上海市格致中学2016学年高三（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

2015-2016学年上海市格致中学高三（上）期中数学试卷（文科）
　
一、填空题：（本大题共14小题，每小题4分，满分56分）
1．集合A={x|ax﹣3=0，a∈Z}，若A N*，则a形成的集合为　　　　　　．
　
2．过点P（1，2）与直线2x+y=0垂直的直线方程为　　　　　　．
　
3．已知函数的最小正周期为π，则方程f（x）=1在（0，π]上的解集为　　　　　　．
　
4．关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范围为　　　　　　．
　
5．等比数列{an}的首项a1=1，前n项的和为Sn，若S6=9S3，则a6=　　　　　　．
　
6．据统计，黄种人人群中各种血型的人所占的比例见表：
血型 A B AB O
该血型的人所占的比例 28 29 8 35
已知同种血型的人可以互相输血，O型血的人可以给任一种血型的人输血，AB型血的人可以接受任何一种血型的血，其他不同血型的人不能互相输血，某人是B型血，若他因病痛要输血，问在黄种人群中人找一个人，其血可以输给此人的概率为　　　　　　．
　
7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为　　　　　　．
　
8．某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则其左视图面积为　　　　　　．
　
9．双曲线的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，且焦点到其渐近线的距离为1，则此双曲线的实轴长　　　　　　．
　
10．若的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则n=　　　　　　，展开式中的常数项为　　　　　　．（用数字作答）
　
11．函数f﹣1（x）是函数f（x）=2x﹣3+x，x∈[3，5]的反函数，则函数y=f（x）+f﹣1（x）的定义域为　　　　　　．
　
12．已知非空集合A、B满足以下四个条件：
①A∪B={1，2，3，4，5，6，7}；②A∩B= ；③A中的元素个数不是A中的元素；④B中的元素个数不是B中的元素．
若集合A含有2个元素，则满足条件的A有　　　　　　个．
　
13．对于实数x，记[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]=3，[﹣0.25]=﹣1．若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，[t3]=3…[tt]=n同时成立，则正整数n的最大值为　　　　　　．
　
14．已知△A1B1C1的三内角余弦值分别等于△A2B2C2三内角的正弦值，那么两个三角形六个内角中的最大值为　　　　　　．
　
　
二、选择题
15 .设z1、z2∈C，则“z1 z是实数”是“z1、z2互为共轭”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
　
16．数0，1，2，3，4，5，…按以下规律排列： …，则从2013到2016四数之间的位置图形为（　　）
A． B． C． D．
　
17．设函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称，且f（﹣2）+f（﹣4）=1，则a=（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．4
　
18．记椭圆围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，…），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，则Mn=（　　）
A．0 B． C．2 D．2
　
　
三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是等腰直角三角形，AB=AC=2，四棱锥C﹣ABB1A1的体积等于4．
（1）求AA1的值；
（2）求C1到平面A1B1C的距离．
　
20．已知，且．
（1）求cos2θ与的值；
（2）若，求 的值．
　
21．已知圆，点P在圆外，过点P作圆C的两条切线，切点分别为T1，T2．
（1）若，求点P的轨迹方程；
（2）设，点P在平面上构成的图形为M，求M的面积．
　
22．对于数列{an}，若an+2﹣an=d（d是与n无关的常数，n∈N*），则称数列{an}叫做“弱等差数列”，已知数列{an}满足：a1=t，a2=s且an+an+1=an+b对于n∈N*恒成立，（其中t，s，a，b都是常数）．
（1）求证：数列{an}是“弱等差数列”，并求出数列{an}的通项公式；
（2）当t=1，s=3时，若数列{an}是等差数列，求出a、b的值，并求出{an}的前n项和Sn；
（3）若s＞t，且数列{an}是单调递增数列，求a的取值范围．
　
