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25第11——15章综合检测卷 (期末检测卷)
(测试范围:第11章三角形 第15章分式 解答参考时间:120分钟,满分:120分)
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）要使分式有意义，则x的取值应满足（ ）
A．x＜2 B．x＞2
C．x≠2 D．x为任意实数
3．（3分）点P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
4．（3分）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ）
A．（a+3）2＝a2+6a+9
B．a2﹣4a+4＝a（a﹣4）+4
C．2ax2﹣2ay2＝2a（x+y）（x﹣y）
D．a2﹣a﹣12＝（a﹣3）（a+4）
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3a﹣4a＝﹣1 B．﹣2a3 a2＝﹣2a6
C．（﹣3a）3＝﹣9a3 D．（a﹣b）（﹣a﹣b）＝b2﹣a2
6．（3分）已知一个多边形的内角和与外角和的差是1260°，则这个多边形边数是（ ）
A．9 B．10 C．12 D．11
7．（3分）计算的结果是（ ）
A．m+1 B．m﹣1 C．m﹣2 D．﹣m﹣2
8．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC＝80°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是（ ）
A．85° B．80° C．75° D．70°
9．（3分）对于正数x，规定f（x），例如：f（3），f（），则
的值为（ ）
A．2024 B．2023 C．2022.5 D．2023.5
10．（3分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠DOE＝90°，DE交OC于点P．则下列结论：
（1）图形中全等的三角形只有两对；
（2）△ABC的面积等于四边形CDOE面积的2倍；
（3）CD+CEOA；
（4）AD2+BE2＝DE2．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）若分式的值为0，则x的值为 ．
12．（3分）若3x﹣2＝0，则3x+2＝ ．
13．（3分）计算：x÷x﹣1 x＝ ．
14．（3分）等腰三角形有一个角等于30度，则底边上的高和腰上的高所在直线相交形成的锐角等于 度．
15．（3分）如图，△ABC的面积为10，D、E分别是AC，AB上的点，且AD＝CD，AE：BE＝2：1．连接BD，CE交于点F，连接AF并延长交BC于点H，则四边形BEFH的面积为 ．
16．（3分）已知∠AOB＝20°，点P，N分别是射线OB，OA上的定点，M为射线OA上的一动点，Q为射线OB上一动点，当PM+MQ+QN的值最小时，∠AMQ﹣∠ONQ的度数为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）（1）计算：（2a2）3+a a5；
（2）计算：[（x﹣2）2+（x+2）（x﹣2）]÷2x．
18．（8分）分解因式：
（1）3m2﹣6mn+3n2；
（2）（2x+y）2﹣（x+2y）2．
19．（8分）先化简，再求值：，然后m从1、2、3三个数中选取一个你喜欢的数代入求值．
20．（8分）如图，在一个6×6的正方形网格中，每个小正方形边长都为1个单位长，我们把顶点都在格点上的三角形称为格点三角形，图中的△ABC就是一个格点三角形．
（1）△ABC的面积为 平方单位；
（2）请用无刻度直尺在网格中作图（保留作图痕迹）；
①作AC边上的高BD；
②在AB边上找一点E，连CE，使△ACE和△BCE的面积相等；
③作格点△PBC，使△PBC和△ABC的面积相等；（作出一个即可）
（3）图中与△ABC全等的格点三角形（不包括△ABC）可作出 个（只填结果，不作图）．
21．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC中点，连接AD，点E在线段AC上，连接BE，与AD交于点F，过点A作BE的垂线，分别交BE，BC于点G，H．
（1）求证：△BDF≌△ADH；
（2）若AE＝AF，求证：BF＝2AG；
（3）在（2）的条件下，若AE＝2，求BC的长．
22．（10分）某小微企业为加快产业转型升级步伐，引进一批A，B两种型号的机器．已知一台A型机器比一台B型机器每小时多加工2个零件，且一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等．
