(共26张PPT)
1.1.3四种命题的相互关系
高二数学 选修2-1 第一章 常用逻辑用语
回顾
交换原命题的条件和结论，所得的命题是________
同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是________
交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是__________
逆命题。
否命题。
逆否命题。
原命题,逆命题,否命题,逆否命题
四种命题形式:
原命题:
逆命题:
否命题:
逆否命题:
若 p, 则 q
若 q, 则 p
若┐p, 则┐q
若┐q, 则┐p
观察与思考
？
你能说出其中任意两个命题之间的关系吗
课堂小结
原命题
若p则q
逆命题
若q则p
否命题
若﹁ p则﹁ q
逆否命题
若﹁ q则﹁p
互为逆否 同真同假
互为逆否 同真同假
互逆命题 真假无关
互逆命题 真假无关
互否命题真假无关
互否命题真假无关
2）原命题：若a=0, 则ab=0。
逆命题：若ab=0, 则a=0。
否命题：若a≠ 0, 则ab≠0。
逆否命题：若ab≠0,则a≠0。
(真)
(假)
(假)
(真)
(真)
2.四种命题的真假
看下面的例子：
1）原命题：若x=2或x=3, 则x2-5x+6=0。
逆命题：若x2-5x+6=0, 则x=2或x=3。
否命题：若x≠2且x≠3, 则x2-5x+6≠0 。
逆否命题：若x2-5x+6≠0，则x≠2且x≠3。
(真)
(真)
(真)
3）原命题：若x∈A∪B，则x∈ U A∪ UB。
逆命题：
x∈ UA∪ UB ，x∈A∪B 。
否命题：
x A∪B，x UA∪ UB。
逆否命题：
x UA∪ UB ，x A∪B 。
Help
假
假
假
假
四种命题的真假,有且只有下面四种情况:
原命题 逆命题 否命题 逆否命题
真 真 真 真
真 假 假 真
假 真 真 假
假 假 假 假
想一想？
（2） 若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但其原命题、逆否命题不一定为真。
由以上三例及总结我们能发现什么？
即 原命题与逆否命题同真假。
原命题的逆命题与否命题同真假。
（1） 原命题为真，则其逆否命题一定为真。但其逆命题、否命题不一定为真。
(两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系).
几条结论:
1.判断下列说法是否正确。
1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；
（对）
2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。
（对）
2.四种命题真假的个数可能为（ ）个。
答：0个、2个、4个。
如：原命题：若A∪B=A, 则A∩B=φ。
逆命题：若A∩B=φ，则A∪B=A。
否命题：若A∪B≠A，则A∩B≠φ。
逆否命题：若A∩B≠φ，则A∪B≠A。
（假）
（假）
（假）
（假）
3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。
（错）
4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。
（错）
练一练
练习：分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。
（1）若q<1,则方程 有实根。
（2）若ab=0,则a=0或b=0.
（3）若 或 ，则 。
（4）若 ，则x,y全为零。
总结
反证法：
要证明某一结论A是正确的，但不直接证明，而是先去证明A的反面（非A）是错误的，从而断定A是正确的。
即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法。
反证法的步骤：
假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。
从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾。
由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
推理过程中一定要用到才行
显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾).
例 证明：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
将“若p2＋q2＝2，则p＋q≤2”看成原命题。由于原命题和它的逆否命题具有相同的真假性，要证原命题为真命题，可以证明它的逆否命题为真命题。
即证明 为真命题
假设原命题结论的反面成立
看能否推出原命题条件的反面成立
尝试成功
得证
例 证明：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
变式练习
1、已知 。求证：
这说明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题。
解：假设p+q>2,那么q>2-p,
根据幂函数 的单调性，得
即
所以
因此
可能出现矛盾四种情况：
与题设矛盾；
与反设矛盾；
与公理、定理矛盾；
在证明过程中，推出自相矛盾的结论。
这些条件都与已知
矛盾
所以原命题
成立
证明:
假设
不大于
则
或
因为
所以
例 用反证法证明：
如果a>b>0，那么 .
练 圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。
已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于P，且AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分.
证明：
假设弦AB 、CD被P平分，
∵P点一定不是圆心O，连接OP，根据垂径定理的推论，
有
OP⊥AB, OP⊥CD
即 过点P有两条直线与OP都垂直，
这与垂线性质矛盾，
∴弦AB、CD不被P平分。
若a2能被2整除，a是整数，
求证：a也能被2整除.
证：假设a不能被2整除，则a必为奇数，
故可令a=2m+1(m为整数),
由此得
a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1,
此结果表明a2是奇数，
这与题中的已知条件（a2能被2整除）相矛盾,
∴a能被2整除.
U
A
A∩B
B
Back(共29张PPT)
1.1.1-1.1.2命题与四种命题
高二数学 选修2-1 第一章 常用逻辑用语
歌德是18世纪德国的一位著名文艺大师，一天，他与一位批评家“狭路相逢”，这位文艺批评家生性古怪，遇到歌德走来，不仅没有相让，反而卖弄聪明，一边高地往前走。一边大声说道：“我从来不给傻子让路！”而对如此的尴尬的局面，但只是歌德笑容可掏，谦恭的闪在一旁，一边有礼貌回答道“呵呵，我可恰恰相反，”结果故作聪明的批评家，反倒自讨没趣。
你能分析此故事中歌德与批评家的言行语句吗？
常用逻辑用语
“数学是思维的科学”
逻辑是研究思维形式和规律的科学.
逻辑用语是我们必不可少的工具.
通过学习和使用常用逻辑用语,掌握常用逻辑用语的用法,,纠正出现的逻辑错误,体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简捷性.
命题及其关系
1.1.1 命题
思考
下列语句的表述形式有什么特点 你能判断
它们的真假吗
（1） 12>5;
（2） 3是12的约数;
（3） 0.5是整数;
（4）对顶角相等;
（5）3 能被2整除;
（6）若x2=1,则x=1.
