2024-2025学年安徽省合肥七中高三（上）第四次统一作业数学试卷（含答案）

2024-2025学年安徽省合肥七中高三（上）第四次统一作业数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，，那么集合( )
A. B. C. D.
2.已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数则( )
A. B. C. D.
4.若，则( )
A. B. C. D.
5.与以下哪个值相同( )
A. B. C. D.
6.已知，，，，则在下列选项中最小的是( )
A. B. C. D.
7.若，对恒成立，则( )
A. B. C. D.
8.定义在上的函数和的最小正周期分别是和，已知的最小正周期为，则下列选项中可能成立的是( )
A. ， B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称
C. 的图象关于点中心对称 D. 的值域为
10.已知为奇函数，且对任意，都有，，则( )
A. B. C. D.
11.设，，且，则下列关系式可能成立的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.求值： ______．
13.已知和的图像的连续三个交点，，构成，则的面积为______．
14.若对一切恒成立，则的最大值为______．
四、解答题：本题共4小题，共47分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，，，分别是，，的中点．
求证：；
求与平面所成角的正弦值．
16.本小题分
设函数为常数，且，，的部分图象如图所示．
求函数的解析式；
若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
若函数有极小值，且极小值大于，求实数的取值范围．
18.本小题分
对于函数，定义域，为若存在实数，使，其中，则称为“倒数函数”，为“的倒数点”已知，．
如果对成立求证：为周期函数；
若为“的倒数点”，且只有两个不同的解，求函数的值；
设，若函数恰有个“的倒数点”，求的取值范围．
参考答案
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13.
14.
15.解：证明：如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，
因为，所以，即；
由知，，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，，
即，
设与平面所成角为，
则．
16.解：由图得，，
所以，
故，
所以，
将代入，得，
所以，
又，所以，
所以；
因为，所以，
所以，
所以，
令，
因为不等式在上恒成立，
所以在上恒成立，
所以，
又，
所以函数在上单调递增，
所以当时，有，
所以，即．
所以实数的取值范围为．
17.解：易知的定义域为，
可得，
当时，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，恒成立，
所以在上单调递增；
当时，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
由知，若函数有极小值，则，
当或时，在取得极小值，
因为，
所以，
解得，
则；
当时，在取得极小值，
因为，
所以，
即，
令，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
又，
由，
可得；
综上所述，或．
即实数的取值范围为．
18.解：证明：因为对成立，
所以，
所以，
所以为函数的周期；
由为“关于倒数点”，得，
即，
即，
又因为，所以，
设的定义域为，
求导得，
因为恒成立，
所以当时，，单调递增；
时，，单调递减；
时，，单调递增；
所以的单调递增区间为，，递减区间为，
所以，，
当趋于时，趋于，当趋于时，趋于，
作出函数的大致图象如下：
又因为只有两个不同的解，
转化为与有两个交点，
由图象可得；
依题意，，
由恰有个“的倒数点”，
即恰有个不等实数根，
当时，，方程可化为，
所以，解得，
这与矛盾，
因此在内没有实数根；
当时，，方程可化为，
该方程又可化为．
设，则，
因为当时，，
所以在内单调递增，
又因为，，
所以当时，，
因此，当时，方程在内恰有一个实数根；
当时，方程在内没有实数根．
当时，，没有意义，
所以不是的实数根．
当时，，
方程可化为，
即为，，
于是此方程在内恰有两个实数根，
由韦达定理可得，解得，
因此当时，方程在内恰有两个实数根，
当时，方程在内至多有一个实数根．
综上，的取值范围为．
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