（1）求每台A，B两种型号的机器每小时分别加工多少个零件？
（2）如果该企业计划安排A，B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件，为了如期完成任务，要求两种机器每小时加工的零件不少于72个，那么A种型号的机器至少要安排多少台？
23．（10分）【问题背景】（1）如图1，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC，AE⊥BD交BC于点E，求证：BE＝CD；
【变式探究】（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC，E为BC的中点，AE⊥BD．求证：AD＝BD；
【创新运用】（3）如图3，∠ABC＝∠BCN＝90°，AB＝BC＝m（m＞2），E为BC上一点，BE＝1，BM⊥AE，垂足为点M，∠NBC＝∠MBE，AE的延长线交BN于点F，P为EC上一动点，当∠FPN＝90°时，PF+PN取最小值，求此时PE的长（用含m的式子表示）．
24．（12分）平面直角坐标系中，已知：A（a，0），B（0，b），且a、b满足a2﹣4a+8＝4b﹣b2
（1）求出A、B两点的坐标；
（2）如图，P、N为x轴上两动点，且始终满足AP＝ON，过O作NB的垂线交AB的延长线于M，连接MP，求证：NB+OM＝MP；
（3）如图，点C在y轴的正半轴上，点A关于y轴的对称点为点D，点Q，G分别是边DC和AC上的动点，且满足DQ+AG＝AD，连接QG，QG的垂直平分线交x轴于点H，连接QH、HG，试判断∠QHG和∠DCA之间的关系，并给出证明．中小学教育资源及组卷应用平台
25第11——15章综合检测卷 (期末检测卷)
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】根据轴对称图形的定义逐项识别即可，一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形．据此解答即可．
【解答】解：选项A、B、D的图形均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，
选项C的图形能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形．
故选：C．
2．（3分）要使分式有意义，则x的取值应满足（ ）
A．x＜2 B．x＞2
C．x≠2 D．x为任意实数
【思路点拔】根据分式有意义的条件，分母不等于0即可求解．
【解答】解：由题意得，x﹣2≠0，
解得：x≠2，故C正确．
故选：C．
3．（3分）点P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
【思路点拔】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y），即纵坐标不变，横坐标变成相反数，即可得出答案．
【解答】解：根据关于y轴的对称点纵坐标不变，横坐标变成相反数，
∴点P（1，﹣2）关于y轴对称点的坐标为（﹣1，﹣2），
故选：D．
4．（3分）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ）
A．（a+3）2＝a2+6a+9
B．a2﹣4a+4＝a（a﹣4）+4
C．2ax2﹣2ay2＝2a（x+y）（x﹣y）
D．a2﹣a﹣12＝（a﹣3）（a+4）
【思路点拔】根据因式分解的概念“把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解”可进行排除选项．
【解答】解：A、（a+3）2＝a2+6a+9，属于整式的乘法，故不符合题意；
B、a2﹣4a+4＝a（a﹣4）+4，不符合几个整式乘积的形式，不是因式分解；故不符合题意；
C、2ax2﹣2ay2＝2a（x+y）（x﹣y），属于因式分解，故符合题意；
D、a2﹣a﹣12＝（a+3）（a﹣4）≠（a﹣3）（a+4），所以因式分解错误，故不符合题意；
故选：C．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3a﹣4a＝﹣1 B．﹣2a3 a2＝﹣2a6
C．（﹣3a）3＝﹣9a3 D．（a﹣b）（﹣a﹣b）＝b2﹣a2
【思路点拔】根据平方差公式、积的乘方、合并同类项法则以及单项式乘以单项式的计算方法进行判断．
【解答】解：A.3a﹣4a＝﹣a，故错误；
B．﹣2a3 a2＝﹣2a5，故错误；
C．（﹣3a）3＝﹣27a3，故错误；
D．（a﹣b）（﹣a﹣b）＝b2﹣a2，正确．
故选：D．
6．（3分）已知一个多边形的内角和与外角和的差是1260°，则这个多边形边数是（ ）
A．9 B．10 C．12 D．11
【思路点拔】由多边形的内角和定理，外角和是360°，即可计算．