语句都是陈述句，
并且可以判断真假。
命题的概念
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。
判断为真的语句叫做真命题。
判断为假的语句叫做假命题。
理解：
1）命题定义的核心是判断，切记：判断的标准 必须确定，判断的结果可真可假，但真假必居其一。
2）含有变量且在未给定变量的值之前无法确定语句的真假。
（1） 12>5; （2） 3是12的约数;
（3） 0.5是整数; （4）对顶角相等;
（5）3 能被2整除; （6）若x2=1,则x=1.
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。如何判断一个语句是不是命题？
7是23的约数吗
X>5.
-2
画线段AB=CD.
开语句
判断一个语句是不是命题，关键看这语句是否符合“是陈述句”和“可以判断真假” 这两个条件。
有些语句中含有变量，在不给定变量的值之前，我们无法确定这语句的真假，这样的语句叫开语句，以后会专门研究。
疑问句
祈使句
今天天气如何？
你是不是作业没交？
这里景色多美啊！
-2不是整数。
4>3。
x>4。
看看下列语句是不是命题？
不是（疑问句）
不是（疑问句）
不是（感叹句）
是（否定陈述句）
是（肯定陈述句）
不是（开语句）
例1 判断下面的语句是否为命题 若是命题，指出它的真假。
(1) 空集是任何集合的子集.
(2)若整数a是素数,则a是奇数.
(3)指数函数是增函数吗
(4)若平面上两条直线不相交,
则这两条直线平行.
(5)
(6)x>15.
（是，真）
（是，真）
（是，假）
（是，假）
（不是命题）
（不是命题）
练习 判断下列语句是否是命题 .
（1）求证 是无理数。
（2）
（3）你是高二学生吗？
（4）并非所有的人都喜欢苹果。
（5）一个正整数不是质数就是合数。
（6）若 ，则
（7）x+3>0.
(1)(3)(7)不是命题，(2)(4)(5)(6)是命题。
“若p则q”形式的命题
命题“若整数a是素数，则a是奇数。”具有“若p则q”的形式。
q
p
通常,我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题的结论。
“若p则q”形式的命题是命题的一种形式而不是唯一的形式,也可写成“如果p,那么q” “只要p,就有q”等形式。
其中p和q可以是命题也可以不是命题.
“若p则q”形式的命题的优点是条件与结论容易辨别,缺点是太格式化且不灵活.
“若p则q”形式的命题的书写
了解命题表示的判断,明确与判断有关的条件与结论。
对于一些条件与结论不明显的命题,一般采取先添补一些命题中省略的词句, 确定条件与结论。
如命题:“垂直于同一条直线的两个平面平行”。
写成“若p则q”的形式为：
若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行。
例2 指出下列命题中的条件p和结论q：
若整数a能被2整除，则a是偶数；
菱形的对角线互相垂直且平分。
解：1) 条件p：整数a能被2整除，
结论q：整数a 是偶数。
2) 写成若p，则q 的形式：若四边形是菱形，
则它的对角线互相垂直且平分。
条件p：四边形是菱形，
结论q：四边形的对角线互相垂直且平分。
例3 把下列命题改写成“若p则q”的形式,并判定真假。
(1) 负数的平方是正数.
(2) 偶函数的图像关于y轴对称.
(3)垂直于同一条直线的两条直线平行
(4) 面积相等的两个三角形全等.
(5) 对顶角相等.
真命题
真命题
假命题
假命题
真命题
练习
1、将命题“a>0时，函数y=ax+b的值随x值的增加而增加”改写成“p则q”的形式，并判断命题的真假。
解答:a>0时，若x增加，则函数y=ax+b的值也随之
增加，它是真命题．
在本题中，a>0是大前提，应单独给出，不能把大前提也放在命题的条件部分内．
2、把下列命题改写成“若p,则q”的形式，并判断它们的真假.
（1）等腰三角形两腰的中线相等；
（2）偶函数的图象关于y轴对称；
（3）垂直于同一个平面的两个平面平行。
(1)若三角形是等腰三角形，则三角形两边上的中线相等。这是真命题。
(2)若函数是偶函数，则函数的图象关于y轴对称，这是真命题。
(3)若两个平面垂直于同一平面，则这两个平面互相平行。这是假命题。
命题及其关系
1.1.2 四种命题
下列四个命题中，命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？
若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；
若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；
若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。
观察命题(1)与命题(2)的条件和结论之间分别有什么关系？
若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；
互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题叫做互逆命题。
原 命 题：其中一个命题叫做原命题。
逆 命 题：另一个命题叫做原命题的逆命题。
p
q
q
p
即 原命题:若p,则q
逆命题:若q,则p
例如，命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是“两直线平行，同位角相等”。
原命题与其逆命题的真假是否存在相关性呢
观察命题(1)与命题(3)的条件和结论之间分别有什么关系？
若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
3. 若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数.
p
q
┐p
原命题:若p,则q
┐q
为书写简便,常把条件p的否定和结论q的否定分别记作 “┐p” “┐q”
否命题:若┐p,则┐q
互否命题 原命题 (原命题的)否命题
例如，命题“同位角相等，两直线平行”的否命题是“同位角不相等，两直线不平行”。
原命题与其否命题的真假是否存在相关性呢
观察命题(1)与命题(4)的条件和结论之间分别有什么关系？
若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
4. 若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数.
