2024-2025学年江苏省苏州市常熟市高二上学期期中考试数学试题(含答案）

2024-2025学年江苏省常熟市高二上学期期中考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.等比数列中，，，则的值为( )
A. B. C. D.
3.直线与圆的位置关系是( )
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法判断
4.已知数列满足，，则( )
A. B. C. D.
5.若直线和直线平行，则的值为( )
A. B. 或 C. D.
6.等差数列的前项和为，当为定值时，也是定值，则的值为( )
A. B. C. D. 不能确定
7.若点在直线上，是圆上的动点，是圆上的动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知数列的前项和为，且，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.数列的前项和为，则下列说法正确的是( )
A. 若，则数列的前项和最大
B. 若等比数列是递减数列，则公比满足
C. 已知等差数列的前项和为，若，则
D. 已知为等差数列，则数列也是等差数列
10.下列结论中正确的是( )
A. 已知直线过点，且在，轴上截距相等，则直线的方程为
B. 已知圆和圆，则圆和圆有条公切线
C. 若直线上存在点，过点作圆的切线，，切点分别为，，使得为直角，则实数的取值范围为
D. 已知圆，点的坐标为，过点作直线交圆于，两点，则的取值范围是
11.如图，在长度为的线段上取两个点，，使得，以为边在线段的上方作一个正方形，然后擦掉，就得到图对图中的最上方的线段作同样的操作，得到图依此类推，我们就得到以下的一系列图，设为图，图，图，，图，，各图中线段的长度和为，数列的前项和为，则( )
A. B. 数列是等比数列
C. 存在正实数，使得恒成立 D. 恒成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线和直线垂直，则实数的值为 ．
13.已知直线与直线平行，且两条直线之间的距离为，则直线的方程为 ．
14.大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列，，，，，，，，，，，，，，，，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推，求满足如下条件的最小整数且该数列的前项和为的整数幂，那么该款软件的激活码是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知点的坐标为，直线的方程为．
求点关于直线的对称点的坐标
求直线关于点的对称直线的方程．
16.本小题分
已知数列和数列，为数列的前项和，，，．
求数列和数列的通项公式
若数列满足，求数列的前项和．
17.本小题分
已知圆过两点，，圆心在直线上．
求圆的方程
若过点的直线与圆交于点，两点，且，求直线的方程
若圆的半径为，圆心在直线上，且与圆外切，求圆的方程．
18.本小题分
设数列的前项和为，若对任意的，都有为非零常数，则称数列为“和等比数列”，其中为和公比已知是首项为，公差不为的等差数列，且是“和等比数列”，设，数列的前项和为．
求数列的和公比
若不等式对任意的成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知圆和点
过点作圆的切线，求切线的方程
已知，设为满足方程的任意一点，过点向圆引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值若存在，则求出定点的坐标，并指出相应的定值若不存在，则说明理由
过点作直线交圆于两个不同的点，线段不经过圆心，分别在点，处作圆的切线，两条切线交于点，求证：点在一条定直线上，并求出该直线的方程．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：设点的坐标为．
因为点与关于直线对称，所以，且的中点在上，
而直线的斜率是，所以．
又因为．
再因为直线的方程为，的中点坐标是，
所以．
由和，解得，所以点的坐标为．
关于点对称的两直线与互相平行，于是可设的方程为．
在直线上任取一点，其关于点对称的点为，于是点在上，且的中点为点，
由此得，即：，．
于是有因为点在上，
所以，．
故直线的方程为．
16.解：已知，
当时，，得，
当时，，
得：，即，
又，，则，
所以是首项为，公比为的等比数列，则．
因为，所以，
又由，得，
所以是首项为，公差为的等差数列，则，即．
由得，
则．
17.解：依题意，设圆心，半径为，则，
即，解得，
所以，，得圆．
设圆到直线的距离为，由，得，
若直线的斜率不存在，即直线为，符合题意，
若直线的斜率存在，设，即，
由圆心到直线的距离为，即，得，
所以直线方程为，
综上，所求直线的方程为或．
依题意设，由两圆外切，可知，
所以，解得或，
所以或，
所以圆的方程为或．
18.解：设等差数列的公差为，前项和为，
则，
所以．
因为是“和等比数列”，
所以，即，对任意的都成立，
所以解得，
即的和公比为．
可知，则，
所以，
所以，
所以，
即，所以．
设，
．
不等式对任意的恒成立，
即不等式对任意的恒成立．
当为奇数时，，则
当为偶数时，，则．
综上，的取值范围是
19.解：当切线斜率不存在时，显然与圆相切，
当切线斜率存在时，设切线为，由圆心到切线的距离为，
所以，解得，
则，整理得，
综上，切线的方程为和．
由题设，若，则，整理得，
若存在，使为定值，
又，，
则，
整理得，
即，
整理得，
要使为定值，则
解得，，或，，，
综上，存在定点，定值或定点，定值．
设，，，，，
由，则，即，
又，故，同理，
所以直线为，
又在上，所以，
故点在直线上．
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