【解答】解：设这个多边形边数是n，
由题意得：（n﹣2）×180°﹣360°＝1260°，
∴n＝11，
∴设这个多边形边数是11，
故选D．
7．（3分）计算的结果是（ ）
A．m+1 B．m﹣1 C．m﹣2 D．﹣m﹣2
【思路点拔】同分母分式减法，根据法则分母不变分子相减，再约分即可．
【解答】解：原式m﹣1．
故选：B．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC＝80°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是（ ）
A．85° B．80° C．75° D．70°
【思路点拔】在△ABC中利用三角形内角和定理可求出∠C的度数，根据角平分线的性质可得出∠CBD的度数，再在△BCD中利用三角形内角和定理可求出∠BDC的度数．
【解答】解：∵∠A＝40°，∠ABC＝80°，∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝60°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD∠ABC＝40°．
∵∠CBD+∠BDC+∠C＝180°，
∴∠BDC＝180°﹣∠CBD﹣∠C＝80°．
故选：B．
9．（3分）对于正数x，规定f（x），例如：f（3），f（），则
的值为（ ）
A．2024 B．2023 C．2022.5 D．2023.5
【思路点拔】根据题干中的规律将原式变形后计算即可．
【解答】解：由题意可得f（2）+f（）＝f（3）+f（）＝f（4）+f（）＝…＝f（2024）+f（）＝1，
原式＝f（1）+[f（2）+f（）]+[f（3）+f（）]+[f（4）+f（）]+…+[f（2024）+f（）]
1+1+1+…+1
＝0.5+1×2023
＝2023.5，
故选：D．
10．（3分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠DOE＝90°，DE交OC于点P．则下列结论：
（1）图形中全等的三角形只有两对；
（2）△ABC的面积等于四边形CDOE面积的2倍；
（3）CD+CEOA；
（4）AD2+BE2＝DE2．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拔】结论（1）错误．因为图中全等的三角形有3对；
结论（2）正确．由全等三角形的性质可以判断；
结论（3）正确．利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可以判断．
结论（4）正确．利用全等三角形和勾股定理进行判断．
【解答】解：结论（1）错误．理由如下：
图中全等的三角形有3对，分别为△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE．
由等腰直角三角形的性质，可知OA＝OC＝OB，易得△AOC≌△BOC．
∵OC⊥AB，OD⊥OE，
∴∠AOD＝∠COE．
在△AOD与△COE中，
∴△AOD≌△COE（ASA）．
同理可证：△COD≌△BOE．
结论（2）正确．理由如下：
∵△AOD≌△COE，
∴S△AOD＝S△COE，
∴S四边形CDOE＝S△COD+S△COE＝S△COD+S△AOD＝S△AOCS△ABC，
即△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍．
结论（3）正确，理由如下：
∵△AOD≌△COE，
∴CE＝AD，
∴CD+CE＝CD+AD＝ACOA．
结论（4）正确，理由如下：
∵△AOD≌△COE，
∴AD＝CE；
∵△COD≌△BOE，
∴BE＝CD．
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+CE2＝DE2，
∴AD2+BE2＝DE2．
综上所述，正确的结论有3个，
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）若分式的值为0，则x的值为 ﹣1 ．
【思路点拔】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【解答】解：根据题意得：|x+1|＝0，解得：x＝﹣1，
当x＝﹣1时，分母x2+2x﹣3＝1﹣2﹣3≠0，符合题意，
则x的值是﹣1．
故答案为：﹣1．
12．（3分）若3x﹣2＝0，则3x+2＝ 18 ．
【思路点拔】先求出3x＝2，再利用同底数幂的乘法的逆运算，即可得出答案．
【解答】解：∵3x﹣2＝0，
∴3x＝2，
∴3x+2＝3x 32＝2×3×3＝18．
故答案为：18．
13．（3分）计算：x÷x﹣1 x＝ x3 ．