p
q
┐q
原命题: 若p, 则q
┐p
逆否命题: 若┐q, 则┐p
互为逆否命题 原命题 (原命题的)逆否命题
例如，命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是“两直线不平行，同位角不相等”。
原命题与其逆否命题的真假是否存在相关性呢
２、互否命题：如果第一个命题的条件和结论是第二个命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题。
３、互为逆否命题：如果第一个命题的条件和结论分别是第二个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题。
１、互逆命题：如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题。
三个概念
原命题,逆命题,否命题,逆否命题
四种命题形式:
原命题:
逆命题:
否命题:
逆否命题:
若 p, 则 q
若 q, 则 p
若┐p, 则┐q
若┐q, 则┐p
判断正误,并说明理由:
(1)若原命题是“对顶角相等”,
它的否命题是“对顶角不相等”。
(2)若原命题是“对顶角相等”,
它的否命题是“不成对顶关系的
两个角不相等”。
否命题与命题的否定
否命题是用否定条件也否定结论的方式构成新命题。
命题的否定是逻辑联结词“非”作用于判断,只否定结论不否定条件。
对于原命题: 若 p , 则 q 有
否命题: 若┐p , 则┐q 。
命题的否定: 若 p ，则┐q 。
例 设原命题是“当c >0 时，若a >b ，则ac >bc ”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假：
解：
逆命题：当c >0 时，若ac >bc ，则a >b．
逆命题为真．
否命题：当c >0 时，若a ≤b ，则ac ≤ bc ．
否命题为真．
逆否命题：当c >0 时，若ac ≤ bc ，则a ≤b ．
逆否命题为真．
原结论 反设词 原结论 反设词
是 至少有一个
都是 至多有一个
大于 至少有n个
小于 至多有n个
对所有x,成立 对任何x，
不成立
准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式.
不是
不都是
不大于
大于或等于
一个也没有
至少有两个
至多有（n-1)个
至少有（n+1)个
存在某x，
不成立
存在某x，
成立
练习：分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。
（1）若q<1,则方程 有实根。
（2）若ab=0,则a=0或b=0.(共18张PPT)
直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆的位置关系
种类:
相离(没有交点)
相切(一个交点)
相交(二个交点)
相离(没有交点)
相切(一个交点)
相交(二个交点)
直线与椭圆的位置关系的判定
mx2+nx+p=0（m≠ 0）
Ax+By+C=0
由方程组：
<0
方程组无解
相离
无交点
=0
方程组有一解
相切
一个交点
>0
相交
方程组有两解
两个交点
代数方法
= n2-4mp
例1：直线y=kx+1与椭圆 恒有公共点,
求m的取值范围。
l
m
m
例4．
M
l
l1
x
y
F2
F1
O
注： 是椭圆上的点到焦点的距离，常把它们叫做焦半径。
例5 已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F，
(1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.
(2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点
椭圆的弦所在的直线方程.
引申:当点P与两焦点连线成钝角时,求P点的横坐标
的取值范围.
例6：求椭圆 上一点P,使得点P与椭圆
两焦点连线互相垂直.
法二
【练习】
(a＞b＞0)上一点， 是两个焦点，半焦距
为c，则 的最大值与最小值之差一定是（ ）.
A. 1 B. C. D.
x
O
y
P
F
Q
D
B
A
(a＞b＞0)，
F为焦点，A为顶点，准线l交x轴于B，P，Q在
椭圆上，且PD⊥l于D，QF⊥AO，则椭圆
（ ）
A. 1个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
D
D
２、弦长公式：
设直线 l与椭圆C 相交于A( x1 ，y1) ，B( x2，y2 )，
则 |AB|＝ , 其中 k 是直线的斜率
１、判断直线与椭圆位置关系的方法：
解方程组消去其中一元得一元二次型方程
△< 0 相离
△= 0 相切
△> 0 相交
３、处理弦中点问题：“点差法”、“韦达定理”
小结(共31张PPT)
2.4.1抛物线及其
标准方程
喷泉
复习回顾：
我们知道,椭圆、双曲线的有共同的几何特征：
都可以看作是,在平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹.
·
M
F
l
0＜e ＜1
(2) 当e＞1时，是双曲线;
(1)当0(其中定点不在定直线上)
l
F
·
M
e＞1
那么,当e=1时，它又是什么曲线 ？
·
F
M
l
·
e=1
如图，点 是定点， 是不经过点 的定直线。 是 上任意一点，过点 作 ，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗？
提出问题：
M
F
几何画板观察
问题探究：
当e=1时，即|MF|=|MH| ，点M的轨迹是什么？
探究？
可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有|MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等.点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图)
M
·
F
l
·
e=1
我们把这样的一条曲线叫做抛物线.
M
·
F
l
·
e=1
在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.
点F叫抛物线的焦点,
直线l 叫抛物线的准线
d 为 M 到 l 的距离
准线
焦点
d
一、抛物线的定义:
解法一：以 为 轴，过点 垂直于 的直线为 轴建立直角坐标系（如下图所示）,则定点 设动点点 ，由抛物线定义得：
化简得：
.
M(X,y)
.
x
y
O
F
l
二、标准方程的推导
解法二：以定点 为原点，过点 垂直于 的直线为 轴建立直角坐标系（如下图所示），则定点 ， 的方程为
设动点 ，由抛物线定义得
化简得：
二、标准方程的推导
l
解法三：以过F且垂直于 l 的直线为x轴,垂足为K.以F,K的中点O为坐标原点建立直角坐标系xoy.
两边平方,整理得
x
K
y
o
M(x,y)
F
二、标准方程的推导
依题意得
这就是所求的轨迹方程.
三、标准方程
把方程 y2 = 2px (p＞0)叫做抛物线的标准方程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上.
且 p的几何意义是:
焦点坐标是
准线方程为:
想一想: 坐标系的建立还有没有其它方案也会使抛物线方程的形式简单 ？
﹒
y
x
o
方案(1)
﹒
y
x
o
方案(2)
﹒
y
x
o
方案(3)
﹒
y
x
o
方案(4)
焦点到准线的距离
y2=-2px
(p>0)
x2=2py
(p>0)
准线方程
焦点坐标
标准方程
图 形
x
F
O
y
l
x
F
O
y
l
x
F
O
y
l
x
F
O
y
l
y2=2px
(p>0)
x2=-2py
(p>0)
P的意义:抛物线的焦点到准线的距离
方程的特点:
(1)左边是二次式,
(2)右边是一次式;决定了焦点的位置.
