湖南省张家界市2015-2016学年上学期高二理科数学期末联考试题与答案

张家界市2015年普通高中二年级第一学期期末联考
数学试题卷(理科)
考生注意：本试卷分第Ⅰ卷（60分）和第Ⅱ ( http: / / www.21cnjy.com )卷（90分）两部分，考试内容为必修3与选修2-1、选修2-2全部内容，共4页．考试时量120分钟，满分150分．考生必须在答题卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效．
第Ⅰ卷
选择题：本大题共12小题，每小题５分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将所选答案填涂在答题卷中对应位置．
1．抛物线的焦点坐标为
A． B． C． D．
2．某学院三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本，已知该学院专业有380名学生，专业有420名学生，则在该学院的专业应抽取的学生人数为
A．30 B．40 C．50 D．60
3．复数的共轭复数是
A． B． C． D．
4．下列命题中，是真命题的是
A．
B．
C．
D．
5．如果执行右面的程序框图，那么输出的
A．22 B．46
C．94 D．10
6. 若,则常数的值是
A．1 B．3
C．4 D．6
7．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
A． B． C． D．
8．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样 ( http: / / www.21cnjy.com )检测，下图为检测结果的频率分布直方图. 根据标准， 产品长度在区间[20，25)上为一等品， 在区间[15，20)和[25，30)上为二等品， 在区间[10，15)和[30，35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是
A．0.09 B．0.20
C．0.25 D．0.45
9．如图，在正方体中，为的中点，
则异面直线与所成的角为
A． B．
C． D．
10．若曲线在点处的切线方程为，则实数的值为
A． B． C． D．
11．已知是双曲线上不同的三点，且两点的连线经过坐标原点，若直线的斜率乘积，则该双曲线的离心率为
A． B． C． D．
12．在等比数列中，，函数，
为的导函数，则等于
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共 ( http: / / www.21cnjy.com )20分．把答案填在答题卷中对应题号后的横线上．
13．在区间上随机取一个数，则的概率为 .
函数的单调递减区间为 .
15．与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程是 .
16．对于，将表示，当时，当时，为或. 记为上述表示中为0的个数，例如：，故.
则（1） ； （2） ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
命题：是双曲线的方程；命题：函数在上为增函数.若，求实数的取值范围．
18．（本小题满分12分）
为调查甲、乙两校高三年级学 ( http: / / www.21cnjy.com )生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如下图：
（1）若甲校高三年级每位学生被抽取的概 ( http: / / www.21cnjy.com )率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；
（2）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为，，估计的值.
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，垂直于和，侧棱，且．
（1）求四棱锥的体积；
（2）求面与面所成二面角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，且满足．
（1）计算的值；
（2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想.
　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
21．（本小题满分12分）
已知函数，为常数．
（1）若当时，取得极值，求的值，并求出的单调区间；
（2）若存在极值，求的取值范围，并证明的所有极值之和大于.
22．（本小题满分12分）
如图所示，在平面直角坐标系中，设椭圆，其中，过椭圆内点的两条直线分别与椭圆交于点和，且满足，，其中为正常数． 当点恰为椭圆的右顶点时，对应的.
（1）求椭圆的离心率；
（2）求与的值；
（3）当变化时，直线AB的斜率是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由.
张家界市2015年普通高中二年级第一学期期末联考
数学参考答案(理科)
一、选择题：本大题共12小题，每小题５分，共60分．
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答 案 A B B D C B A D D A D C
填空题：本大题共4小题，每小题５分，共20分．
13． 14． 或 15．　 　16．(1)2；(2)
（注：16题第一问2分，第二问3分）
解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．解：；
又命题、一真一假，
；
18．解：（1）设甲校高三年级学生总人数为n
由题意知＝0.05，解得n＝600
样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5
据此估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率为1－＝
（2）设甲、乙两校样本平均数分别为，
根据样本茎叶图可知
30(－)＝30－30
＝(7－5)＋(55＋8－14)＋(24－12－65)＋(26－24－79)＋(22－20)＋92
＝15
因此－＝0.5
故的估计值为0.5分
19．解：（1）
（2）
平面的法向量
又
,
20．解：（1）
得
（2）
证明：①当
②假设当
由已知：
．
综合①②可知，猜想正确．
解：（1）函数的定义域为，
由题意得，
，
（2）
易知分别是函数的极大值和极小值
且
　 　
22．解：（1）因为，所以，
得，即
所以离心率
（2）因为，，由，得
代入到椭圆方程中，得，
解得
所以
（3）设，
由，得，
又椭圆方程为，由，
得 ①
且 ②
由②得，
即
结合①，得
同理，有
所以，从而
即为定值
（说明：考生有不同解法的参照本评分标准给分）
否
是
（5题）