【思路点拔】根据同底数幂的乘除法法则以及负整数指数幂的定义求解即可；同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
【解答】解：x÷x﹣1 x＝x1﹣（﹣1）+1＝x3．
故答案为：x3．
14．（3分）等腰三角形有一个角等于30度，则底边上的高和腰上的高所在直线相交形成的锐角等于 30或75 度．
【思路点拔】题中没有指明该角是顶角还是底角，则应该分情况进行分析，从而得到答案．
【解答】解：当底角是30°时，则它底边上的高和腰上的高所在直线的夹角是90°﹣60°＝30°；
当顶角是30°时，则它底边上的高和腰上的高所在直线的夹角是90°﹣15°＝75°；
故答案为：30或75
15．（3分）如图，△ABC的面积为10，D、E分别是AC，AB上的点，且AD＝CD，AE：BE＝2：1．连接BD，CE交于点F，连接AF并延长交BC于点H，则四边形BEFH的面积为 ．
【思路点拔】如图，作DJ∥EC交AB于J，交AH于K，作DG∥BC交AH于G．想办法证明EF：FC＝1：3，BH：CH＝1：2，求出△BEF，△BFH的面积即可．
【解答】解：如图，作DJ∥EC交AB于J，交AH于K，作DG∥BC交AH于G．
∵DJ∥EC，AD＝DC，
∴AJ＝JE，AK＝KF，
∴EF＝2JK，DJ＝2EF，CF＝2DK，设JK＝m，则EF＝2m，DJ＝4m，DK＝3m，CF＝6m，
∴EF：CF＝1：3，
∵AE＝2BE，
∴BE＝EJ，∵EF∥DJ，
∴BF＝DF，
∵GD∥BH，
∴∠GDF＝∠FBH，
∵∠GFD＝∠HFB，BF＝DF，
∴△DFG≌△BFH（ASA），
∴DG＝BH，
∵DG∥CH，AD＝DC，
∴AG＝GH，
∴CH＝2DG，
∴BH＝2CH，
∵BEAB，
∴S△BECS△ABC10，
∵EGEC，
∴S△BEFS△BEC，S△BFC，
∵BHBC，
∴S△BHF，
∴S四边形BEFH．
故答案为：．
16．（3分）已知∠AOB＝20°，点P，N分别是射线OB，OA上的定点，M为射线OA上的一动点，Q为射线OB上一动点，当PM+MQ+QN的值最小时，∠AMQ﹣∠ONQ的度数为 40° ．
【思路点拔】作N点关于OB的对称点D，P点关于OA的对称点E，连接DE与OB、OA分别交于点M、点Q，连接NQ、PM，此时PM+MQ+QN的值最小，由对称性可知，∠OME＝∠OMP，∠OQN＝∠OQD，可求∠OQD＝200°﹣∠AMQ＝∠OQN，最后在△NOQ中根据三角形内角和定理求解即可．
【解答】解：作N点关于OB的对称点D，P点关于OA的对称点E，连接DE与OA、OB分别交于点M、点Q，连接OD、OE，
∴PM+MQ+QN＝DE，此时PM+MQ+QN的值最小，
由对称性可知，∠OQN＝∠OQD，
∵∠AOB＝20°，
∴∠OQD＝∠AOB+∠OMQ＝∠AOB+180°﹣∠AMQ＝200°﹣∠AMQ＝∠OQN，
在△NOQ中，∠NOQ+∠ONQ+∠OQN＝180°，
∴20°+∠ONQ+200°﹣∠AMQ＝180°，
∴∠AMQ﹣∠ONQ＝40°．
故答案为：40°．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）（1）计算：（2a2）3+a a5；
（2）计算：[（x﹣2）2+（x+2）（x﹣2）]÷2x．
【思路点拔】（1）先算乘方，再算乘法，后算加减，即可解答；
（2）先利用完全平方公式，平方差公式计算括号里，再算括号外，即可解答．
【解答】解：（1）（2a2）3+a a5
＝8a6+a6
＝9a6；
（2）[（x﹣2）2+（x+2）（x﹣2）]÷2x
＝（x2﹣4x+4+x2﹣4）÷2x
＝（2x2﹣4x）÷2x
＝x﹣2．
18．（8分）分解因式：
（1）3m2﹣6mn+3n2；
（2）（2x+y）2﹣（x+2y）2．
【思路点拔】（1）提公因式后利用完全平方公式因式分解即可；
（2）利用平方差公式因式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝3（m2﹣2mn+n2）
＝3（m﹣n）2；
（2）原式＝[（2x+y）+（x+2y）][（2x+y）﹣（x+2y）]
＝（2x+y+x+2y）（2x+y﹣x﹣2y）
＝（3x+3y）（x﹣y）
＝3（x+y）（x﹣y）．
19．（8分）先化简，再求值：，然后m从1、2、3三个数中选取一个你喜欢的数代入求值．
【思路点拔】按照分式化简的方法化简，确定m＝1，即可求解．
【解答】解：原式[]，
由题意得知，m≠2或3或0，
故m＝1，
当m＝1时，原式2．
20．（8分）如图，在一个6×6的正方形网格中，每个小正方形边长都为1个单位长，我们把顶点都在格点上的三角形称为格点三角形，图中的△ABC就是一个格点三角形．
（1）△ABC的面积为 9.5 平方单位；
（2）请用无刻度直尺在网格中作图（保留作图痕迹）；
①作AC边上的高BD；
②在AB边上找一点E，连CE，使△ACE和△BCE的面积相等；
