2024-2025学年湖南省岳阳市岳阳县一中高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年湖南省岳阳市岳阳县一中高三（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则的共轭复数在复平面中对应的点在第象限
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
3.关于三个不同平面，，与直线，下列命题中的假命题是( )
A. 若，则内一定存在直线平行于 B. 若与不垂直，则内一定不存在直线垂直于
C. 若，，，则 D. 若，则内所有直线垂直于
4.已知奇函数在上可导，，若在是增函数，在是减函数，则( )
A. 在是增函数，在是减函数 B. 在是减函数，在是增函数
C. 在，都是增函数 D. 在，都是减函数
5.如图，在平面直角坐标系中，已知点，记，则( )
A. B. C. D.
6.如今我们在测量视力的时候，常用对数视力表如图，视力值从到，每行相差，这种计算视力的方法称为五分记录法，“对数视力表”和“五分记录法”是由我国著名眼科专家缪天荣在年研制发明的，这种独创的视力表的核心在于：将视力和视角设定为对数关系，因此被认为是一种最符合视力生理的，而又便于统计和计算的视力检测系统，这使中国的眼科研究一下子站到了世界的巅峰，年，对数视力表在第届国际眼科大会罗马宣读，引起轰动，年标准对数视力表被制定为国家标准，并在全国实施已知在五分记录法中，规定视力值，其中为人眼的视角，单位为分度分，视角的大小，决定了人眼能看到的最小物体的长度，这个长度约等于以眼球为圆心眼球大小忽略不计，视角为圆心角，眼球与物体之间的距离为半径的扇形的弧长如果某人的一只眼睛的视力值为，那么这只眼睛能看到距离米外的最小物体的长度约为参考数据：，( )
A. 毫米 B. 毫米 C. 毫米 D. 毫米
7.已知点是抛物线上的动点，点在轴上的射影是，点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8.已知过点可以作函数的三条切线，如果，则和应该满足的关系是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则下列说法正确的是( )
A. 且 B. 的最小值是
C. 的最小值是 D. 的最小值是
10.如图，在直三棱柱中，，，，，，分别是棱，，的中点，在线段上，则下列说法中正确的有( )
A. 平面
B. 平面
C. 的最小值为
D. 存在点，满足
11.下列不等关系中，正确的是是自然对数的底数( )
A. B.
C. D.
12.函数，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 若有两个不相等的实根，，则
D. 若，，均为正数，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量，则向量在向量的方向上的投影向量为______结果用坐标表示
14.已知和是方程的两根，则 ______．
15.的展开式中，的系数为______．
16.定义在上的函数满足已知方程，当时，，已知方程有个不相等的实数根，，，，且，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数．
求函数的值域；
求不等式的解集．
18.本小题分
已知函数的图像如图所示．
求的解析式；
在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，若角满足，求的取值范围．
19.本小题分
在，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
问题：在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知_____．
求角；
若，，内角的平分线交边于点，求的长．
20.本小题分
某学校为学生开设了一门模具加工课，经过一段时间的学习，拟举行一次模具加工大赛，学生小明、小红打算报名参加大赛．
赛前，小明进行了一段时间的强化训练，加工完成一个模具的平均速度秒与训练天数天有关，经统计得到如表数据：
天
秒
经研究发现，可用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过天训练后，加工完成一个模具的平均速度约为多少秒？
小明和小红拟先举行一次模拟赛，每局比赛各加工一个模具，先加工完成模具的人获胜，两人约定先胜局者赢得比赛．若小明每局获胜的概率为，已知在前局中小明胜局，小红胜局．若每局不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率．
参考数据：其中
参考公式：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
21.本小题分
已知函数，，．
当时，
证明：，；
是否存在点，使得和在处的切线相同？如果存在，直接写出点坐标和切线方程；如果不存在，请说明理由．
讨论函数在的零点的个数．
22.本小题分
已知函数，．
讨论函数的单调性；
若函数有两个不同的零点，，求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：
，
令，，
则
；
故函数的值域为；
不等式可化为，
即，
解得或，
故或，
解得或；
故不等式的解集为或．
18.解：由图像可得，
因为且在附近单调递减，所以．
又，所以，．
解得，
又，得，
所以，直接写不扣分
所以．
由且，
可得，解得．
由正弦定理可得．
由锐角三角形可得，解得，
所以，则的取值范围是．
19.解：选择条件：
由正弦定理知，，
，
，
，
，即，，
，，
又为锐角三角形，．
选择条件：
，，即，
，解得，
为锐角三角形，．
选择条件：
，且，
，
由正弦定理知，，
，
，，即，
为锐角三角形，，
，
，即．
在中，由正弦定理得，，
，
为锐角三角形，
，
，
是角的平分线，，
，
即为等腰三角形，
．
20.解：由题意，，
令，设关于的线性回归方程为，
则，
则，，
关于的回归方程为，
当时，，
预测小明经过天训练后，加工完成一个模具的平均速度约为秒．
设比赛再继续进行局小明最终赢得比赛，
已知在前局中小明胜局，小红胜局．若每局不存在平局，则最多再进行局就有胜负，
所以的可能取值为、、．
又小明每局获胜的概率为，
所以当时，小明以：的比分获胜，；
当时，小明以：的比分获胜，；
当时，小明以：的比分获胜，．
所以小明最终赢得比赛的概率为．
21.解：证明：当时，，
由可知，要证，
只需证，
设，，
设，因为在区间内单调递增且，
所以，；，，
所以在区间内单调递减，在区间内单调递增，
所以当时，，可得，，
所以，；
存在；切线方程为证明如下：
由中取等条件可知，当时，存在唯一，使得，
又恰好，进而得出公切线方程，
而当时，，，又，故无其他结果．
令，即，
等价于，
设，
由得，当时，在有个零点；
当时，，故没有零点；
当时，，，，
所以在，各有个零点．
综上所述，当时，在区间内有个零点；当时，在区间内没有零点；当时，在区间内有个零点．
22.解：，，
，
时，时，，此时函数单调递减；时，，此时函数单调递增．
时，时，，此时函数单调递增；时，，此时函数单调递减．
证明：．
函数有两个不同的零点，，
，，
，，
解得，
要证明，即证明，即，
令，即证明：，化为：，
令，，，
，
令，，，
则，
在上单调递增，
，
在上单调递增，，
，
结论成立．
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