第24章圆过关练习卷（含详细答案）2024-2025学年人教版数学九年级上册

第24章圆过关练习卷-2024-2025学年数学九年级上册人教版
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 浦东新区期中）下列说法：
①三点确定一个圆；
②相等的圆心角所对的弧相等；
③同圆或等圆中，等弦所对的弧相等；
④三角形的外心到三角形各顶点距离相等其中，正确的个数共有（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024秋 南京期中）如图，已知点A，B，C，D都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，下列说法错误的是（　　）
A． B．∠AOC＝∠BOD C．AC＝2CD D．OC⊥BD
3．（2024秋 南开区期中）如图所示，在⊙O中，，∠A＝36°，则∠B等于（　　）
A．72° B．70° C．68° D．66°
4．（2024秋 中山区期中）如图，水平放置的圆柱形排水管道，直径为26cm，截面如图所示．若水面宽AB＝24cm，则水的最大深度为（　　）
A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm
5．（2024秋 梁溪区校级月考）在平面内，已知⊙O的直径为20cm，点P与圆心O的距离为10cm，则（　　）
A．点P在圆上 B．点P在圆内 C．点P在圆外 D．无法确定
6．（2024秋 梁溪区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若OD＝10，BE＝4，则CD的长为（　　）
A．6 B．16 C．8 D．12
7．（2024 甘肃二模）如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AC＝BC＝2，∠BCD＝30°，则BD的长为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024秋 大丰区期中）如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是（　　）
A．24 B．12 C．16 D．8+8
二．填空题（共8小题）
9．（2024 惠城区模拟）已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积为 　 　cm2
10．（2024 宜兴市二模）已知⊙O的半径为5cm，A为线段OB的中点，当OB＝9cm时，点A与⊙O的位置关系是 　 　．
11．（2024 鼓楼区二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接CE，若∠BAD＝105°，则∠DCE＝　 　°．
12．（2024 鼓楼区校级模拟）如图，⊙O的直径是AB＝12cm，AM、BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM、BN分别相交于D、C两点，设AD＝x，BC＝y，则y与x的函数解析式为 　 　．
13．（2024秋 中山区期中）如图，在⊙O中，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，若AO＝2，∠AOC＝60°，则AB的长为 　 　．
14．（2024秋 梁溪区校级月考）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BCD＝110°，则∠BOD＝　 　°．
15．（2024秋 南昌期中）如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O上一动点，连接AC，BC，若⊙O的半径为5，AB＝8，则三角形ABC面积最大值为 　 　．
16．（2024秋 雨花台区月考）如图，点C是⊙A上一动点，B为一定点，D随着C点移动而移动，EG为BD的垂直平分线，∠CBD＝90°，BD＝2BC，EG＝4BC，若⊙A半径为2，点B到点A的距离为4，则在C点运动过程中，CE的最大值为　 　．
三．解答题（共7小题）
17．（2024秋 中山区期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC，若OE＝3，CD＝8．求OA的长度．
18．（2024秋 南京期中）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AD＝BC，对角线AC是⊙O的直径．求证：四边形ABCD是矩形．
19．（2024秋 瓯海区校级期中）如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，连结AC，BC．
（1）求证：∠A＝∠BCD．
（2）若，∠A＝30°，求⊙O的直径．
20．（2024 潜山市校级一模）如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB且CD＝AB，连接CB，与⊙O交于点F，在CD上取一点E，使EF与⊙O相切．
（1）求证：EF＝EC；
（2）若D是OA的中点，AB＝4，求BF的长．
21．（2024 广水市模拟）如图，AB为⊙O的直径，点C是AB上方⊙O上异于A，B的点，点D是的中点，过点D作DE∥AB交CB的延长线于点E，连接AC，AD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AC＝8，BC＝6，求图中阴影部分的面积．