③作格点△PBC，使△PBC和△ABC的面积相等；（作出一个即可）
（3）图中与△ABC全等的格点三角形（不包括△ABC）可作出 47 个（只填结果，不作图）．
【思路点拔】（1）利用分割法求解即可．
（2）①取格点R，连接BR交AC于点D，线段BD即为所求．
②取格点Q，W，连接QW交AB于点E，作线段CE即可．
③取格点P，连接CP，BP即可．
（3）利用平移的方法构造全等三角形即可．
【解答】解：（1）S△ABC＝4×54×31×45×1＝9.5．
故答案为：9.5．
（2）①如图，线段BD即为所求．
②如图，线段CE即为所求．
③如图，△PBC即为所求．
（3）由题意，△ABC向左平移一个单位，或向下向上平移一个单位，得到的三角形与△ABC全等，每个4×5或5×4长方形格子中有4个三角形与三角形ABC全等，图中一共12个4×5或5×4长方形格子，所以共有4×12﹣1＝47个故答案为：47．
21．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC中点，连接AD，点E在线段AC上，连接BE，与AD交于点F，过点A作BE的垂线，分别交BE，BC于点G，H．
（1）求证：△BDF≌△ADH；
（2）若AE＝AF，求证：BF＝2AG；
（3）在（2）的条件下，若AE＝2，求BC的长．
【思路点拔】（1）根据ASA证明三角形全等即可；
（2）①连接FH，证明∠FAG＝∠FHA＝22.5°，推出FA＝FH，由FG⊥AH，推出AG＝GH，可得结论；
②求出DF＝DH，可得结论．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD，
∴AD⊥CB，AD＝DB＝DC，
∵AH⊥BE，
∴∠AGF＝∠BDF＝90°，
∵∠AFG＝∠BFD，
∴∠GAF＝∠DBF，
在△BDF和△ADH中，
，
∴△BDF≌△ADH（ASA）；
（2）①证明：连接FH．
∵AE＝AF，AG⊥EF，
∴AG平分∠EAF，
∵AD⊥BC，∠C＝45°，
∴∠DAC＝∠C＝45°，
∴∠FAG∠DAC＝22.5°，
∴∠AHD＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∵△BDF≌△ADH，
∴DF＝DH，BF＝AH，
∴∠DFH＝∠DHF＝45°，
∴∠AHF＝∠AHD﹣∠DHF＝22.5°，
∴∠FAG＝∠FHA＝22.5°，
∴FA＝FH，
∵FG⊥AH，
∴AG＝GH，
∴BF＝AH＝2AG；
②由①可知AE＝AF＝FH＝2，
∴DF＝DH，
∴BD＝AD＝2，
∴BC＝2BD＝4+2．
22．（10分）某小微企业为加快产业转型升级步伐，引进一批A，B两种型号的机器．已知一台A型机器比一台B型机器每小时多加工2个零件，且一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等．
（1）求每台A，B两种型号的机器每小时分别加工多少个零件？
（2）如果该企业计划安排A，B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件，为了如期完成任务，要求两种机器每小时加工的零件不少于72个，那么A种型号的机器至少要安排多少台？
【思路点拔】（1）设每台B型机器每小时加工x个零件，则每台A型机器每小时加工（x+2）个零件，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设A型机器安排m台，则B型机器安排（10﹣m）台，根据每小时加工零件的总量＝8×A型机器的数量+6×B型机器的数量结合每小时加工的零件不少于72件，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各安排方案．
【解答】解：（1）设每台B型机器每小时加工x个零件，则每台A型机器每小时加工（x+2）个零件，
依题意，得：，
解得：x＝6，
经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意，
∴x+2＝8．
答：每台A型机器每小时加工8个零件，每台B型机器每小时加工6个零件；
（2）设需要安排m台A型机器，则安排（10﹣m）台B型机器，
依题意得：8m+6（10﹣m）≥72，
解得：m≥6．
答：至少需要安排6台A型机器．
23．（10分）【问题背景】（1）如图1，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC，AE⊥BD交BC于点E，求证：BE＝CD；
【变式探究】（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC，E为BC的中点，AE⊥BD．求证：AD＝BD；