23．若实数x、y、m满足|x﹣m|＜|y﹣m|，则称x比y接近m．
（1）若2x比1接近3，求x的取值范围；
（2）已知函数f（x）定义域D=（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，3）∪（3，+∞），对于任意的x∈D，f（x）等于x2﹣2x与x中接近0的那个值，写出函数f（x）的解析式，若关于x的方程f（x）﹣a=0有两个不同的实数根，求出a的取值范围；
（3）已知a，b∈R，m＞0且a≠b，求证：比接近0．
　
　
2015-2016学年上海市格致中学高三（上）期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
　
一、填空题：（本大题共14小题，每小题4分，满分56分）
1．集合A={x|ax﹣3=0，a∈Z}，若A N*，则a形成的集合为　{0，1，3}　．
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；集合．
【分析】化简A，利用A N*，可得a形成的集合．
【解答】解：a=0，A= ，满足题意；
a≠0，A={x|ax﹣3=0，a∈Z}={}，
x=1时，a=3；x=3时，a=1，
故答案为：{0，1，3}．
【点评】本题考查集合的关系，考查学生的计算能力，比较基础．
　
2．过点P（1，2）与直线2x+y=0垂直的直线方程为　x﹣2y+3=0　．
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．
【分析】与直线2x+y=0垂直的直线方程的斜率k=，由此能求出过点P（1，2）与直线2x+y=0垂直的直线方程．
【解答】解：∵与直线2x+y=0垂直的直线方程的斜率k=，
∴过点P（1，2）与直线2x+y=0垂直的直线方程为：
y﹣2=（x﹣1），
整理，得x﹣2y+3=0．
故答案为：x﹣2y+3=0．
【点评】本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线与直线垂直的性质的合理运用．
　
3．已知函数的最小正周期为π，则方程f（x）=1在（0，π]上的解集为　{， }　．
【考点】三角函数的周期性及其求法．
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的求值．
【分析】由已知及周期公式可求ω，可解得：sin（2x+）=，由x∈（0，π]，可得2x+∈（，]，从而解得f（x）=1在（0，π]上的解集．
【解答】解：∵由题意可得： =π，解得：ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+）=1，可解得：sin（2x+）=，
∵x∈（0，π]，
∴2x+∈（，]，
∴2x+=或，即：x={， }．
故答案为：{， }．
【点评】本题主要考查了正弦函数的性质的简单应用，三角函数周期性及其求法，属于基础题．
　
4．关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范围为　（﹣1，+∞）　．
【考点】二阶行列式的定义．
【专题】计算题；转化思想；定义法；矩阵和变换．
【分析】由二阶行列式展开法则得x2﹣2x﹣a＞0的解集为a，由此能求出实数a的取值范围．
【解答】解：∵的解集为R，
∴x2﹣2x﹣a＞0的解集为a，
∴△=4+4a＜0，
解得a＜﹣1，
∴实数a的取值范围为（﹣1，+∞）．
故答案为：（﹣1，+∞）．
【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二阶行列式展开法则的合理运用．
　
5．等比数列{an}的首项a1=1，前n项的和为Sn，若S6=9S3，则a6=　32　．
【考点】等比数列的性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】由已知条件利用等比数列的前n项和公式求出公比q，由此能求出a6的值．
【解答】解：∵{an}是首项为1的等比数列，Sn为{an}的前n项和，S6=9S3，
∴=9×，
解得q=2，
∴a6=25=32．
故答案为：32．
【点评】本题考查等比数列的第6项的求法，是基础题，确定q是关键．
　
6．据统计，黄种人人群中各种血型的人所占的比例见表：
血型 A B AB O
该血型的人所占的比例 28 29 8 35
已知同种血型的人可以互相输血，O型血的人可以给任一种血型的人输血，AB型血的人可以接受任何一种血型的血，其他不同血型的人不能互相输血，某人是B型血，若他因病痛要输血，问在黄种人群中人找一个人，其血可以输给此人的概率为　0.64　．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．
【分析】由已知得B、O型血可以输给B型血的人，根据互斥事件的概率加法公式，能求出在黄种人群中人找一个人，其血可以输给此人的概率．
【解答】解：对任一人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A′，B′，C′，D′，
