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《相似三角形》综合测试卷
一．选择题（共10小题）
1．下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（ ）
A．a＝4，b＝3，c＝5， B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4
C．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5 D．a＝2，b＝3，c＝4，d＝6
2．若，则的值是（ ）
A． B． C．7 D．﹣7
3．如图，已知在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3：5，则CF：CB＝（ ）
A．5：8 B．3：8 C．3：5 D．2：5
4．校园里一片小小的树叶蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为8cm，那么叶片的长度为（ ）cm．
A． B． C． D．
5．若△ABC∽△DEF，相似比为1：2，△ABC的周长为10，则△DEF的周长是（ ）
A．5 B．10 C．20 D．40
6．如图，△ABC∽△DAC，∠B＝35°，∠D＝115°，则∠BAD的度数为（ ）
A．115° B．125° C．150° D．155°
7．如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（ ）
A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C． D．AC2＝AD AB
8．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是8cm，则蜡烛火焰的高度是（ ）cm．
A． B．6 C． D．8
9．如图，在 ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则DF：BF为（ ）
A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2
10．如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边DC、BC上，且BF＝CE，AE平分∠CAD，连接DF，分别交AE、AC于点G，M，P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM．有下列四个结论：①AE垂直平分DM；②PM+PN的最小值为；③CF2＝GE AE；④．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③④ C．①③ D．①③④
二．填空题（共6小题）
11．如图，已知五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′相似且相似比为3：4，CD＝1.2cm．则C′D′的长为 cm．
12．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，且AB＝4，AC＝6．当AD＝ 时，△ABC∽△ACD．
13．已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为A（3，1），B（2，0），O（0，0），若以原点为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为 ．
14．如图，直线AB∥CD∥EF，若AD＝12，DF＝4，BE＝20，那么CE的长为 ．
15．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，若CD＝3，AD＝2，则BC＝ ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．点P从点C出发，以2cm/s的速沿着CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止．经过 秒后，△PCQ与△ABC相似．
三．解答题（共8小题）
17．如图，已知点D，E分别在边AB，AC上，BE，CD交于点O，，AB＝7，DB＝4，BC＝9，CD＝10．求DE，CO的长．
18．如图，已知△ABC∽△ACD．
（1）若CD平分∠ACB，∠ACD＝35°，求∠ADC的度数；
（2）若AD＝3，BD＝5，求AC的长．
19．如图，点B为线段AC上一点，满足∠A＝∠EBD＝∠C＝90°，AE＝1，AB＝BC＝2．
（1）求CD长度；
（2）求证：△ABE∽△BDE．
