专题 勾股定理在实际问题中的运用 巩固练习（无答案） 2024-2025学年苏科版数学八年级上册期中复习

2024-2025学年苏科版数学八年级上册
期中复习专题4(勾股定理在实际问题中的运用）
（巩固练习）
【典型例题】
【例1】如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（　　）
A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米
【例2】 如图，某公园处有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”AB．已知，，他们踩伤草坪，仅仅少走了_________．
【例3】《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几 ”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直（如图所示），试问绳索有多长 ”．根据题意求出绳索的长为______尺．
【例4】《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地；翻译成现代文为：如图，秋千静止时候，踏板离地高一尺（尺）将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索的长度．
【例5】如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，且，．
(1) 求修建的公路的长；
(2) 若公路建成后，一辆货车由C处途经D处到达B处的总路程是多少？
【举一反三】
【变式1】古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，AB+AC＝9尺，BC＝3尺，则AC等于（　　）尺．
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
【变式2】《九章算术》中有一题：今有开门去阃十寸，不合二寸，问门广几何？大意是：如图，从点（ 是的中点）处推开双门，点与点距离门槛的距离，都为10寸，双门间隙，的距离为2寸（即为2寸），根据题意可列出的等式关系是（ ）．
A． B．
C． D．
【变式3】如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高的端点A到达，若圆柱底面半径为，高为5，则蚂蚁爬行的最短距离为 ．
【变式4】在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知．若平均每平方米空地的绿化费用为100元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
【变式5】现有一个长、宽、高分别为5dm、4dm、3dm的无盖长方体木箱(如图,AB=5dm,BC=4dm,AE=3dm)．
(1) 求线段BG的长；
(2) 现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．(木板的厚度忽略不计)
【巩固练习】
1.如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝2m．若梯子的顶端沿墙下滑0.5米，这时梯子的底端也恰好外移0.5米，则梯子的长度AB为（　　）
A．2.5m B．3m C．1.5m D．3.5m
2.如图，一棵大树在一次强台风中于离地面处折断倒下，树干顶部落在距根部处，这棵大树在折断前的高度为（ ）
A．5米 B．7米 C．8米 D．12米
3.如图，一个底面周长为24，高为5的圆柱体，一只蚂蚁沿侧表面从点到点所经过的最短路线长为（ ）
A． B． C． D．
4.九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间 出现的十部古算书）中最重要的一种，共收有个数学问题，分为九章．在第九章“勾股”中有一题目：今有垣高一丈． 依木于垣，上与垣齐． 引木却行四尺，其木至地，问木长几何？意思是：一道墙高一丈（丈尺），一根木棒靠于墙上，木棒上端与墙头齐平，若木棒下端向后退，则木棒上端会随着往下滑，当木棒下端向后退了四尺时，木棒上端恰好落到地上，则木棒长____________尺．

5.如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，则它爬行的最短距离为 _____．
6.如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器，离地2.5米，当物体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时，感应门才自动打开，则感应器的最大感应距离是 　 　米．
7.如图，车库的平面图中宽为米，一辆宽为米（即）的汽车正直停入车库（），车门，均长为米，当左侧车门接触到墙壁时，车门与车身的夹角为，若右侧车门从点旋转至点也接触到墙壁，则点相对点上移距离为______米．
8.如图所示，是一块地的平面图，其中米，米，米，米，，求这块地的面积.
9.看着冉冉升起的五星红旗，你们是否想过旗杆到底有多高呢？某数学兴趣小组为了测量旗杆高度，进行以下操作：如图1，先将升旗的绳子拉到旗杆底端，发现绳子末端刚好接触到地面；如图2，再将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现绳子末端距离地面2m．请根据以上测量情况，计算旗杆的高度．
10.如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝．
(1)现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是______．
(2)如图①，求该长度最短的金属丝的长．
(3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？
11.小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2 m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.8 m和2.4 m，∠BOC＝90°．
（1）△CEO与△ODB全等吗？请说明理由．
（2）爸爸在距离地面多高的地方接住小丽的？
（3）秋千的起始位置A处与距地面的高是 m．
12.著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为），也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
（3）在第（2）问中若时，，，，，设，求x的值．