它们是互斥的，由已知得：P（A′）=0.28，P（B′）=0.29，P（C′）=0.08，P（D′）=0.35，
∵B、O型血可以输给B型血的人，
∴“可以输血给小明”为事件B′∪D′，
根据互斥事件的概率加法公式，有P（B′∪D′）=P（B′）+P（D′）=0.29+0.35=0.64，
∴任找一个人，其血可以输给小明的概率为0.64．
故答案为：0.64．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件的概率加法公式的合理运用．
　
7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为　3　．
【考点】简单线性规划．
【专题】计算题．
【分析】先根据条件画出可行域，设z=2x+y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=2x+y，过可行域内的点B（1，1）时的最小值，从而得到z最小值即可．
【解答】解：设变量x、y满足约束条件，
在坐标系中画出可行域△ABC，A（2，0），B（1，1），C（3，3），
则目标函数z=2x+y的最小值为3．
故答案为：3．
【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．
　
8．某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则其左视图面积为　3　．
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】转化思想；数形结合法；空间位置关系与距离．
【分析】根据题意，画出该三棱锥的直观图，利用图中数据，求出它的侧视图面积．
【解答】解：根据题意，得：
该三棱锥的直观图如图所示，
∴该三棱锥的左视图是底面边长为2，对应边上的高为3的三角形，
它的面积为×2×3=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是由三视图得出三棱锥的直观图，是基础题目．
　
9．双曲线的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，且焦点到其渐近线的距离为1，则此双曲线的实轴长　2　．
【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由题意画出图形，再由抛物线方程求出焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，由焦点到双曲线一条渐近线的距离为1列式，再结合隐含条件求解．
【解答】解：如图，
由抛物线方程y2=8x，得抛物线的焦点坐标F（2，0），
即双曲线的右焦点坐标为F（2，0），
双曲线的渐近线方程为．
不妨取y=，化为一般式：bx﹣ay=0．
则，即4b2=a2+b2，
又a2=4﹣b2，联立解得：a2=3，∴a=．
则双曲线的实轴长为．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线及抛物线的几何性质，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．
　
10．若的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则n=　6　，展开式中的常数项为　15　．（用数字作答）
【考点】二项式系数的性质．
【专题】二项式定理．
【分析】首先由二项式系数的性质列式求得n值，再写出二项展开式的通项并整理，由x得指数为0求得r值，则答案可求．
【解答】解：由题意知：2n=64，即n=6；
则，
由．
令3﹣，得r=2．
∴展开式中的常数项为．
故答案为：6；15．
【点评】本题考查了二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．
　
11．函数f﹣1（x）是函数f（x）=2x﹣3+x，x∈[3，5]的反函数，则函数y=f（x）+f﹣1（x）的定义域为　[4，5]　．
【考点】反函数．
【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．
【分析】先确定函数f（x）的单调性，由此确定其值域，该值域就是其反函数的定义域，最后再求y=f（x）+f﹣1（x）的定义域．
【解答】解：因为f（x）=2x﹣3+x是定义域上的增函数，
所以，当x∈[3，5]时，f（x）∈[f（3），f（5）]，
即f（x）∈[4，9]，
由于反函数f﹣1（x）的定义域是原函数f（x）的值域，
所以，f﹣1（x）的定义域为[4，9]，
因此，函数y=f（x）+f﹣1（x）的定义域为：[3，5]∩[4，9]，
即[4，5]，
故答案为：[4，5]．
【点评】本题主要考查了原函数与反函数定义域与值域之间的关系，涉及函数单调性的应用，属于中档题．
　
12．已知非空集合A、B满足以下四个条件：
①A∪B={1，2，3，4，5，6，7}；②A∩B= ；③A中的元素个数不是A中的元素；④B中的元素个数不是B中的元素．
若集合A含有2个元素，则满足条件的A有　5　个．