20．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在线段AB的延长线上，连结DE交BC于点F，且∠EDB＝∠CBE．
（1）求证：△ADE∽△DBE；
（2）若DE＝9，AE＝12，求CD的长．
21．如图，已知，△ABC在平面直角坐标系中，点A（2，﹣2）、B（3，1）、C（1，0）．（提示：正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）
（1）请按要求对△ABC作如下变换：
①将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△A1B1C1；
②以点O为位似中心，位似比为2：1，将△ABC在位似中心的异侧进行放大得到△A2B2C2．
（2）在（1）的条件下，B1的坐标是 ，B2的坐标是 ．
22．璃光塔是位于苏州盘门内的一座宋代古塔，被评为全国重点文物保护单位，具有很强的历史文化价值．立达数学兴趣小组开展了“测量宝塔高度”的实践活动，在点C处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝1米，将标杆CD向右平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝3米，GC＝51.2米．请你根据以上数据计算真身宝塔的高度AB．
23．如图所示，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，且AE⊥BD．
（1）求证：AD2＝DE DC；
（2）F为线段AE延长线上一点，且满足，求证：CE＝AD．
24．问题背景
如图1，在△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，2∠EDB+∠BDC＝180°，∠DEB＝90°，求证：AE＝BE．
变式迁移
如图2，在四边形DEBC中，2∠EDB+∠BDC＝180°，∠DEB＝90°，DF∥EB，DF分别交CE，BC于点G，F，求证：DG＝FG．
拓展应用
如图3，在四边形DECB中，2∠DBE+∠EBC＝180°，∠EDB＝∠DCB，，且n＞1，直接写出的值．中小学教育资源及组卷应用平台
《相似三角形》综合测试卷
一．选择题（共10小题）
1．下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（ ）
A．a＝4，b＝3，c＝5， B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4
C．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5 D．a＝2，b＝3，c＝4，d＝6
【思路点拔】根据比例线段的定义得到，即ad＝bc，据此分别验证四个选项中ad与bc是否相等即可．
【解答】解：由题意可知：，即ad＝bc，
A选项中，，ad≠bc，故A不正确，不符合题意；
B选项中，ad＝4，cd＝6，ad≠bc，故B不正确，不符合题意；
C选项中，ad＝10，cd＝12，ad≠bc，故C不正确，不符合题意；
D选项中，ad＝12，cd＝12，ad＝bc，故D正确，符合题意．
故选：D．
2．若，则的值是（ ）
A． B． C．7 D．﹣7
【思路点拔】令b＝3k，a＝4k，代入，即可求值．
【解答】解：∵，
∴令b＝3k，a＝4k，
∴7．
故选：C．
3．如图，已知在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3：5，则CF：CB＝（ ）
A．5：8 B．3：8 C．3：5 D．2：5
【思路点拔】分别利用DE∥BC和EF∥AB，得出，，即可求解．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，
∵AD：DB＝3：5，
∴，
∵EF∥AB，
∴，
∴，
即：CF：CB＝5：8，
故选：A．
4．校园里一片小小的树叶蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为8cm，那么叶片的长度为（ ）cm．
A． B． C． D．
【思路点拔】根据题意可得，据此即可求解，掌握黄金比是解题的关键．
【解答】解：∵P为AB的黄金分割点，AP＞PB，
∴，
∵AB的长度为8cm，
∴，
∴，
故选：C．
5．若△ABC∽△DEF，相似比为1：2，△ABC的周长为10，则△DEF的周长是（ ）
A．5 B．10 C．20 D．40
【思路点拔】根据相似三角形面积的比等于相似比求解即可．
【解答】解：设△DEF的周长为x，
∵△ABC∽△DEF，相似比为1：2，
∴10：x＝1：2，
解得，x＝20．
故选：C．
6．如图，△ABC∽△DAC，∠B＝35°，∠D＝115°，则∠BAD的度数为（ ）
A．115° B．125° C．150° D．155°
