江苏省连云港市2015-2016学年高一（上）期末数学试卷（解析版）

2015-2016学年江苏省连云港市高一（上）期末数学试卷
　
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1．已知集合A={x|x＞2}，B={2，3，4}，则A∩B=　　　　　　．
　
2．若直线过点A（1，2），B（3，6），则该直线的斜率为　　　　　　．
　
3．幂函数f（x）=xa的图象经过点（4，），则实数a=　　　　　　．
　
4．2lg4+lg=　　　　　　．
　
5．已知函数f（x）=x2﹣mx+1是偶函数，则f（x）的单调递增区间是　　　　　　．
　
6．过点（﹣2，3）且与直线x﹣2y+1=0垂直的直线的方程为　　　　　　．
　
7．已知函数，若，则m=　　　　　　．
　
8．若直线x+2ay=2a+2与直线ax+2y=a+1平行，则实数a=　　　　　　．
　
9．已知方程log2x+x﹣m=0在区间（1，2）上有实根，则实数m的取值范围是　　　　　　．
　
10．用半径为1cm的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为　　　　　　cm．
　
11．已知0.2x＜25，则实数x的取值范围为　　　　　　．
　
12．若方程7x2﹣（m+13）x﹣m﹣2=0的一个根在区间（0，1）上，另一根在区间（1，2）上，则实数m的取值范围为　　　　　　．
　
13．已知m，n，p表示不重合的三条直线，α，β，γ表示不重合的三个平面．下列说法正确的是　　　　　　．（写出所有正确命题的序号）．
①若m⊥p，m∥n，则n⊥p；
②若m∥β，n∥β，m α，n α，则α∥β；
③若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=m，则m⊥γ；
④若α∥β，m α，n β，则m∥n．
　
14．函数f（x）=对于任意的实数b，函数y=f（x）﹣b至多有一个零点，则实数a的取值范围是　　　　　　．
　
　
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知函数f（x）=+lg（x﹣1）的定义域为集合M，函数g（x）=x2﹣2x+3在[0，3]的值域为集合M，求：
（1）M，N；
（2）M∩N，M∪N．
　
16．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D．
（1）求证：AD⊥平面BCC1B1；
（2）如果点E是C1B1的中点，求证：A1E∥平面ADC1．
　
17．已知△ABC的三个顶点的坐标为A（1，0），B（3，2），C（2，4）．求：
（1）点D的坐标，使四边形ABCD是平行四边形；
（2）点C关于直线AB对称点的坐标；
（3）△ABC的面积．
　
18．一副三角板如图拼成，AB=AC，∠BAC=90°，∠DBC=30°，∠BCD=90°，将△BCD沿BC折起，使得平面ABC⊥平面BCD．
（1）若AB=，求四面体A﹣BCD的体积；
（2）求证：平面ABD⊥平面ACD．
　
19．如图，在A，B两城周边有两条直线互相垂直的高速公路l1，l2，在点O外交汇，A城到高速公路l1，l2的距离分别是30km，20km，B城到高速公路l1，l2的距离分别是60km，80km，为了方便居民出行，现要在高速公路l1或l2上建造一个高速公路出入口P（不能建造在点O处），经调查，若出入口O建造在高速公路l1上，A，B两城居民的“不满意度”M1=（PA+PB），若出入口P建造在高速公路l2上，A，B两城居民的“不满意度”M2=．
（1）若出入口P建造在高速公路l1上，求A，B两城居民，“不满意度”的最小值；
（2）试确定出入口P建在高速公路何处，才能使A，B两城居民的，“不满意度”最小？
　
20．已知函数f（x）是二次函数，函数g（x）=x2﹣2，f（x）+g（x）是奇函数，且方程f（x）=3x+2有两个相等的实数根．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求x取何值时，函数f（x）的图象在函数g（x）的图象的上方；
（3）是否存在实数m，n（m＜n），使得函数f（x）的定义域和值域的分别为[m，n]和[2m，2n]、如果存在，求出m，n的值，请说明理由．
　
　
2015-2016学年江苏省连云港市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1．已知集合A={x|x＞2}，B={2，3，4}，则A∩B=　{3，4}　．
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题；定义法；集合．
【分析】由A与B，找出两集合的交集即可．
【解答】解：∵A={x|x＞2}，B={2，3，4}，
∴A∩B={3，4}，
故答案为：{3，4}
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