【考点】交集及其运算；并集及其运算．
【专题】计算题；集合思想；分析法；集合．
【分析】由题意可得集合A含有2个元素，则集合B中含有5个元素，然后结合A∪B={1，2，3，4，5，6，7}；A∩B= ，求得满足条件的集合A．
【解答】解：∵集合A含有2个元素，则集合B中含有5个元素，
∴2不在A中，5不在B中，
则A={1，5}，B={2，3，4，6，7}；
A={3，5}，B={1，2，4，6，7}；
A={4，5}，B={1，2，3，6，7}；
A={5，6}，B={1，2，3，4，7}；
A={5，7}，B={1，2，3，4，6}．
∴满足条件的A有5个．
故答案为：5．
【点评】本题考查交集、并集及其运算，考查了学生理解问题的能力，是基础题．
　
13．对于实数x，记[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]=3，[﹣0.25]=﹣1．若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，[t3]=3…[tt]=n同时成立，则正整数n的最大值为　4　．
【考点】函数与方程的综合运用．
【专题】新定义；函数思想；分析法；函数的性质及应用．
【分析】由新定义可得t的范围，验证可得最大的正整数n为4．
【解答】解：若[t]=1，则t∈[1，2），
若[t2]=2，则t∈[，）（因为题目需要同时成立，则负区间舍去），
若[t3]=3，则t∈[，），
若[t4]=4，则t∈[，），
若[t5]=5，则t∈[，），
其中≈1.732，≈1.587，≈1.495，≈1.431＜1.495，
通过上述可以发现，当t=4时，可以找到实数t使其在区间[1，2）∩[，）
∩[，）∩[，）上，
但当t=5时，无法找到实数t使其在区间[1，2）∩[，）∩[，）∩[，）
∩[，）上，
∴正整数n的最大值4．
故答案为：4．
【点评】本题考查简单的演绎推理，涉及新定义的理解和运用，属于中档题．
　
14．已知△A1B1C1的三内角余弦值分别等于△A2B2C2三内角的正弦值，那么两个三角形六个内角中的最大值为　钝角　．
【考点】三角形中的几何计算．
【专题】计算题；解题思想；综合法；解三角形．
【分析】由题意可知cosA1=sinA2，cosB1=sinB2＞0，cosC1=sinC2，从而A1，B1，C1均为锐角，从而得到△A2B2C2不可能是直角三角形．假设△A2B2C2是锐角三角形，推导出π=，不成立，从而△A2B2C2是钝角三角形，由此能求出两个三角形六个内角中的最大值为钝角．
【解答】解：∵△A1B1C1的三内角余弦值分别等于△A2B2C2三内角的正弦值，
∴由题意可知cosA1=sinA2，cosB1=sinB2＞0，cosC1=sinC2，
∴A1，B1，C1均为锐角，
∴△A1B1C1为锐角三角形，
∵A1，B1，C1∈（0，），
∴cosA1，cosB1，cosC1∈（0，1）
∴sinA2，sinB2，sinC2∈（0，1）
∴A2，B2，C2≠，
∴△A2B2C2不可能是直角三角形．
假设△A2B2C2是锐角三角形，
则cosA1=sinA2=cos（A2），cosB1=sinB2=cos（﹣B2），cosC1=sinC2=cos（﹣C2），
∵A2，B2，C2均为锐角，∴﹣A2，﹣B2，﹣C2也为锐角，
又∵A1，B1，C1均为锐角，∴A1=﹣A2，B1=﹣B2，C1=﹣C2
三式相加得π=，不成立
∴假设不成立，△A2B2C2不是锐角三角形
综上，△A2B2C2是钝角三角形．
∴两个三角形六个内角中的最大值为钝角．
故答案为：钝角．
【点评】本题考查两个三角形六个内角中的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用．
　
二、选择题
15 .设z1、z2∈C，则“z1 z是实数”是“z1、z2互为共轭”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】转化思想；综合法；简易逻辑．
【分析】根据共轭复数的定义以及充分必要条件的定义判断即可．
【解答】解：设z1=a+bi，z2=c+di，
∴z1 z2=（a+bi）（c+di）=ac﹣bd+（ad+bc）i，
若z1 z是实数，则ad+bc=0，
若z1、z2互为共轭，则b=﹣d，
由ad+bc=0推不出b=﹣d，
由b=﹣d推不出ad+bc=0，
故“z1 z是实数”是“z1、z2互为共轭”的既不充分也不必要条件，
故选：D．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查复数问题，是一道基础题．
　
16．数0，1，2，3，4，5，…按以下规律排列： …，则从2013到2016四数之间的位置图形为（　　）
A． B． C． D．
【考点】归纳推理．
【专题】运动思想；演绎法；推理和证明．
【分析】由排列可知，4个数字一循环，2014÷4=503×4+2，故2013的位置与1的位置相同，继而求出答案．
【解答】解：由排列可知，4个数字一循环，2014÷4=503×4+2，故2013的位置与1的位置相同，则2014的位置与2相同，2015的位置和3相同，2016的位置和4相同，