【思路点拔】由△ABC∽△DAC，得出∠BAC＝∠D＝115°，∠DAC＝∠B＝35°，再由∠BAD＝∠BAC+∠DAC进行计算即可得出答案．
【解答】解：∵△ABC∽△DAC，
∴∠DAC＝∠B＝35°，∠BAC＝∠D＝115°，
∴∠BAD＝∠DAC+∠BAC＝35°+115°＝150°，
故选：C．
7．如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（ ）
A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C． D．AC2＝AD AB
【思路点拔】直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案．
【解答】解：A、当∠ACD＝∠B时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
B、当∠ADC＝∠ACB时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
C、当时，无法得出△ACD∽△ABC，故此选项符合题意；
D、当AC2＝AD AB时，即，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
故选：C．
8．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是8cm，则蜡烛火焰的高度是（ ）cm．
A． B．6 C． D．8
【思路点拔】过点O作OE⊥CD，垂足为E，延长EO交AB于点F，根据题意可得：OE＝15cm，CD＝8cm，OF＝10cm，AB∥CD，然后利用平行线的性质可得：∠A＝∠C，∠B＝∠D从而可得△ABO∽△CDO，然后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【解答】解：如图：过点O作OE⊥CD，垂足为E，延长EO交AB于点F，
由题意得：
OE＝15cm，CD＝8cm，AB∥CD，
∴OF⊥AB，
∴OF＝10cm，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴△ABO∽△CDO，
∴，
∴，
解得：AB，
∴蜡烛火焰的高度是cm，
故选：C．
9．如图，在 ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则DF：BF为（ ）
A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2
【思路点拔】由平行四边形的性质得CD∥AB，从而易得△DEF∽△BAF，利用相似三角形面积的比等于相似比的平方，求得相似比，进而求得结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠EDF＝∠ABF；
∵∠DFE＝∠BFA，
∴△DEF∽△BAF，
∴，
∴，
故选：A．
10．如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边DC、BC上，且BF＝CE，AE平分∠CAD，连接DF，分别交AE、AC于点G，M，P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM．有下列四个结论：①AE垂直平分DM；②PM+PN的最小值为；③CF2＝GE AE；④．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③④ C．①③ D．①③④
【思路点拔】①先根据正方形的性质证得△ADE和△DCF全等，再利用ASA证得△AGM和△AGD全等，即可得出AE垂直平分DM；
②连接BD与AC交于点O，交AG于点H，连接HM，根据题意当点P与点H重合时，PM+PN的值最小，即PM+PN的最小值是DO的长，根据正方形的性质求出BD的长，从而得出，即PM+PN的最小值；
③先证△DGE∽△ADE，再根据相似三角形的性质及CF＝DE，即可判断；
④先求出AM的长，再根据三角形面积公式计算即可．
【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°，
∵BF＝CE，
∴BC﹣BF＝DC﹣CE，
即CF＝DE，
在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴∠DAE＝∠CDF，
∵∠CDF+∠ADG＝90°，
∴∠DAE+∠ADG＝90°，
∴∠AGD＝90°，
∴∠AGM＝90°，
∴∠AGM＝∠AGD，
∵AE平分∠CAD，
∴∠MAG＝∠DAG，
又AG为公共边，
∴△AGM≌△AGD（ASA），
∴GM＝GD，
又∵∠AGM＝∠AGD＝90°，
∴AE垂直平分DM，
故①正确；