　
2．若直线过点A（1，2），B（3，6），则该直线的斜率为　2　．
【考点】直线的斜率．
【专题】计算题；方程思想；数学模型法；直线与圆．
【分析】直接由两点坐标求斜率公式得答案．
【解答】解：∵A（1，2），B（3，6），
∴．
故答案为：2．
【点评】本题考查直线的斜率，考查了由两点的坐标求直线的斜率，是基础题．
　
3．幂函数f（x）=xa的图象经过点（4，），则实数a=　﹣　．
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【专题】待定系数法；函数的性质及应用．
【分析】把点的坐标代入幂函数f（x）的解析式，求出a的值即可．
【解答】解：幂函数f（x）=xa的图象经过点（4，），
∴4a=，
解得a=﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了用待定系数法求幂函数解析式的应用问题，是基础题目．
　
4．2lg4+lg=　1　．
【考点】对数的运算性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用对数的运算性质即可得出；
【解答】解：原式=═lg10=1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．
　
5．已知函数f（x）=x2﹣mx+1是偶函数，则f（x）的单调递增区间是　（0，+∞）　．
【考点】二次函数的性质．
【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用．
【分析】由偶函数的图象关于y轴对称，可得m=0，再由二次函数的单调性，即可得到增区间．
【解答】解：函数f（x）=x2﹣mx+1是偶函数，
可得f（x）的图象关于y轴对称，
即有对称轴x==0，即为m=0，
由f（x）=x2+1，可得增区间为（0，+∞）．
故答案为：（0，+∞）．
【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的求法，考查二次函数的对称轴和单调区间的求法，属于基础题．
　
6．过点（﹣2，3）且与直线x﹣2y+1=0垂直的直线的方程为　2x+y+1=0　．
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【专题】直线与圆．
【分析】根据与已知直线垂直的直线系方程可设与直线x﹣2y+1=0垂直的直线方程为2x+y+c=0，再把点（﹣2，3）代入，即可求出c值，得到所求方程．
【解答】解：∵所求直线方程与直线x﹣2y+1=0垂直，∴设方程为2x+y+c=0
∵直线过点（﹣2，3），∴﹣4+3+c=0，∴c=1
∴所求直线方程为2x+y+1=0．
故答案为：2x+y+1=0．
【点评】本题主要考查了互相垂直的两直线方程之间的关系，以及待定系数法求直线方程，属于常规题．
　
7．已知函数，若，则m=　　．
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．
【专题】计算题．
【分析】由于函数f（x）为分段函数，故方程可转化为不等式组，分别解得方程的解即可
【解答】解： 或
解得m=或m=﹣1
故答案为或﹣1
【点评】本题主要考查了分段函数的用法，函数与方程间的关系，简单的对数方程和指数方程的解法，属基础题
　
8．若直线x+2ay=2a+2与直线ax+2y=a+1平行，则实数a=　1　．
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】方程思想；转化思想；直线与圆．
【分析】利用两条直线平行的充要条件即可得出．
【解答】解：由于直线ax+2y=a+1存在，且两条直线平行，因此直线x+2ay=2a+2的斜率存在，a≠0．
两条直线分别化为：y=﹣x+，y=x+，
可得：﹣ =，≠，
解得a=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了两条直线平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
　
9．已知方程log2x+x﹣m=0在区间（1，2）上有实根，则实数m的取值范围是　（1，3）　．
【考点】二分法的定义．
【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】由方程log2x+x﹣m=0在区间（1，2）上有实根，则函数f（x）=log2x+x﹣m在区间（1，2）上有零点，根据函数的单调性和函数的零点存在定理可知f（1）f（2）＜0，解得即可．
【解答】解：方程log2x+x﹣m=0在区间（1，2）上有实根，
∴函数f（x）=log2x+x﹣m在区间（1，2）上有零点，
∵f（x）=log2x+x﹣m在区间（1，2）上单调递增，
∴f（1） f（2）＜0，
即（1﹣m）（3﹣m）＜0，
