四川省自贡市自贡市第一中学校2025届高三上学期10月月数学试题（含答案）

四川省自贡市第一中学校2025届高三上学期10月月数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知函数是函数的导函数，则函数的部分图象是( )
A. B.
C. D.
4.纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，年提出铅酸电池的容量、放电时间和放电电流之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数称为常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该蓄电池的常数约为参考数据：，( )
A. B. C. D.
5.将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位后得到的函数图象关于原点中心对称，则( )
A. B. C. D.
6.若为函数的极大值点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知奇函数在上是增函数，若，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
8.若对任意的、，且，，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为真命题的是( )
A. “”是“”的充分不必要条件
B. 命题“”的否定是“”
C. 若，则
D. 若，且，则的最小值为
10.已知函数，则( )
A. 的最小正周期为
B. 是曲线的一个对称中心
C. 是曲线的一条对称轴
D. 在区间上单调递增
11.已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则( )
A. 的图象关于点对称
B.
C.
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知幂函数的图象关于轴对称，则实数的值是 ．
13.已知关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围是 ．
14.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．
请你利用这个结论求得函数的对称中心为 ．
已知函数与一次函数有两个交点，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
求的单调区间和极小值．
16.本小题分
已知数．
求的最小正周期和对称轴方程；
求在的最大值和最小值．
17.本小题分
已知函数
求函数的零点；
若函数有四个零点，求的取值范围；
在的条件下，记得四个零点从左到右分别为，，，，求值．
18.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，且．
求角的大小；
设，．
(ⅰ)求的值；
(ⅱ)求的值．
19.本小题分
已知函数．
讨论在区间上的单调性
若在上有两个极值点，．
求实数的取值范围
求证：．
参考答案
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13.
14.
15.解：因为，定义域为，
所以，
所以，又，
所以曲线在点处的切线方程为，
切线在轴上的截距为，在轴上的截距为，
所以切线与坐标轴围成的三角形面积为．
令，解得或，
令，解得，令，解得或，
所以在上单调递减，在和上单调递增，
所以在出取得极小值，极小值为．
综上所述，单调递增区间为和，单调递减期间为，极小值为．
16.解：
，
所以函数的最小正周期为．
令，，解得，，
所以函数图象的对称轴方程为，，
当时，，则，进而可得，
当时，即时，取最小值，时，即时，取最大值．

17.解：
函数
当时，由，解得，
当时，由，解得或，
可得函数的零点为，或；
若函数有四个零点，
即为有四个不等实根，画出函数的图象，
由图象可得当时，的图象和直线有四个交点，
故函数有四个零点时的取值范围是；
由的对称轴为，可得，
由，即，即为，则，
故．

18.解：由正弦定理得，，
可化为
由余弦定理得，
由
得
解得
由余弦定理得，
，

19.解：的定义域为，
，
若，即，
则，，从而，
所以的单调递增区间为，无单调递减区间；
若，即或，
当时，时显然，即，
所以的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，由，解得，，
设，解得，故，令，解得，
所以当时，，所以时，，时，
，，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，
当时，，所以当时，，所以的单调递增区间为，无单调递减区间；
综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为
因为在有两个极值点，，
所以关于的方程即在有两不同的解，，
令，
则，即，解得
证明：因为，是在的两不同的解，
所以，，且，其中，，
所以，
故
，
令，
则，
当时，，
所以单调递减，
即．
故．
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