四．四种抛物线的对比
P66思考：
二次函数 的图像为什么是抛物线？
当a>0时与当a<0时，结论都为：
y
x
o
y=ax2+bx+c
y=ax2+c
y=ax2
例1
（1）已知抛物线的标准方程是 y 2 = 6 x ，求它的焦点坐标及准线方程
（2）已知抛物线的焦点坐标是 F（0，－2），求抛物线的标准方程
（3）已知抛物线的准线方程为 x = 1 ，求抛物线的标准方程
（4）求过点A（3，2）的抛物线的标准方程
焦点F ( , 0 )
3
2
准线：x =－
3
2
x 2 =－8 y
y 2 =－4 x
y 2 = x 或 x 2 = y
4
3
9
2
看图
看图
看图
课堂练习：
1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（3，0）；
（2）准线方程 是x = ；
（3）焦点到准线的距离是2。
y2 =12x
y2 =x
y2 =4x、 y2 = -4x、x2 =4y 或 x2 = -4y
2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
(1)y2 = 20x (2)x2= y (3)2y2 +5x =0 (4)x2 +8y =0
焦点坐标 准线方程
(1)
(2)
(3)
(4)
（5，0）
x=-5
（0，—）
1
8
y= - —
1
8
8
x= —
5
（- —，0）
5
8
（0，-2）
y=2
例2：一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处。已知接收天线的径口（直径）为4.8m，深度为0.5m。建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。
解：如上图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合。
设抛物线的标准方程是 ，由已知条件
可得，点A的坐标是 ，代入方程，得
即
所以，所求抛物线的标准方程是 ，焦点的坐标是
4.标准方程中p前面的正负号决定抛物线的开口方向．
1.抛物线的定义:
2.抛物线的标准方程有四种不同的形式:
每一对焦点和准线对应一种形式.
3.p的几何意义是:
焦 点 到 准 线 的 距 离
（2000.全国）过抛物线 的焦点 作一条直线
交抛物线于 ， 两点，若线段 与 的长分别为 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
分析：抛物线 的标准方程为 ，其
焦点为 .
取特殊情况，即直线 平行与 轴，
则 ，如图。
故
x
y
o
l
F
（0,－2）
返回
解：（2）因为焦点在 y 轴的负半轴上，并且
p
2
= 2，p = 4 ，所以所求抛物线的标准方程是 x2 =－8y .
x
y
o
l
F
X = 1
返回
解：（3）因为准线方程是 x = 1，所以 p =2 ，且焦点在 x 轴的负半轴上，所以所求抛物线的标准方程是 y2 =－4x .
返回
x
y
o
(3,2)
解：（4）因为(3，2)点在第一象限，所以抛物线的开口方向只能是向右或向上，故设抛物线的标准方程是 y2 = 2px（p>0），或 x2 = 2py（p>0），将（3，2）点的坐标分别代入上述方程可得抛物线的标准方程为
y 2 = x 或 x 2 = y
4
3
9
2(共21张PPT)
3.1.5空间向量运算的
坐标表示
1．空间向量的基本定理：
2．平面向量的坐标表示及运算律：
一．复习回顾
若是 空间的一个基底， 是空间任意一向量，存在唯一的实数组使．
1．空间直角坐标系：
（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为 1，
这个基底叫单位正交基底
(2)在空间选定一点 和一个单位正交基底 ，以点 为原点，分别以 的方向为正方向建立三条数轴： 轴、 轴、 轴 ，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系 ,点 叫原点，向量 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，
分别称为 平面， 平面，
平面；
一．复习回顾
（4）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 轴的正方向，食指指向 轴的正方向，如果中指指向 轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系。本书建立的坐标系都是右手直角坐标系.
（3）作空间直角坐标系 时，一般使
2．空间直角坐标系中的坐标：
如图给定空间直角坐标系和向量 ，设 为坐标向量,则存在唯一的有序实数组 ，使 ，
有序实数组 叫作向量 在空间直角坐标系 中的坐标，记作 ．
在空间直角坐标系 中，对空间任一点 ，存在唯一的有序实数组 ，使 ，有序实数组 叫作向量 在空间直角坐标系 中的坐标，
记作 ， 叫横坐标， 叫纵坐标， 叫竖坐标．
一、向量的直角坐标运算
新课
1.距离公式
（1）向量的长度（模）公式
注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。
二、距离与夹角
在空间直角坐标系中，已知 、
，则
（2）空间两点间的距离公式
2.两个向量夹角公式
注意：
（1）当 时， 同向；
（2）当 时， 反向；
（3）当 时， 。
思考：当 及
时，夹角在什么范围内？
例1．已知
解:
三、应用举例
三、应用举例
例2 已知 、 ，求：
（1）线段 的中点坐标和长度；
解：设 是 的中点，则
∴点 的坐标是 .
（2）到 两点距离相等的点 的
坐标 满足的条件。
解：点 到 的距离相等，则
化简整理，得
即到 两点距离相等的点的坐标 满
足的条件是
解：设正方体的棱长为1，如图建
立空间直角坐标系 ，则
例3 如图, 在正方体 中，
，求 与 所成的角的余弦值.
