22.2 二次函数与一元二次方程 教案

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22.2二次函数与一元二次方程+教学设计+2024~2025学年度上学期人教版初中数学九年级上册 第22章二次函数
【学情分析】
本课时主要内容是用函数的观念看一元二次方程，探讨二次函数与一元二次方程的关系，教材从一次函数与一元一次方程的关系入手，通过类比引出二次函数与一元二次方程之间的关系问题，并结合一个具体的实例讨论一元二次方程的实根与二次函数图象之间的联系，这一节是反映函数与方程这两个重要数学概念之间的联系的内容.
【教学目标】
1．总结出二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根．
2．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
3．会用计算方法估计一元二次方程的根．
【重点难点】
重点
方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
难点
二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．
【新课导入】
如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2，考虑以下问题：
【新课讲解】
探索二次函数与一元二次方程：
二次函数y＝x2＋2x，y＝x2－2x＋1，y＝x2－2x＋2的图象如图所示．
(1)每个图象与x轴有几个交点？
(2)一元二次方程x2＋2x＝0，x2－2x＋1＝0有几个根？验证一下一元二次方程x2－2x＋2＝0有根吗？
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有什么关系？
归纳：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点有三种情况：
①有两个交点，
②有一个交点，
③没有交点．
当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴有交点时，交点的横坐标就是当y＝0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．
当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点，交点的横坐标是一元二次方程0＝ax2＋bx＋c的两个根x1与x2；当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点；当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
举例：求二次函数图象y＝x2－3x＋2与x轴的交点A，B的坐标．
结论：方程x2－3x＋2＝0的解就是抛物线y＝x2－3x＋2与x轴的两个交点的横坐标．因此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的．
即：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1，x2，则抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点坐标分别是A(x1，0)，B(x2，0)．
例1 已知函数y＝－x2－7x＋，
(1)写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与y轴的交点关于图象对称轴的对称点，然后画出函数图象的草图；
(2)自变量x在什么范围内时，y随着x的增大而增大？何时y随着x的增大而减少；并求出函数的最大值或最小值．
【课堂小结】
学生总结本堂课的收获与困惑．
【布置作业】
1、根据图象填空：（1）a_____0；（2）b_____0；（3）c______0；
（4）△＝b2－4ac_____0；（5）a＋b＋c_____0；（6）a－b＋c_____0；
（7）2a＋b_____0；（8）方程ax2＋bx＋c＝0的根为_______；
（9）当y＞0时，x的范围为________；
（10）当y＜0时，x的范围为___________；
2．已知抛物线y＝x2－2kx＋9的顶点在x轴上，则k＝____________．
3．已知抛物线y＝kx2＋2x－1与坐标轴有三个交点，则k的取值范围___________．
4．已知函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象如图，则关于x的方程
ax2＋bx＋c－4＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的正实数根 B．有两个异号实数根
C．有两个相等实数根 D．无实数根
【板书设计】
22.2 用函数观点看一元二次方程
问题： 总结 例题：
【教学反思】
本课时对于一元二次方程与二次函数的关系作了重点论述，教学过程中向学生讲述数形结合思想的重要性，把解一元二次方程用图形的形式表示出来.教师应让学生体验过程，反过来，确定二次函数与x轴的位置关系，也可由一元二次方程的根的情况得到.
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