内蒙古自治区赤峰市松山区多校联考2025届高三上学期10月月考数学试题（含答案）

内蒙古自治区赤峰市松山区多校联考2025届高三上学期10月月考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为虚数单位，复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题；命题，则( )
A. 和都是真命题 B. 和都是真命题
C. 和都是真命题 D. 和都是真命题
3.已知向量，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.在年巴黎奥运会上，中国跳水队表现卓越，成功包揽了全部枚跳水金牌，这一成绩不仅创造了历史，也再次证明了“梦之队”的实力和统治力跳水比赛计分规则如下：针对运动员每次跳水，共有个裁判评分，去掉一个最高分与一个最低分，剩下的分数相加后乘以难度分，即可得出最终得分下列说法正确的是( )
A. 去掉一个最高分与一个最低分前后，两组数据的中位数一定改变
B. 去掉一个最高分与一个最低分前后，两组数据的方差可能不变
C. 去掉一个最高分与一个最低分前后，两组数据的平均数不变
D. 去掉一个最高分与一个最低分前后，两组数据的众数不变
5.在平面直角坐标系中，已知点，，圆，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
6.已知函数为奇函数，则 的 值是( )
A. B. 或 C. 或 D.
7.甲烷是一种有机化合物，分子式为，其在自然界中分布很广，是天然气、沼气的主要成分．如图所示的为甲烷的分子结构模型，已知任意两个氢原子之间的距离键长相等，碳原子到四个氢原子的距离键长均相等，任意两个键之间的夹角为键角均相等，且它的余弦值为，即，若，则以这四个氢原子为顶点的四面体的体积为( )
A. B. C. D.
8.已知函数若函数有三个零点，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.记函数的最小正周期为若为的零点，则的值可以是( )
A. B. C. D.
10.已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则( )
A. B. 以为直径的圆与轴相切
C. 的坐标为 D.
11.定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作定义：为一组数据相对于常数的“正弦方差”若，一组数据相对于的：“正弦方差”为，则的取值可能是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列的公差不为零，且成等比数列，，则 ．
13.记的内角的对边分别为，已知，则角 ．
14.年月日出版的第期求是杂志发表了中共中央总书记、国家主席、中央军委主席习近平的重要文章培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人某校积极响应总书记的指示，创造性提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进社区义务劳动高三年级共有个班，其中只有班有个劳动模范，本次义务劳动一共个名额，劳动模范必须参加并不占名额，每个班都必须有人参加给出以下四个命题：若班不再分配名额，则共有种分配方法；若班有除劳动模范之外的学生参加，则共有种分配方法；若每个班至少人参加，则共有种分配方法；若每个班至少人参加，则共有种分配方法其中正确命题的序号是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列是公差不为零的等差数列，，且存在实数满足．
求的值及通项公式；
已知，求数列的前项和．
16.本小题分
已知函数．
当时，求在处的切线方程；
，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图，在长方体中，点分别在上，且．
求证：平面平面；
当时，求平面与平面的夹角的余弦值．
18.本小题分
某校高三年级部组织高中生数学知识竞赛，竞赛分为个人赛和团体赛，竞赛规则如下：个人赛规则：每位参赛选手只有一次挑战机会，电脑同时给出道判断题判断对错和道选择题每个选择题的四个选项中有且仅有一个是正确的，要求参赛者全都作答，若有道或道以上答对，则该选手挑战成功团体赛规则：以班级为单位，每班参赛人数不少于人，且参赛人数为偶数，参赛方式有如下两种可自主选择其中之一参赛：方式一：将班级选派的个人平均分成组，每组人，电脑随机分配给同组两个人一道相同试题，两人同时独立答题，若这两人中至少有一人回答正确，则该小组挑战成功，若这个小组都挑战成功，则该班级挑战成功方式二：将班级选派的个人平均分成组，每组个人，电脑随机分配给同组个人一道相同试题，各人同时独立答题，若这个人都回答正确，则该小组挑战成功若这两个小组至少有一个小组挑战成功则该班级挑战成功．
在个人赛中若一名参赛选手全部随机作答，求这名选手恰好答对一道判断题并且答对两道选择题的概率；
甲同学参加个人赛，他能够答对判断题并且答对选择题，其余题目只能随机作答，求甲同学挑战成功的概率；
在团体赛中，假设某班每位参赛同学对给出的 试题回答正确的概率均为常数，为使本班团队挑战成功的可能性更大，应选择哪种参赛方式？说明理由．
19.本小题分
已知椭圆经过点，离心率．
求椭圆的标准方程；
设过点且倾斜角为的直线与轴，轴分别交于点，点为椭圆上任意一点，求面积的最小值．
如图，过点作两条直线分别与椭圆相交于点，设直线和相交于点证明点在定直线上．
参考答案
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15.【小问详解】
设等差数列的公差为，，
由，
得，
两式相减得，又，所以，
将代入可得，即，所以，
又，所以；
【小问详解】
由可知，则，
所以，则，即，
，
，
，
即，．

16.【小问详解】
由题设，则，
所以，故在处的切线方程．
【小问详解】
由恒成立，
对于且，则，
对于且，则，
所以在上递增，则，故，
所以在上递增，则，
综上，只需．

17.【小问详解】
由于平面，平面，故，
根据题意可得，，
又，平面，平面，所以平面，
又平面，所以，
由于平面，平面，故，
又，平面，故平面，
平面，故，
又，平面，平面，
所以平面．
平面，故平面平面；
【小问详解】
如图所示，建立空间直角坐标系：
所以，，，，
结合知，平面的法向量为，
又，，
设平面的法向量为，
则
令，则，所以，
设平面与平面夹角为，
则．

18.【小问详解】
设事件：选手答对道选择题；事件：选手答对都选择题，
则，，
这名选手恰好答对一道判断题并且答对两道选择题的概率：
【小问详解】
甲同学挑战不成功可能得情况如下：
只答对一道判断题和选择题；除和外只答对一道填空题或一道选择题中任意一道
甲同学挑战成功的概率：
【小问详解】
方式一：小组调整成功的概率：，
该班级挑战成功的概率：；
方式二：小组调整成功的概率：，
该班级挑战成功的概率：
，
令
则
，则，，
可得，，
，即，单调递增，
又，且，
，
从而，即，所以为使本班调整成功的可能性更大，应该选方式一参赛．

19.【小问详解】
由题意，点在椭圆上得，可得
又由，所以，
由联立且，可得，
故椭圆的标准方程为；
【小问详解】
易知，则，所以，
设，联立与有，
则，由解得，
到的距离即为在边上高的最小值，即，
此时面积的最小值；
【小问详解】
设，则，即
又由，得，
整理得，
再代入得，即，
所以
同理令，，则
则，，
则直线的方程为
，
同理的方程为
，
两式相减，整理得，即点在定直线上

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