黑龙江省齐齐哈尔市普高联谊校2025届高三上学期期中考试数学试题（含答案）

黑龙江省齐齐哈尔市普高联谊校2025届高三上学期期中考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.是虚数单位，复数( )
A. B. C. D.
2.若数列的前项和，则等于( )
A. B. C. D.
3.已知函数为在上单调递增，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.已知，且，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知数列为等比数列，，则( )
A. B. C. D.
6.设等差数列的前项和为，且，，则取最小值时，的值为( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
7.我国古代数学家秦九韶左数书九章中记述了了“一斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角，，所对的边分别为，，，则的面积，根据此公式，若，且，则的面积为( )
A. B. C. D.
8.已知函数函数，则下列结论正确的是( )
A. 若，则恰有个零点
B. 若恰有个零点，则的取值范围是
C. 若恰有个零点，则取值范围是
D. 若，则恰有个零点
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的部分图象如图所示，则( )
A. B. C. D.
10.下列说法正确的是 ．
A. 函数的最小正周期是
B. 函数的图象的对称中心是，
C. 函数的递增区间是
D. 函数的图象可由函数的图象向右平移个单位而得到
11.正方形的边长为，是中点，如图，点是以为直径的半圆上任意点，，则( )
A. 最大值为 B. 最大值为
C. 存在使得 D. 最大值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知单位向量满足，则方向上的投影向量为 ．
13.已知，则的最小值为 ．
14.设函数，则不等式的解集为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数．
求的最小正周期和对称轴方程；
求在的最大值和最小值．
16.本小题分
已知数列满足．
证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
17.本小题分
在锐角中，内角的对边分别为，且．
求角的大小；
若，点是线段的中点，求线段长的取值范围．
18.本小题分
已知函数和
若函数是定义域上的严格减函数，求的取值范围．
若函数和有相同的最小值，求的值
若，是否存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列
19.本小题分
定义：若数列满足，则称数列为“线性数列”．
已知为“线性数列”，且，证明：数列为等比数列．
已知．
证明：数列为“线性数列”．
记，数列的前项和为，证明：．
参考答案
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13.
14.
15.
，
所以函数的最小正周期为．
令，，解得，，
所以函数图象的对称轴方程为，，
当时，，则，进而可得，
当时，即时，取最小值，时，即时，取最大值．

16.
由，，
所以是首项、公比均为的等比数列，
故；
由有，则，
所以，
两式相减，得，
所以．

17.
因为，由余弦定理得，
由正弦定理得，
又是锐角三角形，所以，
所以，所以，
又，所以．
由余弦定理可得，
又，所以
，
由正弦定理可得，所以，
，
所以，
由题意得解得，则，
所以，所以
所以，所以线段长的取值范围为．

18.
恒成立，
因，
所以，
则的取值范围为；
定义域为，
，，
若，则，单调递增，无最小值，
故，
当时，，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
故，
的定义域为，
，，
令，解得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
故，
函数和有相同的最小值
，
，
化为，
令，，
则，
，
恒成立，
在上单调递增，
又，仅有此一解，
；
知，函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在上单调递减，在上单调递增，
设，
则，当时，，
所以函数在上单调递增，因为，
所以当时，恒成立，即在时恒成立，
所以时，，
因为，函数在上单调递增，，函数在上单调递减，
所以函数与函数的图象在上存在唯一交点，设该交点为，
此时可作出函数和的大致图象，
由图象知当直线与两条曲线和共有三个不同的交点时，
直线必经过点，即，
因为，所以，即，
令得，
解得或，由，得，
令得，解得或，由，得，
所以当直线与两条曲线和共有三个不同的交点时，
从左到右的三个交点的横坐标依次为，，，
因为，所以，
所以，，成等差数列．
存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．

19.
因为为“线性数列”，所以，
所以，即，解得
所以，
所以，又，
所以是以为首项，为公比的等比数列；
因为，则，
令，即，解得，所以
因为，
所以，所以数列为“线性数列”；
因为，则，
所以
，
因为，，所以，
所以．

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