△AGF（SAS），可得EF＝FG，即可解题；
（2）在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．根据（1）的证法，我们可得出DF＝BG，GE＝EF，那么EF＝GE＝BE﹣BG＝BE﹣DF．
【解答】解：延长FD到点G．使DG＝BE，连接AG，
∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADF+∠ADG＝180°，
∴∠ADG＝∠B，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠BAD＝2∠EAF，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
故答案为：EF＝BE+DF．
（2）结论EF＝BE+FD不成立，结论：EF＝BE﹣FD．
理由如下：证明：如图2中，在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF．
∵在△ABG与△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS）．
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．
∴∠BAD＝∠BAG+∠GAD＝∠DAF+∠GAD＝∠GAF．
∵∠BAD＝2∠EAF，
∴∠GAF＝2∠EAF，
∴∠GAE＝∠EAF．
∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF（SAS）．
∴EG＝EF
∵EG＝BE﹣BG
∴EF＝BE﹣FD．
核心方法二 中线倍长法
类型1 倍长中点处的线段
3．如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．
分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．请根据上述分析写出详细的证明过程（只需写一种思路）．
【思路点拔】方法一：如图（1）中，作BF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G，先证明△BFE≌△CGE，得BF＝CG，再证明△ABF≌△DCG即可．
方法二：如图（2）中，作CF∥AB，交DE的延长线于点F，先证明CF＝CD，再证明△ABE≌△FCE即可．
【解答】证明：方法一：如图1中，作BF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G．
∴∠F＝∠CGE＝90°，
在△BFE和△CGE中，
，
∴△BFE≌△CGE．
∴BF＝CG．
在△ABF和△DCG中，
，
∴△ABF≌△DCG．
∴AB＝CD．
方法二：如图2中，作CF∥AB，交DE的延长线于点F．
∴∠F＝∠BAE．
又∵∠ABE＝∠D，
∴∠F＝∠D．
∴CF＝CD．
在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE．
∴AB＝CF．
∴AB＝CD．
类型2 倍长三角形的中线
4．如图，AD是△ABC的中线，AE⊥AC，AF⊥AB，且AE＝AC，AF＝AB，求证：ADEF．
【思路点拔】延长AD至M 使AD＝DM，证得△ACD≌△MDB，得到AC＝BM＝AE，∠C＝∠MBD，进而证得∠ABM＝∠FAE，AE＝AC＝BM，AB＝AF，再证明△AEF≌△BMA，得到AM＝EF，即可得到结论．
【解答】证明：延长AD至M 使AD＝DM，连接BM，
在△ACD和△BDM，
，
∴△ACD≌△MDB，
∴AC＝BM＝AE，∠C＝∠MBD，
∴∠ABM＝∠ABC+∠MBD＝∠ABC+∠C＝180°﹣∠BAC，
∵∠FAE＝90°+90°﹣∠BAC＝180°﹣∠BAC，
∴∠ABM＝∠FAE，
∴AE＝AC＝BM，AB＝AF，
在△AEF和△ABM中，
，
∴△AEF≌△BMA，
∴AM＝EF，
∴ADEF．
核心方法三 作垂线法
5．如图，点A、B分别在x轴、y轴上，且OA＝OB，P为动点，且PA⊥PB．
（1）如图①，P在第一象限时，求∠OPA的度数；
（2）如图②，P在第四象限时，求∠OPA的度数；
（3）在（2）的条件下，如图③，过O作OE⊥BP于E，判断线段BP、AP、EO之间的数量关系，写出你的结论并证明．
【思路点拔】（1）根据∠BOA＝90°，∠APB＝90°，可得O、B、P、A四点共圆，从而转换为求∠OBA 的度数；
（2）判断O、B、P、A四点共圆，根据“对角互补”，可得∠OPA的度数；
（3）BP＝AP+2EO，在BP上取点F使EF＝EP，连接OF，证明△AOP≌△BOF即可．
【解答】解：（1）如图①，
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠OBA＝45°，
∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°，
∵∠AOB+∠APB＝180°，
∴O、B、P、A四点共圆，
∴∠OPA＝∠OBA＝45°；
（2）如图②，过点O作OD⊥AB于点D，连接PD，
∵∠BOA＝90°，BP⊥AP，
∴OD＝BD＝AD，
∴点D为AB的中点，
∴OD＝DA＝DB＝PD，
∴O、B、P、A四点共圆，
∵∠OBA＝45°，
∴∠OPA＝135°．
（3）BP＝AP+2EO，
证明：如图③，在BP上取点F使EF＝EP，连接OF，
∵∠OPA＝135°，
∴∠OPE＝45°，
∵OE⊥BP，
∴OE＝EP＝EF，OF＝OP，
∴∠FOP＝90°，
∴∠AOP+∠FOA＝∠BOP+∠FOA＝90°，
∴∠AOP＝∠BOP，
在△AOP和△BOF中，
∵△AOP≌△BOF，
∴BF＝AP，
∴2EO+AP＝FP+BF＝BP，
即BP＝AP+2EO．