即（m﹣1）（m﹣3）＜0，
解得1＜m＜3，
故答案为：（1，3）．
【点评】本题考查了函数零点的存在定理，属于基础题．
　
10．用半径为1cm的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为　　cm．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【专题】计算题；转化思想；综合法；立体几何．
【分析】半径为1的半圆弧长为π，从而圆锥的底面圆的周长为π，其轴截面为等腰三角形，由此能求出圆锥的高．
【解答】解：半径为1的半圆弧长为l==π，
∴圆锥的底面圆的周长为π，其轴截面为等腰三角形如图：
圆锥的底面半径为：，
∴圆锥的高h==．
故答案为：．
【点评】本题考查圆锥的高的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
　
11．已知0.2x＜25，则实数x的取值范围为　（﹣2，+∞）　．
【考点】指、对数不等式的解法．
【专题】计算题；转化思想；数学模型法；不等式的解法及应用．
【分析】化为同底数，然后利用指数式的单调性转化为一次不等式得答案．
【解答】解：由0.2x＜25，
得，即5﹣x＜52，
解得：x＞﹣2．
∴实数x的取值范围为（﹣2，+∞）．
故答案为：（﹣2，+∞）．
【点评】本题考查指数不等式的解法，考查指数式的单调性，是基础题．
　
12．若方程7x2﹣（m+13）x﹣m﹣2=0的一个根在区间（0，1）上，另一根在区间（1，2）上，则实数m的取值范围为　（﹣4，﹣2）　．
【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．
【专题】数形结合；转化法；函数的性质及应用．
【分析】根据方程和函数之间的关系设f（x）=7x2﹣（m+13）x﹣m﹣2，根据一元二次方程根的分布，建立不等式关系进行求解即可．
【解答】解：设函数f（x）=7x2﹣（m+13）x﹣m﹣2，
∵方程7x2﹣（m+13）x﹣m﹣2=0的一个根在区间（0，1）上，另一根在区间（1，2），
∴，∴，即，
则﹣4＜m＜﹣2，
即实数m的取值范围是（﹣4，﹣2）；
故答案为：（﹣4，﹣2）．
【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布，根据方程和函数之间的关系构造函数是解决本题的关键．
　
13．已知m，n，p表示不重合的三条直线，α，β，γ表示不重合的三个平面．下列说法正确的是　①③　．（写出所有正确命题的序号）．
①若m⊥p，m∥n，则n⊥p；
②若m∥β，n∥β，m α，n α，则α∥β；
③若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=m，则m⊥γ；
④若α∥β，m α，n β，则m∥n．
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．
【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．
【解答】解：①若m⊥p，m∥n，则n⊥p，正确；
②若m∥β，n∥β，m α，n α，m，n相交，则α∥β，不正确；
③因为α，β 垂直于同一个平面γ，故α，β 的交线一定垂直于γ，即m⊥γ，正确；
④若α∥β，m α，n β，则m∥n或m，n异面，不正确．
故答案为：①③．
【点评】本题考查两个平面平行的判定和性质，平面与平面垂直的性质，线线垂直的判断，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
　
14．函数f（x）=对于任意的实数b，函数y=f（x）﹣b至多有一个零点，则实数a的取值范围是　[﹣1，1]　．
【考点】函数零点的判定定理；根的存在性及根的个数判断．
【专题】数形结合；转化法；函数的性质及应用．
【分析】由y=f（x）﹣b=0得f（x）=b，根据函数y=f（x）﹣b至多有一个零点，得到函数f（x）与y=b至多有一个交点，即函数f（x）在定义域上为单调函数，结合一元二次函数的单调性利用数形结合进行判断即可．
【解答】解：由y=f（x）﹣b=0得f（x）=b，
∵y=f（x）﹣b至多有一个零点，
∴等价为f（x）=b至多有一个根，
即函数f（x）与y=b至多有一个交点，
在函数f（x）在定义域上为单调函数，
函数f（x）=x2+2x﹣1的对称轴为x=﹣1，
f（x）=﹣x2+2x﹣1的对称轴为x=1，
则由图象可知﹣1≤a≤1，
故答案为：[﹣1，1]
【点评】本题主要考查函数与方程的应用，根据函数关系转化为两个函数的交点问题，以及利用数形结合是解决本题的关键．
　
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知函数f（x）=+lg（x﹣1）的定义域为集合M，函数g（x）=x2﹣2x+3在[0，3]的值域为集合M，求：
（1）M，N；
（2）M∩N，M∪N．