②如图，连接BD与AC交于点O，交AG于点H，连接HM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
即DO⊥AM，
∵AE垂直平分DM，
∴HM＝HD，
当点P与点H重合时，PM+PN的值最小，此时PM+PN＝HM+HO＝HD+HO＝DO，即PM+PN的最小值是DO的长，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AC＝BD，
∴，
即PM+PN的最小值为，
故②错误；
③∵AE垂直平分DM，
∴∠DGE＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠DGE＝∠ADE，
又∵∠DEG＝∠AED，
∴△DGE∽△ADE，
∴，
即DE2＝GE AE，
由①知CF＝DE，
∴CF2＝GE AE，
故③正确；
④∵AE垂直平分DM，
∴AM＝AD＝4，
又，
∴，
故④正确；
综上，正确的是：①③④，
故选：D．
二．填空题（共6小题）
11．如图，已知五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′相似且相似比为3：4，CD＝1.2cm．则C′D′的长为 1.6 cm．
【思路点拔】根据题意，相似比为3：4，则，即可．
【解答】解：∵五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′相似，且相似比为3：4，CD＝1.2cm，
∴，
∴C′D′＝1.6cm，
故答案为：1.6．
12．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，且AB＝4，AC＝6．当AD＝ 9 时，△ABC∽△ACD．
【思路点拔】根据两组对应边成比例，且夹角相等的两个三角形相似，进行求解即可．
【解答】解：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
当时，△ABC∽△ACD，
即：AC2＝AB AD，
∵AB＝4，AC＝6，
∴62＝4AD，
∴AD＝9；
故答案为：9．
13．已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为A（3，1），B（2，0），O（0，0），若以原点为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为 （6，2）或（﹣6，﹣2） ．
【思路点拔】分△AOB关于原点的位似图形与△AOB在原点同侧和异侧两种情况求解即可．
【解答】解：当△AOB关于原点的位似图形与△AOB在原点同侧时，点A的对应点的坐标为（3×2，1×2），即（6，2）；
当△AOB关于原点的位似图形与△AOB在原点异侧时，点A的对应点的坐标为（﹣2×3，﹣2×1），即（﹣6，﹣2）；
综上所述，点A的对应点的坐标为（6，2）或（﹣6，﹣2）．
14．如图，直线AB∥CD∥EF，若AD＝12，DF＝4，BE＝20，那么CE的长为 5 ．
【思路点拔】根据平行线分线段成比例，列出比例式进行求解即可．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，AD＝12，DF＝4，
∴，
∴BC＝3CE，
∴BE＝4CE，
∵BE＝20，
∴CEBE＝5，
故答案为：5．
15．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，若CD＝3，AD＝2，则BC＝ ．
【思路点拔】先根据勾股定理求出AC，再证明△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形对应边成比例得出答案．
【解答】解：在Rt△ACD中，CD＝3，AD＝2，
∴．
∵∠A+∠ACD＝∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD．
∵∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴△ACD∽△CBD，
∴，
即，
解得．
故答案为：．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．点P从点C出发，以2cm/s的速沿着CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止．经过 或 秒后，△PCQ与△ABC相似．
【思路点拔】分两种情况分别计算，①设经过x秒后△PCQ∽△ACB，得，②设经过x秒后△PCQ∽△BCA，得，代入用x表示的线段计算即可．
【解答】解：①设经过x秒后△PCQ∽△ACB，
∵△PCQ∽△ACB，
∴，
∴，
解得；
②设经过x秒后△PCQ∽△BCA，
∵△PCQ∽△BCA，
∴，
∴，
解得，
∴经过秒或秒，△PCQ与△ABC相似．
