辽宁省“沈文新高考研究联盟”2025届高三上学期期中质量监测数学试题（含答案）

辽宁省“沈文新高考研究联盟”2025届高三上学期期中质量监测
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.若，，则为的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件
3.幂函数的图象经过点，则( )
A. B. C. D.
4.已知复数，是的共轭复数，则
A. B. C. D.
5.如图所示，已知轴上一点按逆时针方向绕原点做匀速圆周运动，秒钟时间转过角，经过秒钟点在第三象限，经过秒钟，与最初位置重合，则角的弧度数为( )
A. B. C. 或 D. 无法确定
6.在正方形中，( )
A. B. C. D.
7.已知函数为偶函数，且时，，则关于的不等式的解集为
A. B.
C. 或 D.
8.已知函数下列结论中错误的是( )
A. 是偶函数 B. 函数最大值为
C. 是函数的一个周期 D. 函数在内是增函数
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，下列命题中错误的是( )
A. 若，，则
B. 若，且，，则
C. 若，且，则
D. 若，，，，则
10.下列计算中正确的是( )
A. B.
C. D.
11.已知圆锥的轴截面是等边三角形，，是圆锥侧面上的动点，满足线段与的长度相等，则下列结论正确的是( )
A. 存在一个定点，使得点到此定点的距离为定值
B. 存在点，使得
C. 存在点，使得
D. 存在点，使得三棱锥的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某物体做直线运动，位移单位：与时间单位：满足关系式，那么该物体在时的瞬时速度是 ．
13.如图，在三棱锥中，底面边长与侧棱长均为，点，分别是棱，上的点，且，，则的长为 ．
14.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经榫卯起来．若正四棱柱的高为，底面正方形的边长为，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为_______容器壁的厚度忽略不计，结果保留
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列满足，，数列为等比数列，且满足．
求数列的通项公式；
数列的前项和为，若________，记数列满足求数列的前项和．
在，，，成等差数列，这三个条件中任选一个补充在第问中，并对其求解．
16.本小题分
某校“足球社团”调查学生喜欢足球是否与性别有关，现从全校学生中随机抽取了人，若被抽查的男生与女生人数之比为，男生中喜欢足球的人数占男生的，女生中喜欢足球的人数占女生的经计算，有的把握认为喜欢足球与性别有关，但没有的把握认为喜欢足球与性别有关．
请完成下面的列联表，并求出的值；
喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生
女生
合计
将频率视为概率，用样本估计总体，从全校男学生中随机抽取人，记其中喜欢足球的人数为，求的分布列及数学期望．
附：，其中．
17.本小题分
在平行六面体中，，平面底面，点是线段的中点，点是线段的中点．
求证：平面；
求证：．
18.本小题分
已知函数，．
当时，求在处的切线方程；
若且函数有且仅有一个零点，求实数的值；
在的条件下，若时，恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数，其中．
当时，证明：
若对任意，都有，求的取值范围．
参考答案
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15.解：，，，
令，，
又数列为等比数列，，
，数列是以为首项，为公差的等差数列，
；
由知数列为公比为的等比数列，
若选，则，
，；
若选，，成等差数列，则，
，，；
若选，则，
，，
，
数列的奇数项是以为首项为公差的等差数列，
偶数项是以为首项为公比的等比数列，
．
16.
解：由题意，得到的列联表，
喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生
女生
合计
将数值代入公式可得的观测值为，
因为有的把握认为喜欢足球与性别有关，但没有的把握认为喜欢足球与性别有关，可得，解得，
因为，所以．
解：由知，样本的男生中喜欢足球的频率为，
用样本估计总体，从全校男生中随机抽取一人，喜欢足球的概率为，则，
可得，，，，，
则的分布列为
所以期望为．

17.取的中点，连接、
在中，
为线段的中点 ； 为线段的中点

在平行六面体中

又点是线段的中点


四边形为平行四边形
平面 平面
平面
在中，，点是线段的中点
又平面底面，平面底面，平面
平面，平面

在平行六面体中，


18.
当时，，，
，
所以，又，
所以切线斜率，且经过点，
所以切线方程为，即；
令，则，
即，
设，，
则，
设，，则恒成立，
所以在上单调递减，
又，所以当时，，即，单调递减，当时，，即，单调递增，
所以，
又，，且，
所以当函数有且仅有一个零点时，；
由得，，，
，
令，解得或，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以时，取极大值为，
又，
所以当时，，
又恒成立，所以．

19.解：证明：当时，，所以，
当时，，，，单调递减，
当时，，， ， 单调递增，
所以，即不等式成立；
由题意得对任意，都有，
即，即，
令，可得恒成立，，
令，所以，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，即，所以在上单调递增，
所以恒成立，即恒成立，故只需，
令，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，所以只需，解得，
所以的取值范围是

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