2024-2025学年四川省绵阳中学高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年四川省绵阳中学高三（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合和的关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 无穷多个
2.围棋是中国传统棋种，蕴含着中华文化丰富内涵围棋棋盘横竖各有条线，共有个落子点每个落子点都有落白子、落黑子和空白三种可能，因此围棋空间复杂度的上限科学家们研究发现，可观测宇宙中普通物质的原子总数则下列各数中与最接近的是参考数据：
A. B. C. D.
3.的定义域为( )
A. B.
C. D.
4.设，，，则( )
A. B. C. D.
5.设函数，则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
6.下列选项可以使得成立的一个充分不必要条件的是( )
A. B. C. D.
7.函数的导函数，若函数仅在有极值，则的取值范围是( )
A. B. 或
C. 或 D.
8.存在三个实数，，，使其分别满足下述两个等式：；，其中表示三个实数，，中的最小值，则( )
A. 的最小值是 B. 的最大值是
C. 的最小值是 D. 的最大值是
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知定义在上的奇函数，其周期为，当时，，则( )
A. B. 的值域为
C. 在上单调递增 D. 在上有个零点
10.已知函数，下列说法正确的是( )
A. 关于对称
B. 的值域为，当且仅当或
C. 的最大值为，当且仅当
D. 有极值，当且仅当
11.关于函数，下列说法中正确的是( )
A. 图象关于直线对称 B. 为偶函数
C. 为的周期 D. 最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，其终边上一点的坐标为，则的值为______．
13.甲说：在上单调递减，乙说：存在实数使得在成立，若甲、乙两人至少有一人说的话是对的，则的取值范围是______．
14.已知不等式对任意的实数恒成立，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
若，求函数的极值；
讨论函数的单调性．
16.本小题分
已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．
求的解析式；
若关于的方程在区间上有且只有两个实数解，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知，，，，
求的值；
求角的值．
18.本小题分
已知函数．
证明：曲线是中心对称图形；
若，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
函数与的图像关于对称，求的解析式；
在定义域内恒成立，求的值；
求证：，．
参考答案
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15.解：若，则，
所以，
所以当或时，，当时，，
所以在上递减，在，递增，
所以的极小值为，极大值为；
因为，
则，
所以当时，，所以在上递增，
当时，
则当或时，，当时，，
所以在，上递增，在上递减，
当时，
则当或时，，时，，
所以在，上递增，在上递减，
综上，当时，在，上递增，在上递减，
当时，在上递增，
当时，在，上递增，在上递减．
16.解：函数，将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．
将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，
得到的图象，所以．
因为，所以．
，即在区间上有且只有两个实数解，
于是函数与的图象在区间上有且只有两个交点，
，
，所以．
画出在区间上的图象如下图所示，
所以，所以．
所以实数的取值范围是．
17.解：因为，所以，可得，
解得或，由于，所以．
所以
．
由，知，因，
则，
由，
又因为，所以．
18.解：证明：函数，定义域为，
，
所以曲线关于点对称．
，
因为，，所以，
所以在定义域上单调递增．
方法一又关于点对称，，
所以，
解得．
方法二因为关于点对称，
所以是奇函数，且在区间上单调递增．
由，即，
即，
所以，所以，
解得．
所以实数的取值范围为．
19.解：依题意，设图像上任意一点坐标为，
则其关于对称的点在图像上，
则，则，
故，；
令，，
则在在恒成立，
又，且在上是连续函数，则为的一个极大值点，
，，
下证当时，在恒成立，
令，，
当，，在上单调递增，
当，，在上单调递减，
故，在上恒成立，又，
则时，恒成立，
综上，．
由可知：，
则，即，
则，
又由可知：在上恒成立，
则在上恒成立，当当且仅当时取等，
令，，则，
即，
则，
综上，，即证．
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