证明：不妨设已知正方体的棱长为1个单
位长度,设
分别以 为坐标向量建立空间直
角坐标系 则
例4． 在正方体
练习 3 已知 垂直于正方形 所在的平面, 分别是 的中点,并且 ,求证:
证明:
分别以 为坐标向量建立空间直角坐标系 则
练习4：如图，已知线段AB α，AC⊥α，BD⊥AB，DE ⊥α ，∠DBE=30 ，如果AB=6，AC=BD=8，求CD的长及异面直线CD与AB所成角的大小。
练行六面体ABCD—A1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=5，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60 ，E、 H、F分别是D1C1 、AB、CC1的中点。（1）求AC1的长；（2）求BE的长；（3）求HF的长；（4）求BE与HF所成角的大小。
10
证明:
设正方体的棱长为1,
建立如图的空间直角坐标系
x
y
z
A1
D1
C1
B1
A
C
B
D
F
E(共17张PPT)
1.2.1充分条件与
必要条件
高中选修《数学2-1》（新教材）
1、命题：
可以判断真假的陈述句，可写成：若p则q。
2、四种命题及相互关系：
一、复习引入
逆命题 若q则p
原命题 若p则q
否命题 若 p则 q
逆否命题 若 q则 p
互逆
互逆
互 否
互 否
互为 逆否
小 结
作 业
复 习
新 课
注：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性。
一、复习引入
小 结
作 业
复 习
新 课
（2）因为若ab=0 则应该有a=0 或b=0。
所以并不能得到a一定为0。
3、例 :判断下列命题的真假。 （1）若x>a2+b2，则x>2ab 。 （2）若ab=0,则a=0。
真命题
假命题
解（1）因为若x>a2+b2 ，而a2+b2 2ab，所以可以
得到 x>2ab 。
一、复习引入
小 结
作 业
复 习
新 课
解（1）原命题：若一个三角形有两个角相等，则这个
三角形是等腰三角形。
（2）原命题：若a2>b2，则a>b。
逆命题：若一个三角形是等腰三角形，则这个
三 角形有两个角相等。
4、例， 将（1）改写成“若p，则q”的形式 并判断下列命题的真假及其逆命题的真假。 （1）有两角相等的三角形是等腰三角形。 （2）若a2>b2，则a>b。
逆命题：若a>b，则a2>b2。
真命题
真命题
假命题
假命题
一、复习引入
在真命题（1）中，p是q成立所必须具备的前提。 在假命题（2）中，p不是q成立所必须具备的前提。
在真命题（1）中，p足以导致q，也就是说条件p充分了。 在假命题（2）中条件p不充分。
（1）若一个三角形有两个角相等，则这个三角形是等腰三角形。 （2）若a2>b2，则a>b。
5、在原命题中研究条件对结论的制约程度
6、在逆命题中研究结论对条件的依赖程度
小 结
作 业
复 习
新 课
练习1 用符号 与 填空。 （1） x2=y2 x=y； （2）内错角相等 两直线平行； （3）整数a能被6整除 a的个位数字为偶数；（4）ac=bc a=b
1、如果命题“若p则q”为真，则记作p q（或q p）。
二、新课
小 结
作 业
新 课
复 习
2、如果命题“若p则q”为假，则记作p q 。
二、新课
定义2：如果已知q p，则说p是q的必要条件。
1、定义1：如果已知p q，则说p是q的充分条件。
① p q，相当于P Q ，即 P Q 或 P、Q
② q p，相当于Q P ，即 Q P 或 P、Q
③ p q，相当于P=Q ，即 P、Q
有它就行
缺它不行
同一事物
2、从集合角度理解：
定义3：如果既有p q，又有q p，就记作 则说p是q的充要条件。
p q，
复 习
小 结
作 业
新 课
二、新课
例1，下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题 中的p是q的充分条件？ （1）若x=1，则x2 –4x+3=0； （2）若f（x）=x，则f（x）为增函数； （3）若x 为无理数，则x2 为无理数
解：命题（1）（2）是真命题，命题（3）是假命题，所以命题（1）（2）中的p是q的充分条件
复 习
小 结
作 业
新 课
如果已知p q，则说p是q的充分 条件， q是p的必要条件。
3、简化定义：
1、充分条件的特征是：当p成立时，必有q成立，但当p不成立时，未必有q不成立。因此要使q成立，只需要条件p即可，故称p是q成立的充分条件。
2、必要条件的特征是：当q不成立时，必有p不成立，但当q成立时，未必有p 成立。因此要使p成立，必须具备条件q，故称q是p成立的必要条件。
如何正确理解充分条件与必要条件
二、新课
复 习
小 结
作 业
新 课
练习2 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的 p是q的充分条件？
(1) 若两个三角形全等，则这两个三角形相似；
(2) 若x > 5，则x > 10。
解：命题（1）是真命题，命题（2）是假命题
所以命题（1）中的p是q的充分条件。
二、新课
复 习
小 结
作 业
新 课
① 认清条件和结论。
② 考察p q和q p的真假。
① 可先简化命题。
③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。
② 否定一个命题只要举出一个反例即可。
4、判别步骤：
5、判别技巧：
判别充分条件与必要条件
二、新课
复 习
小 结
作 业
新 课
例2 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的 q是p的必要条件？
(1) 若x=y，则x2=y2。
(2) 若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等。
(3) 若a>b，则ac>bc。
解：命题（1）（2）是真命题，命题（3）是假命题，
所以命题（1）（2）中的q是p的必要条件。
二、新课
复 习
小 结
作 业
新 课
练习3 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的 p是q的必要条件？
(1) 若a+5是无理数，则a是无理数。
(2) 若（x-a）（x-b）=0，则 x=a。
解：命题（1）（2）的逆命题都是真命题，
所以命题（1）（2）中的p是q的必要条件。
分析：注意这里考虑的是命题中的p是q的必要条件。
所以应该分析下列命题的逆命题的真假性。
二、新课
复 习
小 结
作 业
新 课
答：命题（1）为真命题：
练习4，判断下列命题的真假： （1）x=2是x2 –4x+4=0的必要条件； （2）圆心到直线的距离等于半径是这条 直线为圆的切线的必要条件； （3）sin =sin 是 = 的充分条件； （4）ab 0是a 0的充分条件。
=
=
命题（2）为真命题；
命题（3）为假命题；
命题（4）为真命题。
三、小结
如果已知p q，则说p是q的充分 条件， q是p的必要条件。
① 认清条件和结论。
② 考察p q和q p的真假。
① 可先简化命题。
③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。
② 否定一个命题只要举出一个反例即可。
1、定义：
2、判别步骤：
3、判别技巧：
