2024-2025学年福建省部分优质高中高三（上）联考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年福建省部分优质高中高三（上）联考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数在复平面内对应的点为，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
3.若双曲线的右支上一点到右焦点的距离为，则到左焦点的距离为( )
A. B. C. D. 或
4.已知某圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为，则该圆台的体积为( )
A. B. C. D.
5.函数的值域为( )
A. B. C. D.
6.“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”，增广贤文是勉励人们专心学习的如果每天的“进步”率都是，那么一年后是；如果每天的“落后”率都是，那么一年后是一年后“进步”的是“落后”的倍现假设每天的“进步”率和“落后”率都是，要使“进步”的是“落后”的倍，则大约需要经过天参考数据：，．
A. B. C. D.
7.函数的大致图象是( )
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，则“”是“是周期为的周期函数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分又不必要条件 D. 充要条件
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知椭圆：，则( )
A. 的焦点在轴上 B. 的焦距为
C. 的离心率为 D. 的长轴长是短轴长的倍
10.设函数的最小正零点为，则( )
A. 的图象过定点 B. 的最小正周期为
C. 是等比数列 D. 的前项和为
11.如图，在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，为线段上的一个动点，则下列说法正确的是( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 存在点，使平面平面
C. 设直线与平面所成角为，则的最大值为
D. 平面截正方体所得截面的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知一组数据，，，，，，，，则这组数据的第百分位数为______；若从这组数据中任意抽取个数据，则这个数据不相等的概率为______．
13.已知，的展开式中的系数为，则展开式中的系数为______用数字作答
14.在四面体中，是边长为的等边三角形，，，，点在棱上，且，过点作四面体的外接球的截面，则所得截面圆的面积最小值与球的表面积之比为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若的面积为，求．
16.本小题分
已知直三棱柱中，底面为正三角形，为的中点，二面角的大小为．
证明：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
贵妃杏是河南省灵宝市黄河沿岸地区的一种水果，其果实个大似鹅蛋，外表呈橙黄色，阳面有晕贵妃杏口感甜美，肉质实心鲜嫩多汁，营养丰富，是河南省的知名特产之一已知该地区某种植园成熟的贵妃杏按个计算的质量单位：克服从正态分布，且，从该种植园成熟的贵妃杏中选取了个，它们的质量单位：克为，，，，，，，，，，这个贵妃杏的平均质量恰等于克．
求．
求．
甲和乙都从该种植园成熟的贵妃杏中随机选取个，若选取的贵妃杏的质量大于克且不大于克，则赠送个贵妃杏；若选取的贵妃杏的质量大于克，则赠送个贵妃杏记甲和乙获赠贵妃杏的总个数为，求的分布列与数学期望．
18.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
证明：不是函数的极值点；
设，为正数，证明：．
19.本小题分
定义：已知椭圆，把圆称为该椭圆的协同圆设椭圆：的协同圆为圆为坐标系原点，试解决下列问题：
写出协同圆圆的方程；
设直线是圆的任意一条切线，且交椭圆于、两点，求的值；
设、是椭圆上的两个动点，且，过点作，交直线于点，求证：点总在某个定圆上，并写出该定圆的方程．
参考答案
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15.解：由正弦定理得，即，
由余弦定理得，
又因为，所以；
因为的面积为，
所以，即，
由，则，
即，
所以，
即．
16.证明：连接交于，连接，显然是的中点，
因为为的中点，所以，
而不在平面内，平面，
所以平面．
解：设的中点为，连接交于，
因为为正三角形，所以也是正三角形，
所以有，因为三棱柱是直三棱柱，
所以平面平面，而平面平面，
所以平面，
因为三棱柱是直三棱柱，
所以侧面是矩形，因此平面，
于是建立如图所示的空间直角坐标系，设，，
所以，
设平面的法向量为，
，
所以有，
因为平面，
所以设平面的法向量为，
因为二面角的大小为，
所以有负值舍去，
则，
设直线与平面所成角的正弦值为，
所以．
17.解：由题可得，；
因为，所以，
故；
设人获赠贵妃杏的个数为，
由题可得，，，，
则的所有可能取值为，，，，，
，
，
，
，
，
所以的分布列为：
所以．
18.解：根据题意有．
设，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
所以，在单调递增．
证明：设，则，
若是的极值点，
则，，．
设，则，
由可知，，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，所以，单调递增，
所以不是函数的极值点．
证明：当时，，当时，．
因为是增函数，且由可知，单调递增，．
所以，即，
另有，
即，
所以有．
19.解：由椭圆，可知，．
根据协同圆的定义，可得该椭圆的协同圆为圆；
解：设点、，则．
直线为圆的切线，故分直线的斜率存在和不存在两种情况加以讨论：
当直线的斜率不存在时，直线：．
若：，由，可解得，
此时，；
当：时，同理可得：．
当直线的斜率存在时，设：．
由，得．
，，
得．
又由于直线是圆的切线，故，得．
，即．
综上，总有；
证明：、是椭圆上的两个动点，且．
设、，则．
下面分直线、中有一条直线的斜率不存在和两条直线的斜率都存在两种情况加以讨论．
不妨设直线的斜率不存在，即点在轴上，则点在轴上，有，．
由，解得；
若直线、的斜率都存在，设：，则．
由，得，可得．
同理可得．
于是，．
由，可得．
因此，总有，即点在圆心为坐标原点，半径为的圆上．
该定圆的方程为圆．
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