22．（2024秋 兴隆台区校级月考）如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度AB＝80米，桥拱到水面的最大高度DF为20米．
求：
（1）桥拱的半径；
（2）现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度．
23．（2024秋 东城区校级月考）下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图1，⊙O和⊙O外一点P．
求作：过点P的⊙O的切线．
作法：如图2，
①连结OP，作线段OP的中点M；
②以M为圆心，MP的长为半径作圆，交⊙O于点A，B；
③作直线PA和PB，直线PA，PB即为所求作⊙O的切线．
请在图2中补全图形，并完成下面的证明．
证明：连接OA，如图2，
由作法可知，OP为⊙M的直径，
∴∠OAP＝90°（ 　 　）（填推理的依据），
∴OA⊥PA，
∵点A在⊙O上，
∴直线PA是圆的切线（ 　 　）（填推理的依据），
同理，直线PB也是圆的切线．
第24章圆过关练习卷-2024-2025学年数学九年级上册人教版
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 浦东新区期中）下列说法：
①三点确定一个圆；
②相等的圆心角所对的弧相等；
③同圆或等圆中，等弦所对的弧相等；
④三角形的外心到三角形各顶点距离相等其中，正确的个数共有（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：不共线的三点确定一个圆，所以①错误；
在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所以②错误；
同圆或等圆中，等弦所对的优弧或劣弧对应相等，所以③错误；
三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，所以④正确；
故选：A．
2．（2024秋 南京期中）如图，已知点A，B，C，D都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，下列说法错误的是（　　）
A． B．∠AOC＝∠BOD C．AC＝2CD D．OC⊥BD
【解答】解：∵OB⊥AC，
∴，故A正确，不符合题意；
∵BC＝CD，
∴，
∴，
∴∠AOC＝∠BOD，故B正确，不符合题意；
∴AC＝BD，
∴AC＝BD＜BC+CD＝2CD，故C错误，符合题意；
∵OB＝OD，BC＝CD，
∴OC⊥BD，故D正确，不符合题意；
故选：C．
3．（2024秋 南开区期中）如图所示，在⊙O中，，∠A＝36°，则∠B等于（　　）
A．72° B．70° C．68° D．66°
【解答】解：∵，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠A＝36°，
∴∠B＝×（180°﹣36°）＝72°．
故选：A．
4．（2024秋 中山区期中）如图，水平放置的圆柱形排水管道，直径为26cm，截面如图所示．若水面宽AB＝24cm，则水的最大深度为（　　）
A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm
【解答】解：如图，过点O作AB的垂线交AB于点C，交⊙O于点D．
∵AB＝24cm
∴AC＝AB＝12cm，
∵直径为26cm，
∴AO＝×26＝13（cm），
在Rt△AOC中利用勾股定理，得AC2+OC2＝AO2，
∵OC＝OD﹣CD＝（13﹣CD）cm，
∴122+（13﹣CD）2＝132，
解得CD＝8或18，
∵18＞13，
∴CD＝18应舍去，
∴CD＝8．
故选：C．
5．（2024秋 梁溪区校级月考）在平面内，已知⊙O的直径为20cm，点P与圆心O的距离为10cm，则（　　）
A．点P在圆上 B．点P在圆内 C．点P在圆外 D．无法确定
【解答】解：由题意可知：⊙O的半径为10cm，
∴d＝r，
∴点P与⊙O的位置关系是：P在⊙O上．
故选：A．
6．（2024秋 梁溪区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若OD＝10，BE＝4，则CD的长为（　　）
A．6 B．16 C．8 D．12
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，OD＝10，
∴CD＝2DE，OB＝OD＝10，
∵BE＝4，
∴OE＝OB﹣BE＝6，
在Rt△ODE中，由勾股定理得：DE＝＝8，
∴CD＝2DE＝16．
故选：B．
7．（2024 甘肃二模）如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AC＝BC＝2，∠BCD＝30°，则BD的长为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，
∴AB＝＝＝2，
∵∠BCD＝30°，
∴∠BAD＝∠BCD＝30°，
在Rt△ABD中，AB＝2，
∴BD＝AB＝．
故选：C．
8．（2024秋 大丰区期中）如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是（　　）
A．24 B．12 C．16 D．8+8
【解答】解：由题意可得，
AD＝2+×2＝2+2，
∴四边形ABCD的周长是：4×（2+2）＝8+8，
故选：D．
二．填空题（共8小题）
9．（2024 惠城区模拟）已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积为 　24π　cm2