新 课
复 习
作 业
小 结
能 力 测 试
1、用符号“充分”或“必要”填空：
（1）“0（2）“四边形的对角线相等”是“这个平行四边形
为正方形”的 条件。
（3）“xy > 0”是“ x+y = x + y ”的 条件。
（4）“个位数是5的整数”是“这个数能被5整除”
的 条件。
充分
必要
充分
充分
四、作业
1、课本P14练习2（1）（2） 2、课本P14习题1.2 A组 2(1)(2) 3(1)(3)(5) B组 1
新 课
复 习
小 结
作 业(共20张PPT)
双曲线的性质(一)
定义
图象
方程
焦点
a.b.c 的关系
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
F ( ±c, 0) F(0, ± c)
2、对称性
一、研究双曲线 的简单几何性质
1、范围
关于x轴、y轴和原点都是对称。
x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，
又叫做双曲线的中心。
x
y
o
-a
a
(-x,-y)
(-x,y)
(x,y)
(x,-y)
课堂新授
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
x
y
o
-b
b
-a
a
如图，线段 叫做双曲线的实轴，它的长为2a,a叫做实半轴长；线段 叫做双曲线的虚轴，它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长
（2）
实轴与虚轴等长的双曲线
叫等轴双曲线
（3）
M(x,y)
4、渐近线
N(x,y’)
Q
慢慢靠近
x
y
o
a
b
（1）
（2）
利用渐近线可以较准确的
画出双曲线的草图
（3）
动画演示
5、离心率
离心率。
c>a>0
e >1
e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大
（1）定义：
（2）e的范围：
（3）e的含义：
（4）等轴双曲线的离心率e=
( 5 )
x
y
o
-a
a
b
-b
（1）范围:
（2）对称性:
关于x轴、y轴、原点都对称
（3）顶点:
(0,-a)、(0,a)
（4）渐近线:
（5）离心率:
小 结
或
或
关于坐标
轴和
原点
都对
称
性质
双曲线
范围
对称
性
顶点
渐近
线
离心
率
图象
例1 :求双曲线
的实半轴长,虚半轴长,
焦点坐标,离心率.渐近线方程。
解：把方程化为标准方程
可得:实半轴长a=4
虚半轴长b=3
半焦距c=
焦点坐标是(0,-5),(0,5)
离心率:
渐近线方程:
144
16
9
2
2
=
-
x
y
1
3
4
2
2
2
2
=
-
x
y
5
3
4
2
2
=
+
4
5
=
=
a
c
e
例题讲解
例2
1、若双曲线的渐近线方程为 则双曲线的离心率为 。
2、若双曲线的离心率为2，则两条渐近线的交角为 。
课堂练习
例3 :求下列双曲线的标准方程：
例题讲解
法二：巧设方程,运用待定系数法.
⑴设双曲线方程为 ,
法二：设双曲线方程为
∴ 双曲线方程为
∴ ,
解之得k=4,
1、“共渐近线”的双曲线的应用
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线；
λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。
4. 求与椭圆
有共同焦点，渐近线方程为
的双曲线方程。
解：
椭圆的焦点在x轴上，且坐标为
双曲线的渐近线方程为
解出
1
2
=
+
b
y
a
x
2
2
2
（ a＞ b ＞0）
1
2
2
2
2
=
-
b
y
a
x
( a＞ 0 b＞0)
2
2
2
=
+
b
a
(a＞ 0 b＞0)
c
2
2
2
=
-
b
a
(a＞ b＞0)
c
椭 圆 双曲线
方程
a b c关系
图象
y
X
F1
0
F2
M
X
Y
0
F1
F2
p
小 结
渐近线
离心率
顶点
对称性
范围
准线
|x| a,|y|≤b
|x| ≥ a，y R
对称轴：x轴，y轴
对称中心：原点
对称轴：x轴，y轴
对称中心：原点
（-a,0) (a,0)
(0,b) (0,-b)
长轴：2a 短轴：2b
(-a,0) (a,0)
实轴：2a
虚轴：2b
e =
a
c
( 0＜e ＜1 )
a
c
e=
(e 1)
无
y =
a
b
x
±(共10张PPT)
2.1曲线和方程
—— 2.1.2求曲线的方程（一）
f(x,y)=0
0
x
y
我们的目标就是要找x与y的关系式
先找曲线上的点满足的几何条件
1
1
方法小结
课本例
B
例2、已知直角坐标平面上点Q(2,0) 和圆O:
动点M到圆O的切线长与|MQ|的比等于常数
求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？
0
x
y
M
N
Q
例3、求抛物线 的顶点的轨迹方程。(共19张PPT)
2.4.2抛物线的简单几何性质(3)
复习练习：
1、已知抛物线 ，若 的三个顶点都在该抛物线上，且点A的纵坐标为8， 的重心恰在抛物线的焦点上，求直线BC的斜率。
(4)求证：以抛物线 的过焦点的弦为直径的圆必定与此抛物线的准线相切。
2、过抛物线 的顶点O作两条互相垂直的弦交抛物线于A、B两点。
(1)证明：直线AB过定点；
(3)求 的面积的最小值；
(2)求AB中点M的轨迹方程；
判断直线与双曲线位置关系的操作程序
把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
得到一元二次方程
直线与双曲线的
渐进线平行
相交（一个交点）
计 算 判 别 式
>0
=0
<0
相交
相切
相离
复习:
一、直线与抛物线位置关系种类
x
y
O
1、相离；2、相切；3、相交（一个交点，两个交点）
与双曲线的情况一样
x
y
O
二、判断方法探讨
1、直线与抛物线相离，无交点。
例：判断直线 y = x +2与
抛物线 y2 =4x 的位置关系
计算结果：得到一元二次方程，需计算判别式。相离。
x
y
O
2、直线与抛物线相切，交与一点。
例：判断直线 y = x +1与
抛物线 y2 =4x 的位置关系
计算结果：得到一元二次方程，需计算判别式。相切。
二、判断方法探讨
x
y
O
3、直线与抛物线的对称轴平行，相交与一点。
例：判断直线 y = 6
与抛物线 y2 =4x 的位置关系
计算结果：得到一元一次方程，容易解出交点坐标
二、判断方法探讨
x
y
O
例：判断直线 y = x -1与
抛物线 y2 =4x 的位置关系
计算结果：得到一元二次方程，需计算判别式。相交。
4、直线与抛物线的对称轴不平行，相交与两点。
二、判断方法探讨
三、判断直线与抛物线位置关系的操作程序（一）
把直线方程代入抛物线方程
得到一元一次方程
得到一元二次方程
直线与抛物线的
对称轴平行（重合）
相交（一个交点）
计 算 判 别 式
>0
=0
<0
相交
相切
相离
判断直线是否与抛物线的对称轴平行
不平行
直线与抛物线相交(一个交点)
平行
三、判断直线与抛物线位置关系的操作程序（二）
计 算 判 别 式
>0
=0
<0
相交
相切
相离
几何画板演示(共22张PPT)
双曲线及其标准方程
1. 椭圆的定义
和
等于常数
2a ( 2a>|F1F2|>0)
的点的轨迹.