故答案为：或．
三．解答题（共8小题）
17．如图，已知点D，E分别在边AB，AC上，BE，CD交于点O，，AB＝7，DB＝4，BC＝9，CD＝10．求DE，CO的长．
【思路点拔】先求得AD＝AB﹣DB＝7﹣4＝3，再根据求得；由求得．
【解答】解：∵AB＝7，DB＝4，BC＝9，CD＝10，
∴AD＝AB﹣DB＝3，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
答：DE的长为，CO的长为7．
18．如图，已知△ABC∽△ACD．
（1）若CD平分∠ACB，∠ACD＝35°，求∠ADC的度数；
（2）若AD＝3，BD＝5，求AC的长．
【思路点拔】（1）直接利用相似三角形的性质得出∠ACD＝∠B，再结合已知条件得出答案；
（2）利用相似三角形的性质得出，进而得出答案．
【解答】解：（1）∵△ABC∽△ACD，
∴∠ACD＝∠B，
∵CD平分∠ACB，∠ACD＝35°，
∴∠ACD＝∠DCB＝∠B＝35°，
∴∠ADC＝35°+35°＝70°；
（2）∵△ABC∽△ACD，
∴，
∵AD＝3，BD＝5，
∴，
解得：AC＝2．
19．如图，点B为线段AC上一点，满足∠A＝∠EBD＝∠C＝90°，AE＝1，AB＝BC＝2．
（1）求CD长度；
（2）求证：△ABE∽△BDE．
【思路点拔】（1）由∠ABE+∠AEB＝90°＝∠ABE+∠CBD，可得∠AEB＝∠CBD，证明△ABE∽△CDB，则，即，计算求解即可；
（2）由勾股定理得，，，由，∠A＝∠EBD＝90°，可证结论．
【解答】（1）解：∵∠A＝∠EBD＝∠C＝90°，
∴∠ABE+∠AEB＝90°＝∠ABE+∠CBD，即∠AEB＝∠CBD，
∴△ABE∽△CDB，
∴，即，
解得，CD＝4，
∴CD的长度为4；
（2）证明：由勾股定理得：，，
∴，
∵，∠A＝∠EBD＝90°，
∴△ABE∽△BDE．
20．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在线段AB的延长线上，连结DE交BC于点F，且∠EDB＝∠CBE．
（1）求证：△ADE∽△DBE；
（2）若DE＝9，AE＝12，求CD的长．
【思路点拔】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，得AD∥BC，可得∠ADB＝∠DBC，由于∠EDB＝∠CBE，可得∠ADE＝∠DBE，利用“AA”即可证明△ADE∽△DBE；
（2）由（1）得△ADE∽△DBE，可得对应边成比例，代入即可求出AB的长，进而可以解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵∠EDB＝∠CBE，
∴∠ADB+∠EDB＝∠DBC+∠CBE，
∴∠ADE＝∠DBE，
又∵∠E＝∠E，
∴△ADE∽△DBE；
（2）解：∵△ADE∽△DBE，
∴，
∴，
∴BE，
∴AB＝AE﹣BE＝12，
∴CD＝AB．
故答案为：．
21．如图，已知，△ABC在平面直角坐标系中，点A（2，﹣2）、B（3，1）、C（1，0）．（提示：正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）
（1）请按要求对△ABC作如下变换：
①将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△A1B1C1；
②以点O为位似中心，位似比为2：1，将△ABC在位似中心的异侧进行放大得到△A2B2C2．
（2）在（1）的条件下，B1的坐标是 （﹣1，3） ，B2的坐标是 （﹣6，﹣2） ．
【思路点拔】（1）①根据网格结构找出点ABC绕点O逆时针旋转90°的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
②连接AO并延长至A2，使A2O＝2AO，连接BO并延长至B2，使B2O＝2BO，连接CO并延长至C2，使C2O＝2CO，然后顺次连接A2、B2、C2即可；
（2）根据平面直角坐标系写出点的坐标即可．
【解答】解：（1）①根据网格结构找出点ABC绕点O逆时针旋转90°的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可，图中△A1B1C1为所作；
②连接AO并延长至A2，使A2O＝2AO，连接BO并延长至B2，使B2O＝2BO，连接CO并延长至C2，使C2O＝2CO，然后顺次连接A2、B2、C2即可；
（2）根据平面直角坐标系写出点的坐标可得：B1的坐标是（﹣1，3），B2的坐标是（﹣6，﹣2）．
22．璃光塔是位于苏州盘门内的一座宋代古塔，被评为全国重点文物保护单位，具有很强的历史文化价值．立达数学兴趣小组开展了“测量宝塔高度”的实践活动，在点C处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝1米，将标杆CD向右平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝3米，GC＝51.2米．请你根据以上数据计算真身宝塔的高度AB．