【解答】解：∵圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，
∴圆锥的侧面积＝π×4×6＝24π（cm2），
故答案为：24π．
10．（2024 宜兴市二模）已知⊙O的半径为5cm，A为线段OB的中点，当OB＝9cm时，点A与⊙O的位置关系是 　点A在⊙O内　．
【解答】解：A为线段OB的中点，当OB＝9cm时，得OA＝OB＝4.5（cm），
∵r＝5cm，
∴d＜r，
∴点A与⊙O的位置关系是点A在圆O内，
故答案为：点A在⊙O内．
11．（2024 鼓楼区二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接CE，若∠BAD＝105°，则∠DCE＝　15　°．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠DCB＝180°，
∵∠BAD＝105°，
∴∠DCB＝180°﹣105°＝75°，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BCE＝90°，
∴∠DCE＝90°﹣75°＝15°，
故答案为：15．
12．（2024 鼓楼区校级模拟）如图，⊙O的直径是AB＝12cm，AM、BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM、BN分别相交于D、C两点，设AD＝x，BC＝y，则y与x的函数解析式为 　y＝（x＞0）　．
【解答】解：如图，过点D作DF⊥BC于点F；
∵AD、BC分别是⊙O的切线，
∴∠OAD＝∠OBF＝90°，
又∵DF⊥BC，
∴四边形ABFD为矩形，
∴DF＝AB＝12cm，BF＝AD；
∵AD、BC、DC分别为⊙O的切线，
∴DE＝DA＝x，CE＝CB＝y，CF＝y﹣x；
∴DC＝x+y；
由勾股定理得：DC2＝DF2+CF2，
即（x+y）2＝（y﹣x）2+122，
整理得：xy＝36，
∴y＝，
∴y关于x的函数解析式y＝（x＞0），
故答案为y＝（x＞0）．
13．（2024秋 中山区期中）如图，在⊙O中，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，若AO＝2，∠AOC＝60°，则AB的长为 　2　．
【解答】解：∵CD是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴AE＝BE＝AB，
∵AO＝2，∠AOC＝60°，
∴AE＝AO sin∠AOC＝2×＝，
∴AB＝2AE＝2．
故答案为：2．
14．（2024秋 梁溪区校级月考）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BCD＝110°，则∠BOD＝　140　°．
【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝110°，
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝70°，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝140°，
故答案为：140．
15．（2024秋 南昌期中）如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O上一动点，连接AC，BC，若⊙O的半径为5，AB＝8，则三角形ABC面积最大值为 　32　．
【解答】解：如图，过点O作AB的垂线，垂足为D，延长DO交⊙O于点C1，连接OA，AC1，BC1，
∵AB＝8，OA＝5，
∴AD＝AB＝×8＝4，
在Rt△AOD中，OD＝＝＝3，
∴C1D＝5+3＝8，
∴点C到AB距离的最大值为8，
∴△ABC面积的最大值为．
故答案为：32．
16．（2024秋 雨花台区月考）如图，点C是⊙A上一动点，B为一定点，D随着C点移动而移动，EG为BD的垂直平分线，∠CBD＝90°，BD＝2BC，EG＝4BC，若⊙A半径为2，点B到点A的距离为4，则在C点运动过程中，CE的最大值为　6　．
【解答】解：过点C作CF⊥GE交GE所在直线于点F，
∵EG为BD的垂直平分线，∠CBD＝90°，
∴∠CBG＝∠BGF＝∠CFG＝90°，
∵BC＝BG，
∴四边形BCFG是正方形，
设BC＝x，则BD＝2x，EG＝4x，EF＝5x，BG＝CF＝x，
在Rt△CFE中，CE2＝CF2+EF2＝26x2，
故当x最大时，CE最大，
∵BC≤AB+AC，
∴BC＝AB+AC＝4+2＝6时BC最大，即x最大，
此时，
故答案为：．
三．解答题（共7小题）
17．（2024秋 中山区期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC，若OE＝3，CD＝8．求OA的长度．
【解答】解：∵直径AB⊥CD，
∴CE＝CD＝×8＝4，
∵∠OEC＝90°，OE＝3，
∴OC＝＝5，
∴OA＝OC＝5．
18．（2024秋 南京期中）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AD＝BC，对角线AC是⊙O的直径．求证：四边形ABCD是矩形．
【解答】证明：∵对角线AC是⊙O的直径，
∴∠B＝∠D＝90°，
∴△ABC和△CDA是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△CDA中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△CDA（HL），
