2024-2025学年上海师大附中闵行分校高三（上）第三次半月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海师大附中闵行分校高三（上）第三次半月考
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“”是“”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
2.小明在某比赛活动中已经进入前四强，他遇到其余四强的三人之一的获胜概率分别为、、，若小明等可能遇到其他选手，获胜则进入决赛，反之被淘汰，则小明进入决赛的概率为( )
A. B. C. D.
3.已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是( )
A.
B. 若，则的最大值为
C. 若，则复平面内对应的点位于第一象限
D. 若是关于的方程的一个根，则
4.已知函数的定义域为，将的所有零点按照由小到大的顺序排列，记为：，，，，对于正整数有如下两个命题：
甲：；
乙：恒成立，则( )
A. 甲正确，乙正确 B. 甲正确，乙错误 C. 甲错误，乙正确 D. 甲错误，乙错误
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.函数的定义域是__________．
6.已知向量，，若，则实数 ______．
7.已知复数，其中是虚数单位，，则 ______．
8.已知的展开式中各项系数的和为，则 ______．
9.已知双曲线的渐近线方程为，且右顶点与椭圆的右焦点重合，则这个双曲线的标准方程是______．
10.“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”增广贤文是勉励人们专心学习的如果每天的“进步”率都是，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是，那么一年后是，一年后“进步”的是“退步”的倍如果每天的“进步”率和“退步”率都是，那么“进步”的是“退步”的倍需要经过的时间大约是______天四舍五入精确．
11.已知函数的图像如图所示，则不等式的解集是______．
12.若函数的值域为，则实数的取值范围是______．
13.某医院派出名护士、名内科医生组成支援队伍，现在需要从这人中任意选取人去城市支援，设表示其中内科医生的人数，则的期望为______．
14.设函数的图像与直线相交的连续的三个公共点从左到右依次记为，，，若，则正实数的值为______．
15.如图，要在和两地之间修建一条笔直的隧道，现在从地和地测量得到：，，，则 ______结果精确到
16.已知是平面向量，且是单位向量，若非零向量在方向上的投影向量为，向量满足，则的最小值是______．
三、解答题：本题共5小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，已知正四棱柱，底面正方形的边长为，．
求证：平面平面；
求点到平面的距离．
18.本小题分
已知函数．
当时，是否存在实数，使得是奇函数；
对于任意给定的非零实数，与轴负半轴总有交点，求实数的取值范围．
19.本小题分
如图，某公园拟划出形如平行四边形的区域进行绿化，在此绿化区域中，分别以和为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与相切．
若长度单位：米，求种植花卉区域的面积；
若扇形的半径为米，圆心角为，则多大时，平行四边形绿地占地面积最小？
20.本小题分
如图，已知抛物线的方程为，直线的方程为，直线交抛物线于、两点，为坐标原点．
若，求的面积的大小；
的大小是否是定值？证明你的结论；
如图，过点、分别作抛物线的切线和两切线交点为，，分别与轴交于，，求面积的最小值．
21.本小题分
定义：设和均为定义在上的函数，它们的导函数分别为和，若不等式对任意实数恒成立，则称和为“相伴函数”．
给出两组函数，和和，分别判断这两组函数是否为“相伴函数”只需直接给出结论，不需论证；
若、是定义在上的可导函数，是偶函数，是奇函数，，证明：和为“相伴函数”；
，，写出“和为相伴函数”的充要条件，证明你的结论．
参考答案
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13.．
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17.证明：因为四棱柱为正四棱柱，
所以平面，且，
因为平面，所以，
因为，，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面得证．
解：设点到平面的距离为，与相交于点，连接，
因为正方形的边长为，，
所以，，
由三线合一可得：，且，
由勾股定理得：，
所以，
，
又，又平面，
故，
由，
故点到平面的距离为．
18.解：根据题意，函数，
当时，则，可知的定义域为，
若是奇函数，则，解得，
且当时，，
即，是奇函数，
综上所述：当时，是奇函数．
令，可得，，
因为，则，且，
当时，则；
当时，则；
综上所述：当时，实数的取值范围为；
当时，实数的取值范围为．
19.解：中，，，，
所以，
又因为，所以，
设扇形的半径为，
则，
解得，
所以扇形的面积为，
所以两块花卉景观扇形的面积为平方米；
连接与切点，设，过点作的垂线交延长线于点，
中，，
在中，，
在中，，
平行四边形绿地的面积为
，，
令
，，
所以，
当，即时，取得最大值为，此时取得最小值；
所以时，平行四边形绿地占地面积最小．
20.解：当时，直线的方程为，
由解得，，，
所以的面积为．
由中发现为等腰直角三角形，猜测．
证明：，
得，即，，
所以，所以为定值．
，对函数求导得到，
所以方程为，整理得，
同理方程为，
分别令得到，
，解得，
由第小题，，得到，
所以，
所以面积的最小值为．
21.解：第组是，第组不是，
和，
，
所以这两组函数是“相伴函数”．
和，
不一定为非正数，
所以这两组函数不是“相伴函数”．
证明：由题意得，，，
所以，
，所以，
因此成立，
即和为“相伴函数”．
证明：“和为相伴函数”的充要条件是，
充分性：已知，
则，
，
此时，所以，
即成立，和为相伴函数
必要性：已知和为相伴函数，
，，
所以，
，
，
，即，
由于取遍内的所有实数，因此当且仅当时成立，
所以，
所以“和为相伴函数”的充要条件是．
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