故选：B．
【点评】本题考查了归纳推理的问题，关键找到规律，属于基础题．
　
17．设函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称，且f（﹣2）+f（﹣4）=1，则a=（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．4
【考点】函数的图象与图象变化．
【专题】开放型；函数的性质及应用．
【分析】先求出与y=2x+a的反函数的解析式，再由题意f（x）的图象与y=2x+a的反函数的图象关于原点对称，继而求出函数f（x）的解析式，问题得以解决．
【解答】解：∵与y=2x+a的图象关于y=x对称的图象是y=2x+a的反函数，
y=log2x﹣a（x＞0），
即g（x）=log2x﹣a，（x＞0）．
∵函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称，
∴f（x）=﹣g（﹣x）=﹣log2（﹣x）+a，x＜0，
∵f（﹣2）+f（﹣4）=1，
∴﹣log22+a﹣log24+a=1，
解得，a=2，
故选：C．
【点评】本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法，属于基础题
　
18．记椭圆围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，…），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，则Mn=（　　）
A．0 B． C．2 D．2
【考点】数列的极限；椭圆的简单性质．
【专题】压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】先由椭圆得到这个椭圆的参数方程为：（θ为参数），再由三角函数知识求x+y的最大值，从而求出极限的值．
【解答】解：把椭圆得，
椭圆的参数方程为：（θ为参数），
∴x+y=2cosθ+sinθ，
∴（x+y）max==．
∴Mn==2．
故选D．
【点评】本题考查数列的极限，椭圆的参数方程和最大值的求法，解题时要认真审题，注意三角函数知识的灵活运用．
　
三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是等腰直角三角形，AB=AC=2，四棱锥C﹣ABB1A1的体积等于4．
（1）求AA1的值；
（2）求C1到平面A1B1C的距离．
【考点】点、线、面间的距离计算．
【专题】计算题；转化思想；数形结合法；空间位置关系与距离．
【分析】（1）由四棱锥的体积=AB×AA1×AC，代入已知即可解得AA1的值．
（2）设C1到平面A1B1C的距离为h，先证明B1A1⊥CA1，由已知及勾股定理可求A1C=，由=，利用三棱锥体积公式可得： ×2××h=2×2×3，即可解得C1到平面A1B1C的距离为．
【解答】解：（1）∵=AB×AA1×AC=AA1=4，
∴AA1=3．
（2）∵B1A1⊥C1A1，B1A1⊥A1A，A1A∩B1A1=A1，
∴B1A1⊥平面A1C1C，A1C 平面A1C1C，
∴B1A1⊥CA1，
∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是等腰直角三角形，AB=AC=2，设C1到平面A1B1C的距离为h，
∴A1C==，
∵=，
=h=×2××h，
=×A1B1×C1A1×CC1=2×2×3，
∴×2××h=2×2×3，解得：h=．
故C1到平面A1B1C的距离．
【点评】本题主要考查了直线与直线垂直的判定，考查了三棱锥，四棱锥体积的求法，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．
　
20．已知，且．
（1）求cos2θ与的值；
（2）若，求 的值．
【考点】两角和与差的正切函数；三角函数中的恒等变换应用．
【专题】方程思想；转化思想；三角函数的求值．
【分析】（1）利用倍角公式与“弦化切”可得cos2θ=， =；
（2）由，且．可得sinθ=，cosθ=．根据，展开：5cosθcosΦ+5sinθsinΦ=3cosΦ，代入化简即可得出．
【解答】解：（1）cos2θ=cos2θ﹣sin2θ====．
===3；
（2）由，且．
∴sinθ=，cosθ=．
∴，
展开：5cosθcosΦ+5sinθsinΦ=3cosΦ，
化为： cosΦ+5××sinΦ=3cosΦ，
∴2cosΦ+sinΦ=3cosΦ，
∴tanΦ=1，
∴Φ=．
【点评】本题考查了倍角公式、同角三角函数基本关系式、“弦化切”、差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
　
21．已知圆，点P在圆外，过点P作圆C的两条切线，切点分别为T1，T2．
（1）若，求点P的轨迹方程；
（2）设，点P在平面上构成的图形为M，求M的面积．
【考点】轨迹方程．
【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（1）由题意，四边形OT1T2P是正方形，|OP|=2，可得点P的轨迹方程；
