2024-2025学年重庆市名校联盟高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年重庆市名校联盟高三（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
2.记为数列的前项和．“任意正整数，均有”是“为递增数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知向量，，，若点，，能构成三角形，则实数不可以是( )
A. B. C. D.
4.已知，则的值是( )
A. B. C. D.
5.已知函数在点处的切线与曲线只有一个公共点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.数学活动小组由名同学组成，现将这名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案有种．
A. B. C. D.
7.血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间单位：时的变化规律，其中为初始血氧饱和度，为参数已知，给氧小时后，血氧饱和度为若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间单位：时为( )
精确到，参考数据：，
A. B. C. D.
8.若的内角满足，则( )
A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知的展开式中，二项式系数之和为，下列说法正确的是( )
A. ，，成等差数列 B. 各项系数之和为
C. 展开式中二项式系数最大的项是第项 D. 展开式中第项为常数项
10.甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为，方差为，乙队体重的平均数为，方差为，又已知甲、乙两队的队员人数之比为：，则下列说法正确的是( )
A. 甲、乙两队全部队员的平均体重是 B. 甲、乙两队全部队员的平均体重是
C. 甲、乙两队全部队员的方差是 D. 甲、乙两队全部队员的方差是
11.若函数，则下列说法中正确的是( )
A. 的最大值是 B. 恒成立
C. 存在对称轴 D. 存在对称中心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.复数，则复数的实部与虚部之和是______．
13.若函数在其定义域的一个区间内不单调，则实数的取值范围是______．
14.已知平面向量，，满足，，，，则 ______，若，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知各项均为正数的等差数列的前三项和为，等比数列的前三项和为，且，．
求数列和的通项公式；
设，其中，求数列的前项和．
16.本小题分
已知．
求的单调递增区间；
若函数在区间上恰有两个零点，．
求的取值范围；
求的值．
17.本小题分
随着社会经济的发展，个人驾驶已经逐渐成为一项成年人的基本技能某免费“驾考”软件是驾校学员的热门学习工具，该软件设置每天最多为一个学员提供次模拟考试机会学员小张经过理论学习后，准备利用该进行模拟考试，若他每次的通过率均为，且计划当出现第一次通过后，当天就不再进行模拟考试，否则直到利用完该软件当天给的所有模拟考试机会为止．
求学员小张最多利用两次机会就通过模拟考试的概率；
若学员小张每次模拟考试用分钟，求他一天内模拟考试花费的时间的期望．
18.本小题分
据报道，年月底重庆市某区县将举行马拉松赛比赛某补给站平面设计图如图所示，根据比赛需要，在设计时要求，．
若，，求的值；
若，四边形面积为，求的值．
19.本小题分
已知函数其中，．
当，，记的导函数为，证明：恒成立；
指出的对称中心，并说明理由；
已知，设函数，若对任意的恒成立，求的最小值．
参考答案
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15.解：设等差数列的公差为，，等比数列的公比为，
由各项均为正数的等差数列的前三项和为，
可得，即，
由等比数列的前三项和为，，
可得，即为，
解得或，
由，，可得，
若，则，舍去；
若，则，，；
，
则数列的前项和为
．
16.解：，
，
，
．
由，得，，
故的单调递增区间为；
令，当时，，
作函数的图象，
数形结合可得，当或时，与有两个交点，
即有两解，
综上，当函数在区间上恰有两个零点，时，的取值范围为．
设，是函数的两个零点即，，
由正弦函数图象性质可知，即，
所以．
17.解：设学员小张恰第次通过模拟考试的概率为，
则，，
所以学员小张最多利用两次机会就通过模拟考试的概率为；
设表示一天内模拟考试的次数，则，，，，，
由题意知：，，，，，
所以，
因为，
所以，
所以小张一天内模拟考试花费的时间的期望为分钟．
18.解：在中，因为，，
则，，
在中，由正弦定理得：，
即，
因为，，所以，
所以；
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理可得：，
可得，
即，
由，
即，，
得，，
即，
解得．
19.解：证明：易知函数的定义域为，
当，时，，
可得恒成立；
的对称中心为，理由如下：
因为
，
所以的对称中心为；
因为，函数定义域为，
可得，
当时，，
所以在上单调递增；
当时，，
此时函数的取值范围为，
所以当时，函数的取值范围为，不符合题意；
当时，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，
因为对任意的恒成立，
所以恒成立，
此时，
设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
即，
当且仅当，时，等号成立．
故的最小值为．
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