【考点】交集及其运算．
【专题】定义法；函数的性质及应用；集合．
【分析】（1）求出f（x）的定义域确定出M，求出g（x）的值域确定出N即可；
（2）由M与N，找出两集合的交集，并集即可．
【解答】解：（1）由题意，
解得：1＜x≤3，即M=（1，3]，
由y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，x∈[0，3]，
得到2≤y≤6，即N=[2，6]；
（2）∵M=（1，3]，N=[2，6]，
∴M∩N=[2，3]，M∪N=（1，6]．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
　
16．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D．
（1）求证：AD⊥平面BCC1B1；
（2）如果点E是C1B1的中点，求证：A1E∥平面ADC1．
【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．
【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．
【分析】（1）推导出AD⊥C1D，从而CC1⊥平面ABC，进而AD⊥CC1，由此能证明AD⊥平面BCC1B1．
（2）由AD⊥BC，得D是BC中点，连结ED，得四边形AA1DE是平行四边形，由此能证明A1E∥平面ADC1．
【解答】证明：（1）∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D，
∴CC1⊥平面ABC，又AD 平面ABC，
∴AD⊥CC1，
又C1D∩CC1=C1，∴AD⊥平面BCC1B1．
（2）∵AD⊥平面BCC1B1，∴AD⊥BC，
∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=AC，∴D是BC中点，
连结ED，∵点E是C1B1的中点，
∴AA1DE，∴四边形AA1DE是平行四边形，
∴A1E∥AD，
又A1E 面ADC1，AD 平面ADC1．
∴A1E∥平面ADC1．
【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
　
17．已知△ABC的三个顶点的坐标为A（1，0），B（3，2），C（2，4）．求：
（1）点D的坐标，使四边形ABCD是平行四边形；
（2）点C关于直线AB对称点的坐标；
（3）△ABC的面积．
【考点】点到直线的距离公式；中点坐标公式．
【专题】方程思想；转化思想；直线与圆．
【分析】（1）利用平行四边形的性质、中点坐标公式即可得出．
（2）利用垂直平分线的性质即可得出；
（3）利用两点之间的距离公式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式即可得出．
【解答】解：（1）设AC中点为M，则
由ABCD为平行四边形知M为BD中点，而B（3，2）
故D（0，2）．
（2）直线AB方程为y=x﹣1
过点C且与AB垂直的直线方程为y=﹣x+6，
由，得交点E为，
设点C关于直线AB的对称点为C′，
则E为C，C′的中点，故C′点坐标为（5，1）．
（3），
点C（2，4）到直线AB：x﹣y﹣1=0的距离为，
∴．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、中点坐标公式、垂直平分线的性质、两点之间的距离公式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
　
18．一副三角板如图拼成，AB=AC，∠BAC=90°，∠DBC=30°，∠BCD=90°，将△BCD沿BC折起，使得平面ABC⊥平面BCD．
（1）若AB=，求四面体A﹣BCD的体积；
（2）求证：平面ABD⊥平面ACD．
【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】证明题；数形结合；数形结合法；立体几何．
【分析】（1）由面面垂直的性质可知△ABC的高为棱锥的高，求出△BCD的面积和棱锥的高，代入体积公式计算；
（2）由平面ABC⊥平面BCD可得CD⊥平面ABC，故CD⊥AB，又AB⊥AC，从而可证AB⊥平面ACD，于是平面ABD⊥平面ACD．
【解答】证明：（1）∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，CD⊥BC，CD 平面BCD，
∴CD⊥平面ABC，
∵AB=，AB=AC，∠BAC=90°，∴AC=，BC=2，
∵∠DBC=30°，∠BCD=90°，∴CD=1，
∴V棱锥A﹣BCD=V棱锥D﹣ABC=S△ABC CD==．
（2）由（1）知CD⊥平面ABC，∵AB 平面ABC，
∴CD⊥AB，又∵AB⊥AC，AC 平面ACD，CD 平面ACD，AC∩CD=C，
∴AB⊥平面ACD，∵AB 平面ABD，