平面内与两定点F1、F2的距离的
2. 引入问题：
差
等于常数
的点的轨迹是什么呢？
平面内与两定点F1、F2的距离的
复习
双曲线图象
拉链画双曲线
|MF1|+|MF2|=2a( 2a>|F1F2|>0)
①如图(A)，
|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B)，
上面 两条合起来叫做双曲线
由①②可得：
| |MF1|-|MF2| | = 2a
（差的绝对值）
|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
（1）2a<2c ；
o
F
2
F
1
M
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
（2）2a >0 ；
双曲线定义
思考：
（1）若2a=2c,则轨迹是什么？
（2）若2a>2c,则轨迹是什么？
说明
（3）若2a=0,则轨迹是什么？
| |MF1| - |MF2| | = 2a
(1)两条射线
(2)不表示任何轨迹
(3)线段F1F2的垂直平分线
F
2
F
1
M
x
O
y
求曲线方程的步骤：
双曲线的标准方程
1. 建系.
以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系
2.设点．
设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0)
3.列式
|MF1| - |MF2|=±2a
4.化简
此即为焦点在x轴上的双曲线的标准方程
F
2
F
1
M
x
O
y
O
M
F2
F1
x
y
若建系时,焦点在y轴上呢
看 前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上
2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系
1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
问题
定 义
方 程
焦 点
a.b.c的关系
F（±c，0）
F（±c，0）
a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2
a>b>0，a2=b2+c2
双曲线与椭圆之间的区别与联系
||MF1|－|MF2||=2a
|MF1|+|MF2|=2a
椭 圆
双曲线
F（0，±c）
F（0，±c）
变式2答案
课本例2
写出适合下列条件的双曲线的标准方程
练习
1.a=4,b=3,焦点在x轴上;
2.焦点为(0,-6),(0,6),过点(2,5)
3.a=4,过点(1, )
例2:如果方程 表示双曲线，求m的取值范围.
解:
方程 表示焦点在y轴双曲线时，
则m的取值范围_____________.
思考：
使A、B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合
解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.
例3.(课本第54页例)已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
如图所示，建立直角坐标系xOy,
设爆炸点P的坐标为(x,y)，则
即 2a=680，a=340
x
y
o
P
B
A
因此炮弹爆炸点的轨迹方程为
答:再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置.这是双曲线的一个重要应用.
P
B
A
C
x
y
o
几何画板演示第2题的轨迹
练习第1题详细答案
本课小结
解: 在△ABC中,|BC|=10，
故顶点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的左支
又因c=5，a=3，则b=4
则顶点A的轨迹方程为(共13张PPT)
2.1曲线和方程
—— 2.1.1曲线和方程
主要内容：
曲线和方程的概念、意义及曲线和方程的两个基本问题
重点和难点：
曲线和方程的概念
曲线和方程之间有
什么对应关系呢？
？
（1）、求第一、三象限里两轴间夹角平分线的坐标满足的关系
点的横坐标与纵坐标相等
x=y（或x-y=0）
第一、三象限角平分线
得出关系：
x-y=0
x
y
0
（1）
上点的坐标都是方程x-y=0的解
（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都在 上
曲线
条件
方程
分析特例归纳定义
满足关系：
（1）、如果
是圆上的点，那么
一定是这个方程的解
分析特例归纳定义
·
0
x
y
M
·
（2）、方程
表示如图的圆
图像上的点M与此方程 有什么关系？
的解，那么以它为坐标的点一定在圆上。
（2）、如果
是方程
（3）、说明过A（2，0）平行于y轴的直线与方程︱x︱=2的关系
①、直线上的点的坐标都满足方程︱x︱=2
②、满足方程︱x︱=2的点不一定在直线上
结论：过A（2，0）平行于y轴的直线的方程不是︱x︱=2
0
x
y
2
A
分析特例归纳定义
给定曲线C与二元方程f（x，y）=0，若满足
（1）曲线上的点坐标都是这个方程的解
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点
那么这个方程f（x，y）=0叫做这条曲线C的方程
这条曲线C叫做这个方程的曲线
定义
f(x,y)=0
0
x
y
分析特例归纳定义
曲线的方程，方程的曲线
2、两者间的关系：点在曲线上
点的坐标适合于此曲线的方程
即：曲线上所有点的集合与此曲线的方程的解集能够一一对应
3、如果曲线C的方程是f(x，y）=0，那么点
在曲线C上的充要条件
是
分析特例归纳定义
例1判断下列结论的正误并说明理由
（1）过点A（3，0）且垂直于x轴的直线为x=3
（2）到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=2
（3）到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1
对
错
错
学习例题巩固定义
例2：解答下列问题，并说明理由：
（1）判断点A（-4，3），B ，C 是否在方程 所表示的曲线上。
（2）方程 所表示的曲线经过点A
B（1，1），则a= ,b= .