（2）由题意，点P在平面上构成的图形是以OP为直径的圆，利用，求出OP2，即可求M的面积．
【解答】解：（1）由题意，四边形OT1T2P是正方形，∴|OP|=2，
∴点P的轨迹方程是x2+y2=4；
（2）由题意，点P在平面上构成的图形是以OP为直径的圆，设∠T1OP=α，t=OP2，
∵，
∴（﹣） （﹣）=λ，
∴2cos2α﹣2OPcosα+OP2=λ，
∴+t﹣6=λ，
∴t2﹣（6+λ）t+8=0，
∴t=（另一根舍去），
∴M的面积S==．
【点评】本题考查轨迹方程，考查面积的计算，确定轨迹方程是关键．
　
22．对于数列{an}，若an+2﹣an=d（d是与n无关的常数，n∈N*），则称数列{an}叫做“弱等差数列”，已知数列{an}满足：a1=t，a2=s且an+an+1=an+b对于n∈N*恒成立，（其中t，s，a，b都是常数）．
（1）求证：数列{an}是“弱等差数列”，并求出数列{an}的通项公式；
（2）当t=1，s=3时，若数列{an}是等差数列，求出a、b的值，并求出{an}的前n项和Sn；
（3）若s＞t，且数列{an}是单调递增数列，求a的取值范围．
【考点】数列的求和．
【专题】证明题；新定义；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法．
【分析】（1）由已知得an+2=a（n+1）+b﹣an+1=（an+a+b）﹣（an+b）+an=a+an，由此能证明数列{an}是“弱等差数列”．由a1=t，a2=s，an+2﹣an=a，得到{an}中奇数项是以t为首项，以a为公差的等差数列，偶数列是以s为首项，以a为公差的等差数列，由此能求出数列{an}的通项公式．
（2）由递推公式求出a1=1，a2=3，a3=2a+b﹣3，a4=a+3，由此利用等差数列性质能求出a=4，b=0，从而得到数列{an}是首项为2，公差为2的等差数列，由此能求了Sn．
（3）由已知得a2k+1﹣a2k=（t+ka）﹣[s+（k﹣1）a]=t﹣s+a＞0，由经能求出a的取值范围．
【解答】证明：（1）∵数列{an}满足：a1=t，a2=s且an+an+1=an+b对于n∈N*恒成立，
∴an+1=an+b﹣an，
an+2=a（n+1）+b﹣an+1=（an+a+b）﹣（an+b）+an=a+an，
∴an+2﹣an=a，
∴数列{an}是“弱等差数列”．
∵a1=t，a2=s，an+2﹣an=a，
∴{an}中奇数项是以t为首项，以a为公差的等差数列，偶数列是以s为首项，以a为公差的等差数列，
∴an=．
解：（2）∵当t=1，s=3时，数列{an}是等差数列，
∴a1=1，a2=3，3+a3=2a+b，
∴a3=2a+b﹣3，2a+b﹣3+a4=3a+b，∴a4=a+3，
∴，解得a=4，b=0，
∴数列{an}是首项为2，公差为2的等差数列，
∴Sn=2n+=n2+n．
（3）∵s＞t，且数列{an}是单调递增数列，
∴a2k+1﹣a2k=（t+ka）﹣[s+（k﹣1）a]=t﹣s+a＞0，
∴a＞s﹣t．
∴a的取值范围是（s﹣t，+∞）．
【点评】本题考查“弱等差数列”的证明，考查数列的通项公式的求法，综合性质强，难度大，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
　
23．若实数x、y、m满足|x﹣m|＜|y﹣m|，则称x比y接近m．
（1）若2x比1接近3，求x的取值范围；
（2）已知函数f（x）定义域D=（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，3）∪（3，+∞），对于任意的x∈D，f（x）等于x2﹣2x与x中接近0的那个值，写出函数f（x）的解析式，若关于x的方程f（x）﹣a=0有两个不同的实数根，求出a的取值范围；
（3）已知a，b∈R，m＞0且a≠b，求证：比接近0．
【考点】绝对值不等式的解法．
【专题】新定义；数形结合法；作差法；不等式的解法及应用．
【分析】（1）直接根据定义，问题等价为|2x﹣3|＜|1﹣3|，解出即可；
（2）先求出函数f（x）的解析式并画出函数图象，再运用数形结合的方法，求a的取值范围；
（3）直接运用作差法比较两式的大小．
【解答】解：（1）因为2x比1接近3，所以|2x﹣3|＜|1﹣3|，
即|2x﹣3|＜2，解得＜x＜，
所以，x的取值范围为：（，）；
（2）分类讨论如下：
①当x2﹣2x比x接近于0时，|x2﹣2x|＜|x|，
解得，x∈（1，3），
②当x比x2﹣2x接近于0时，|x2﹣2x|＞|x|，
解得，x∈（﹣∞，0）∪（0，1）∪（3，+∞），
所以，f（x）=，
画出f（x）的图象，如右图，
因为方程f（x）=a有两个实根，根据函数图象得，
a∈（﹣1，0）∪（0，1）；
（3）对两式，平方作差得，
△=（）2﹣（）2
==，
因为a，b∈R，m＞0且a≠b，所以，△＞0恒成立，
所以，＞||，
即比接近0．
【点评】本题主要考查了绝对值不等式的解法，分段函数解析式的确定，和不等式的证明，体现了分类讨论，数形结合的解题思想，属于难题．