∴平面ABD⊥平面ACD．
【点评】本题考查了面面垂直的性质与判定，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．
　
19．如图，在A，B两城周边有两条直线互相垂直的高速公路l1，l2，在点O外交汇，A城到高速公路l1，l2的距离分别是30km，20km，B城到高速公路l1，l2的距离分别是60km，80km，为了方便居民出行，现要在高速公路l1或l2上建造一个高速公路出入口P（不能建造在点O处），经调查，若出入口O建造在高速公路l1上，A，B两城居民的“不满意度”M1=（PA+PB），若出入口P建造在高速公路l2上，A，B两城居民的“不满意度”M2=．
（1）若出入口P建造在高速公路l1上，求A，B两城居民，“不满意度”的最小值；
（2）试确定出入口P建在高速公路何处，才能使A，B两城居民的，“不满意度”最小？
【考点】两点间距离公式的应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．
【分析】（1）以l1，l2所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，由此能求出当A1，P，B三点共线时，即点P（40，0）时，M1取最小值，并能求出这个最小值．
（2）若点P在l2上时，设P（0，a），当a=45时，M2取最小值，从而求出出入口P应该建在高速公路l2上，且到点O距离为45km，能够使得A，B城居民的“平均不满意度”最小．
【解答】解：（1）以l1，l2所在直线为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，
则A（20，30），B（80，60）…
若点P在l1上时，则点A关于则x轴的对称点为A1（20，﹣30），
故
当A1，P，B三点共线时，即点P（40，0）时，M1的最小值为．…
（2）若点P在l2上时，设P（0，a），…
当a=45时，M2的最小值为…
∵
∴出入口P应该建在高速公路l2上，且到点O距离为45km，能够使得A，B城居民的“平均不满意度”最小．
答：出入口P建在高速公路l2上，且到点O距离为45km，A，B城居民的“平均不满意度”最小．…
【点评】本题考查A，B两城居民，“不满意度”的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意直线性质的合理运用．
　
20．已知函数f（x）是二次函数，函数g（x）=x2﹣2，f（x）+g（x）是奇函数，且方程f（x）=3x+2有两个相等的实数根．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求x取何值时，函数f（x）的图象在函数g（x）的图象的上方；
（3）是否存在实数m，n（m＜n），使得函数f（x）的定义域和值域的分别为[m，n]和[2m，2n]、如果存在，求出m，n的值，请说明理由．
【考点】函数恒成立问题；二次函数的性质．
【专题】综合题；数形结合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）根据题意，设f（x）=ax2+bx+c，可得f（x）+g（x）的解析式，又由f（x）+g（x）是奇函数，分析可得a、c的值，结合方程f（x）=3x+2有两个相等的实数根，分析可得b的值，即可得函数f（x）的解析式；
（2）分析可得，函数f（x）的图象在函数g（x）的图象的上方，即f（x）﹣g（x）＞0恒成立，即﹣x2+3x+2＞x2﹣2的解集为R，由二次函数的性质分析可得答案；
（3）由（1）可得f（x）的表达式，分析可得其对称轴为x=，分①、②、③讨论其在[m，n]上的值域，综合可得答案．
【解答】解：（1）函数f（x）是二次函数，设f（x）=ax2+bx+c，
则f（x）+g（x）=（a+1）x2+bx+c﹣2
又f（x）+g（x）是奇函数，
必有a+1=0且c﹣2=0，
故a=﹣1，c=2…
故f（x）=﹣x2+bx+2，则﹣x2+bx+2=3x+2，
即方程﹣x2+（b﹣3）x=0有两个相等的实根，故b=3
所以f（x）=﹣x2+3x+2…
（2）根据题意，函数f（x）的图象在函数g（x）的图象的上方，即f（x）＞g（x）恒成立，
即﹣x2+3x+2＞x2﹣2的解集为R，
由f（x）的图象和g（x）的图象可得，
当时，函数f（x）的图象在函数g（x）的图象的上方…
（3）
当时，得，又因为m＜n，
可得，与矛盾，故舍去…
当时，得，
作差得m=5﹣n，代入（1）式得m2﹣5m+8=0，
上述方程无解，即不存在符合题意的m，n…
当时，则，即若f（n）=2m，即，得，故不符合题意…
若f（m）=2m，得m=﹣1或2，舍去正值，
此时m=﹣1，f（﹣1）=﹣2，而故m=﹣1，符合题意…
【点评】本题考查函数性质的综合运用，涉及函数的定义域、值域以及解析式的求法、函数的奇偶性、函数恒成立问题等多个知识点，解题时注意结合函数的图象性质进行分析．