【思路点拔】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：根据题意得，∠DEC＝∠BEA，∠DCE＝∠BAC＝90°，
∴△EDC∽△EBA，
∴，
根据题意得，∠HFG＝∠BFA，∠HGF＝∠BAC＝90°，
∴△FHG∽△FBA，
∴，
∴，
∴，
∴AC＝25.6米，
∵，
∴，
∴AB＝53.2米，
答：真身宝塔的高度AB为53.2米．
23．如图所示，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，且AE⊥BD．
（1）求证：AD2＝DE DC；
（2）F为线段AE延长线上一点，且满足，求证：CE＝AD．
【思路点拔】（1）由矩形性质得到∠BAD＝90°，∠ADE＝90°，AB＝DC，由角的互余得到∠ABD＝∠DAE，从而确定△ADE∽△BAD，利用相似三角形性质得到AD2＝DE DC；
（2）由矩形性质，结合题中条件，利用等腰三角形的判定与性质得到 OA＝OD＝EF＝CF，∠ODA＝∠OAD，∠FEC＝∠FCE，进而由三角形全等的判定与性质即可得到．
【解答】证明：（1）∵矩形ABCD，
∴∠BAD＝90°，∠ADE＝90°，AB＝DC，
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∵AE⊥BD，
∴∠DAE+∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝∠DAE，
∵∠BAD＝∠ADE＝90°，
∴△ADE∽△BAD，
∴，
∴AD2＝DE BA，
∵AB＝DC，
∴AD2＝DE DC；
（2）连接AC，交BD于点O，
∵矩形ABCD，
∴∠ADE＝90°，
∴∠DAE+∠AED＝90°，
∵AE⊥BD，
∴∠DAE+∠ADB＝90°，
∴∠ADB＝∠AED，
∵∠FEC＝∠AED，
∴∠ADO＝∠FEC，
∵矩形ABCD，
∴，
∴，
∴OA＝OD＝EF＝CF，
∴∠ADO＝∠OAD，∠FEC＝∠FCE，
∵∠ADO＝∠FEC，
∴∠ADO＝∠OAD＝∠FEC＝∠FCE，
在△ODA和△FEC中，
，
∴△ODA≌△FEC（AAS），
∴CE＝AD．
24．问题背景
如图1，在△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，2∠EDB+∠BDC＝180°，∠DEB＝90°，求证：AE＝BE．
变式迁移
如图2，在四边形DEBC中，2∠EDB+∠BDC＝180°，∠DEB＝90°，DF∥EB，DF分别交CE，BC于点G，F，求证：DG＝FG．
拓展应用
如图3，在四边形DECB中，2∠DBE+∠EBC＝180°，∠EDB＝∠DCB，，且n＞1，直接写出的值．
【思路点拔】问题背景：由2∠EDB+∠BDC＝180°，∠ADB+∠BDC＝180°，得出∠ADE＝∠EDB，由∠DEB＝90°，得出∠DEA＝∠DEB＝90°，即可得出△DEA≌△DEB，进而证明AE＝BE；
变式迁移：延长CD，BE交于点M，则ME＝BE，由DF∥BE，得出△CDG∽△CME，△CFG∽△CBE，进而得出，即可证明DG＝FG；
拓展应用：在CB的延长线上截取BP＝BE，连接DP，由“问题背景”可知：∠DBP＝∠DBE，进而得出△DBE≌△DBP，得出∠EDB＝∠PDB，由∠EDB＝∠DCB，得出∠PDB＝∠DCB，继而证明△DPB∽△CPD，得出，设BP＝1，则PD＝n，得出PC＝n2，求出BC＝n2﹣1，继而得出n2﹣1．
【解答】问题背景：证明：如图1，
∵2∠EDB+∠BDC＝180°，∠ADB+∠BDC＝180°，
∴∠ADB＝2∠EDB，
∴∠ADE+∠EDB＝2∠EDB，
∴∠ADE＝∠EDB，
∵∠DEB＝90°，
∴∠DEA＝∠DEB＝90°，
在△DEA和△DEB中，
，
∴△DEA≌△DEB（ASA），
∴AE＝BE；
变式迁移：证明：如图2，延长CD，BE交于点M，则ME＝BE，
∵DF∥BE，
∴∠CDG＝∠M，∠CGD＝∠CEM，∠CGF＝∠CEB，∠CFG＝∠CBE，
∴△CDG∽△CME，△CFG∽△CBE，
∴，，
∴，
∵ME＝BE，
∴DG＝FG；
拓展应用：解：如图3，在CB的延长线上截取BP＝BE，连接DP，
由“问题背景”可知：∠DBP＝∠DBE，
在△DBE和△DBP中，
，
∴△DBE≌△DBP（SAS），
∴∠EDB＝∠PDB，
∵∠EDB＝∠DCB，
∴∠PDB＝∠DCB，
∵∠P＝∠P，
∴△DPB∽△CPD，
∴，
∵，
∴，
设BP＝1，则PD＝n，
∴，
∴PC＝n2，
∴BC＝PC﹣BP＝n2﹣1，
∴n2﹣1．