∴AB＝CD，
又∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠B＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．
19．（2024秋 瓯海区校级期中）如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，连结AC，BC．
（1）求证：∠A＝∠BCD．
（2）若，∠A＝30°，求⊙O的直径．
【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，
∴＝，
∴∠CAO＝∠BCD；
（2）解：∵AB⊥CD，CD＝4，
∴CE＝CD＝×4＝2，
在Rt△CEA中，∠A＝30°，
∴AC＝2CE＝4，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AB＝2BC，
∴AB2＝AC2+BC2，即（2BC）2＝AC2+BC2，
解得BC＝4，
∴AB＝8，
∴⊙O的直径为4．
20．（2024 潜山市校级一模）如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB且CD＝AB，连接CB，与⊙O交于点F，在CD上取一点E，使EF与⊙O相切．
（1）求证：EF＝EC；
（2）若D是OA的中点，AB＝4，求BF的长．
【解答】（1）证明：连接OF，则OF＝OB，
∵EF与⊙O相切于点F，
∴EF⊥OF，
∴∠OFE＝90°，
∴∠EFC+∠OFB＝180°﹣∠OFE＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠C+∠B＝90°，
∵∠OFB＝∠B，
∴∠EFC＝∠C，
∴EF＝EC．
（2）解：连接AF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝∠CDB＝90°，
∴∠B＝∠B，
∴△AFB∽△CDB，
∴＝，
∵D是OA的中点，AB＝4，
∴OA＝OB＝AB＝2，OD＝AD＝OA＝1，
∴BD＝OB+OD＝2+1＝3，
∵CD＝AB＝4，
∴CB＝＝＝5，
∴BF＝＝＝，
∴BF的长是．
21．（2024 广水市模拟）如图，AB为⊙O的直径，点C是AB上方⊙O上异于A，B的点，点D是的中点，过点D作DE∥AB交CB的延长线于点E，连接AC，AD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AC＝8，BC＝6，求图中阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵点D是的中点，
∴＝，
∴∠AOD＝∠BOD，
∵∠AOD+∠BOD＝180°，
∴2∠AOD＝180°，
∴∠AOD＝∠BOD＝90°，
∵DE∥AB，
∴∠ODE＝∠AOD＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10，
∴OD＝OA＝OB＝AB＝5，
由（1）得∠AOD＝∠BOD＝90°，
∴S阴影＝S△AOD+S扇形BOD＝×5×5+＝+，
∴图中阴影部分的面积是+．
22．（2024秋 兴隆台区校级月考）如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度AB＝80米，桥拱到水面的最大高度DF为20米．
求：
（1）桥拱的半径；
（2）现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度．
【解答】解：（1）设圆的半径是r米，
则由垂径定理知，EF⊥AB于F，点F是AB的中点，
∴米，EF＝ED﹣FD＝（r﹣20）米，
由勾股定理知，AE2＝AF2+EF2，
则：r2＝402+（r﹣20）2，
解得：r＝50；
即桥拱的半径为50米；
（2）设水面上涨后水面跨度MN为60米，MN交ED于H，连接EM，如图所示，
则米，
∴（米），
∵EF＝50﹣20＝30（米），
∴HF＝EH﹣EF＝10（米）；
答：水面上涨的高度为10米．
23．（2024秋 东城区校级月考）下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图1，⊙O和⊙O外一点P．
求作：过点P的⊙O的切线．
作法：如图2，
①连结OP，作线段OP的中点M；
②以M为圆心，MP的长为半径作圆，交⊙O于点A，B；
③作直线PA和PB，直线PA，PB即为所求作⊙O的切线．
请在图2中补全图形，并完成下面的证明．
证明：连接OA，如图2，
由作法可知，OP为⊙M的直径，
∴∠OAP＝90°（ 　直径所对的圆周角为直角　）（填推理的依据），
∴OA⊥PA，
∵点A在⊙O上，
∴直线PA是圆的切线（ 　经过圆半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线　）（填推理的依据），
同理，直线PB也是圆的切线．
【解答】解：补画图形如下，
证明：连接OA，OB，如图2，
由作法可知，OP为⊙M的直径，
∴∠OAP＝90°（直径所对的圆周角为直角），
∴OA⊥PA，
∵点A在⊙O上，
∴直线PA是圆的切线（经过圆半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线），
同理，直线PB也是圆的切线．
故答案为：直径所对的圆周角为直角，经过圆半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．