中学生标准学术能力诊断性测试2025届高三上学期10月测试数学试卷（含答案）

中学生标准学术能力诊断性测试2025届高三上学期10月测试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.已知单位向量和，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知圆柱的底面半径和球的半径相等，圆柱的高与球的半径相等，则圆柱与球的表面积之比为( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
5.已知，，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数，则函数的零点个数为( )
A. B. C. D. 无穷
7.将的图象变换为的图象，下列变换正确的是( )
A. 将图象上点的横坐标变为原来的倍，再将图象向右平移个单位
B. 将图象上点的横坐标变为原来的倍，再将图象向右平移个单位
C. 将图象向右平移个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的倍
D. 将图象向右平移个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的倍
8.定义在上的函数满足：，且，当时，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.从中随机取一个数记为，从中随机取一个数记为，则下列说法正确的是( )
A. 事件“为偶数”的概率为
B. 事件“为偶数”的概率为
C. 设，则的数学期望为
D. 设，则在的所有可能的取值中最有可能取到的值是
10.在直棱柱中，底面为正方形，，为线段上动点，，分别为和的中点，则下列说法正确的是( )
A. 若，则经过，，三点的直棱柱的截面为四边形
B. 直线与所成角的余弦值为
C. 三棱锥的体积为定值
D. 的最小值为
11.一条动直线与圆相切，并与圆相交于点，，点为定直线上动点，则下列说法正确的是( )
A. 存在直线，使得以为直径的圆与相切
B. 的最小值为
C. 的最大值为
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若的展开式中存在项，则由满足条件的所有正整数从小到大排列构成的数列的通项公式为 ．
13.设双曲线的右顶点为，且是抛物线的焦点．过点的直线与抛物线交于，两点，满足，若点也在双曲线上，则双曲线的离心率为 ．
14.已知，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别是，，，满足．
若，，求的面积；
记边的 中点为，，若为钝角，求的取值范围．
16.本小题分
如图所示，在四棱锥中，，，．

若平面，证明：平面；
若底面，，二面角的正弦值为，求的长．
17.本小题分
已知椭圆，的下顶点为，左、右焦点分别为和，离心率为，过的直线与椭圆相交于，两点．若直线垂直于，则的周长为．
求椭圆的方程；
若直线与坐标轴不垂直，点关于轴的对称点为，试判断直线是否过定点，并说明理由．
18.本小题分
已知函数，．
若，证明：；
若，求的取值范围；
若，记，讨论函数的零点个数．
19.本小题分
乒乓球比赛有两种赛制，其中就有“局胜制”和“局胜制”，“局胜制”指局中胜局的一方取得胜利，“局胜制”指局中胜局的一方取得胜利．
甲、乙两人进行乒乓球比赛，若采用局胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为；若采用局胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为已知甲、乙两人共进行了场比赛，请根据小概率值的独立性检验，来推断赛制是否对甲获胜的场数有影响．
若甲、乙两人采用局胜制比赛，设甲每局比赛的胜率均为，没有平局．记事件“甲只要取得局比赛的胜利比赛结束且甲获胜”为，事件“两人赛满局，甲至少取得局比赛胜利且甲获胜”为，试证明：．
甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲的胜率都是，没有平局．若采用“赛满局，胜方至少取得局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为若采用“赛满局，胜方至少取得局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为，试比较与的大小．
附：，其中．
参考答案
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15.【小问详解】
因为，所以，
又，即，
所以，即，
所以．
【小问详解】
因为边的中点为，所以，
所以
，
又，
所以，
在三角形中，，所以，
所以，即，
又为钝角，则，解得，
故由，可得，
所以．

16.【小问详解】
证明：，，，即，
，即，
平面，平面，
，
，又平面，平面，
平面；
【小问详解】
底面，底面，
，，又，
以点为原点，以所在的直线为轴，过点作的平行线为轴，建立空间直角坐标系如图所示：

令，则，
，则，
，
设平面的法向量为，
令，则，
，
设平面的法向量为，
令，则，
，
二面角的正弦值为，则余弦值为，
又二面角为锐角，，
解得，所以．

17.【小问详解】
由题意可知，
因为离心率为，
所以，
所以，故是正三角形，如图所示：
若直线，则直线垂直平分线段，
所以，
由于的周长为，故的周长为，
由定义可知：，
所以的周长为，故，
所以，故，
所以椭圆的方程：．
【小问详解】
由题意可设直线的方程为，，则，如图所示：
可得直线的方程为：，
因为，
将其代入直线方程，可得，
可整理得：，
联立方程得，
则，
所以，即，
将其代入式中，可得直线方程为：，
可见直线过定点，
所以直线过定点，坐标为．

18.【小问详解】
由题设且，则，
所以在上递减，故，得证；
【小问详解】
由解析式，易知时恒成立，
当，只需恒成立，
令且，则，
令，则，即在上递增，
所以，故，即在上递增，且，
对于，，则，
故在上递增，且时，
综上，，即．
【小问详解】
由题设，且定义域为，显然，
令，且
只需研究与在上的交点情况，
若，则在上递减，在上递增，且时，
而，即在上递减，且，
又，则，在处的图象递减趋势比的图象平缓，
故与在上有且仅有一个交点，
此时，在有两个零点；
若，在恒成立，而恒成立，
故与在上无交点，
此时，在有一个零点；
综上，时有两个零点；时有一个零点．

19.【小问详解】
由题设，赛制与甲获胜情况列联表如下，
甲获胜场数 乙获胜场数
局胜
局胜
所以，若，
当时，根据小概率值的独立性检验，推断赛制对甲获胜的场数有影响．
当时，根据小概率值的独立性检验，没有证据认为推断赛制对甲获胜的场数有影响．
【小问详解】
由题意，
，
，
综上，，得证．
【小问详解】
考虑赛满局的情况，以赛完局为第一阶段，第二阶段为最后局，
设“赛满局甲获胜”为事件，结合第一阶段结果，要使事件发生，有两种情况：
第一阶段甲获胜，记为；第一阶段乙获胜，且甲恰好胜了局，记为，
则，得，
若第一阶段甲获胜，即赛满局甲至少胜局，有甲至少胜局和甲恰好胜局两种情况，
甲至少胜局时，无论第二阶段的局结果如何，最终甲获胜；
甲恰好胜局时，有可能甲不能获胜，此时第二阶段的局比赛甲均失败，概率为，
所以，
若第一阶段乙获胜，且甲恰好胜了局，那么要使甲最终获胜，第二阶段的局甲全胜，得，
所以，
则
，
由，所以，得．

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