【创新运用】（3）如图3，∠ABC＝∠BCN＝90°，AB＝BC＝m（m＞2），E为BC上一点，BE＝1，BM⊥AE，垂足为点M，∠NBC＝∠MBE，AE的延长线交BN于点F，P为EC上一动点，当∠FPN＝90°时，PF+PN取最小值，求此时PE的长（用含m的式子表示）．
【思路点拔】（1）证明△ABE≌△BCD，根据全等三角形的性质得到BE＝CD；
（2）过点A作CD交CD的延长线于G，由（2）的结论得到BE＝CD，利用SAS证明△BCD≌△AGC，根据全等三角形的性质证明结论；
（3）延长BM交NC的延长线于H，连接FH交BC于P，连接PN，证明∠PHC＝45°，得到CP＝CH，由（1）得到△ABE≌△BCH，证明CH＝BE＝1，结合图形计算，得到答案．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵AE⊥BD，
∴∠CBD+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠CBD，
在△ABE和△BCD中，
，
∴△ABE≌△BCD（ASA），
∴BE＝CD；
（2）证明：如图2，过点A作CD交CD的延长线于G，
∴∠AGC＝90°，
∵∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴四边形ABCG为矩形，
∵AB＝BC，
∴矩形ABOG为正方形，
∴BC＝CG＝AG，
由（1）可知，△ABE≌△BCD，
∴BE＝CD，
∵E为BC的中点，
∴BE＝CE＝CD＝DG，
在△BCD和△AGD中，
，
∴△BCD≌△AGD（SAS），
∴AD＝BD；
（3）解：如图3，延长BM交NC的延长线于H，连接FH交BC于P，连接PN，
则PE+PN取最小值，
∵∠NBC＝∠MBE，BC⊥NH，
∴BC为NH的垂直平分线，
∴PN＝PH，
∵∠FPN＝90°，
∴∠HPN＝90°，
∴∠PHC＝45°，
∴CP＝CH，
由（1）可知，△ABE≌△BCH，
∴BE＝CH，
∵BE＝1，
∴CH＝CP＝1，
∴PE＝BC﹣BE﹣CP＝m﹣2．
24．（12分）平面直角坐标系中，已知：A（a，0），B（0，b），且a、b满足a2﹣4a+8＝4b﹣b2
（1）求出A、B两点的坐标；
（2）如图，P、N为x轴上两动点，且始终满足AP＝ON，过O作NB的垂线交AB的延长线于M，连接MP，求证：NB+OM＝MP；
（3）如图，点C在y轴的正半轴上，点A关于y轴的对称点为点D，点Q，G分别是边DC和AC上的动点，且满足DQ+AG＝AD，连接QG，QG的垂直平分线交x轴于点H，连接QH、HG，试判断∠QHG和∠DCA之间的关系，并给出证明．
【思路点拔】（1）根据非负数的性质分别求出a，b，得到A、B两点的坐标；
（2）过点A作AE⊥x轴交MO的延长线于点E，证明△BON≌△OAE，根据全等三角形的性质得到OE＝BN，ON＝AE，证明△MAE≌△MAP，根据全等三角形的性质，结合图形证明结论；
（3）在AD上截取AT＝AG，则TD＝DQ，过点H分别作HM⊥GT，HN⊥QT，证明∠DTQ＝∠MTH，根据角平分线的性质得到HM＝HN，证明Rt△QNH≌Rt△GMH，得到∠HQN＝∠HGM，根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理计算，得到答案．
【解答】解：（1）∵a2﹣4a+8＝4b﹣b2
∴（a﹣2）2+（b﹣2）2＝0
∴a﹣5＝0，b﹣5＝0，
解得，a＝2，b＝2，
则点A的坐标为（2，0）、点B的坐标为（0，2）；
（2）如图1，过点A作AE⊥x轴交MO的延长线于点E，
∵OM⊥BN，∠BON＝90°，
∴∠NBO＝∠NOM，
∵∠AOE＝∠NOM，
∴∠NBO＝∠AOE，
在△BON和△OAE中，
，
∴△BON≌△OAE（ASA），
∴OE＝BN，ON＝AE，
∴AE＝AP，
在△MAE和△MAP中，
，
∴△MAE≌△MAP（SAS），
∴MP＝ME＝OE+OM＝NB+OM；
（3）在AD上截取AT＝AG，则TD＝DQ，过点H分别作HM⊥GT，HN⊥QT，垂足分别为M、N点．
∵点A关于y轴的对称点为点D，
∴CD＝CA，
∴∠CDA＝∠CAD，
∵AG＝AT，DQ＝DT，
∴∠DTQ＝∠ATG，
∵∠MTH＝∠ATG，
∴∠DTQ＝∠MTH，又HM⊥GT，HN⊥QT，
∴HM＝HN，
在Rt△QNH和Rt△GMH中，
，
∴Rt△QNH≌Rt△GMH（HL），
∴∠QHN＝∠GHM，
∴∠QHG＝∠MHN，
∵∠MHN+∠MTN＝180°，∠QTG+∠MTN＝180°，
∴∠QHG＝∠QTG，
∵∠CDA＝∠CAD，
∵∠DTQ+∠ATG（180°﹣∠CDA）（180°﹣∠CAD）＝180°（∠CAD+∠CDA）＝180°（180°﹣∠DCA）＝90°∠DCA，
∴∠QRG＝180°﹣（∠DTQ+∠ATG）＝90°∠DCA，
即∠QHG＝90°∠DCA．