下列各题中，图3表示的曲线方程是所列出的方程吗？如果不是，不符合定义中的关系①还是关系②？
(1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的折线，方程为(x-y)(x+y)=0;
(2)曲线C是顶点在原点的抛物线，方程为x+ =0;
(3)曲线C是Ⅰ, Ⅱ象限内到X轴，Y轴的距离乘积为1的点集，方程为y= 。
1
0
x
y
-1
1
0
x
y
-1
1
-2
2
1
0
x
y
-1
1
-2
2
1
图3
例3、如果曲线C上的点坐标(x,y)都是方程F(x,y)=0的解，那么（ ）
A、以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上。
B、以方程F(x,y)=0的解为坐标的点，有些不在曲线上。
C、不在曲线C上的点的坐标都不是方程F(x,y)=0的解。
D、坐标不满足F(x,y)=0的点不在曲线C上。
D
例4、证明与两坐标轴的距离的积是常数 k(k>0)的
点的轨迹方程是
例5、判断方程|x-1|+|y-1|=1所表示的曲线形状。
第一步，设M (x0,y0)是曲线C上任一点，证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；
归纳:证明已知曲线的方程的方法和步骤
第二步，设(x0,y0)是f(x,y)=0的解，证明点M (x0,y0)在曲线C上.
在轨迹的基础上将轨迹和条件化为曲线和方程，当说某方程是曲线的方程或某曲线是方程的曲线时就意味着具备上述两个条件，只有具备上述两个方面的要求，才能将曲线的研究化为方程的研究,几何问题化为代数问题，以数助形正是解析几何的思想，本节课正是这一思想的基础。
小结：(共17张PPT)
1.2.2 充要条件
高中选修《数学2-1》（新教材）
复习
充分条件，必要条件的定义:
若 ，则p是q成立的＿＿＿＿条件
q是p成立的＿＿＿＿条件
充分
必要
思考：
已知p：整数a是６的倍数，
q：整数a是２和３的倍数，
那么p是q的什么条件？
1、定义:
称:p是q的充分必要条件,简称充要条件
显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件
p与q互为充要条件
(也可以说成”p与q等价”)
1、充分且必要条件
2、充分非必要条件
3、必要非充分条件
4、既不充分也不必要条件
各种条件的可能情况
充分非必要条件
必要非充分条件
既不充分也不必要条件
充分且必要条件
2、从逻辑推理关系看充分条件、必要条件:
1）A B且B A，则A是B的
2）若A B且B A，则A是B的
3）若A B且B A，则A是B的
4）A B且B A，则A是B的
注:一般情况下若条件甲为ｘ∈Ａ，条件乙为ｘ∈Ｂ
3、从集合与集合的关系看充分条件、必要条件
3）若A B且B A，则甲是乙的
2）若A B且B A，则甲是乙的
1）若A B且B A，则甲是乙的
充分非必要条件
必要非充分条件
既不充分也不必要条件
4）若A=B ，则甲是乙的
充分且必要条件
3、从集合与集合的关系看充分条件、必要条件
A
B
1 )
A
B
2 )
A
B
3 )
A = B
4 )
小结 充分必要条件的判断方法：
定义法、集合法、等价法（逆否命题）
例1、下列各题中,那些p是q的充要条件
(1)p: b=0, q: 函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数;
(2)P: x>0,y>0, q: xy>0;
(3)P: a>b, q: a+c>b+c.
解：在(1)(3)中，p q, 所以(1)(3)中的p是q的充要条件。在(2)中，q p，所以(2)中p的不是q的充要条件。
例2、请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空：
(1)“(x-2)(x-3)=0”是“x=2”的＿＿＿＿＿＿条件.
(2)“同位角相等”是“两直线平行”的＿＿＿条件.
(3)“x=3”是“x2=9”的＿＿＿＿＿＿条件.
(4)“四边形的对角线相等”是“四边形为平行四边形”的＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿条件.
充分不必要
必要不充分
充要
既不充分也不必要
例3．在下列电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的什么条件：
如图(1)所示，开关A闭合是灯泡B亮的 条件；
如图(2)所示，开关A闭合是灯泡B亮的 条件；
如图(3)所示，开关A闭合是灯泡B亮的 条件；
如图(4)所示，开关A闭合是灯泡B亮的 条件；
充分不必要
必要不充分
充要
既不充分也不必要
例4 已知:⊙O的半径为r,圆心O到直线L的距离为d.
求证:d=r是直线L与⊙O相切的充要条件.
分析: 设:p:d=r, q:直线L与⊙O相切. 要证p是q的充要条件,只需分别证明:充分性 和必要性 即可.
P
Q
O
证明：如图，作 于点P，则OP=d。
若d=r，则点P在 上。在直线 上任取一点Q(异于点P)，连接OQ。
在 中，OQ>OP =r.
所以，除点P外直线 上的点都在 的外部，即直线 与 仅有一个公共点P。
所以直线 与 相切。
(1)充分性(p q)：
若直线 与 相切，不妨设切点为P，则 .d=OP=r.
(2)必要性(q p)：
练习1、
变.若A是B的必要而不充分条件，C是B的充
要条件，D是C的充分而不必要条件，
那么D是A的________
充分不必要条件
1、已知p,q都是r的必要条件，
s是r的充分条件，q是s的充分条件，则
（1）s是q的什么条件？
（2）r是q的什么条件？
（3）P是q的什么条件？
充要条件
充要条件
必要不充分条件
注、定义法（图形分析）
p
r
s
q
必要条件
充分条件
必要条件
3：填写“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分又不必要。
1）sinA>sinB是A>B的_________ 条件。
2）在ΔABC中，sinA>sinB是 A>B的________条件。
既不充分又不必要
充要条件
4、a＞b成立的充分不必要的条件是（ ）
A. ac＞bc B. a/c＞b/c
C. a+c＞b+c D. ac2＞bc2
5、关于x的不等式：｜x｜+｜x-1｜＞m的解集为R的充
要条件是( )
(A)m＜0 (B)m≤0 (C)m＜1 (D)m≤1
D
C
1
1
m
练习2、
1、设集合M={x|x>2},N={x|x<3},那么“x∈M或x∈N”是“x∈M∩N”的( ) A.充要条件 B必要不充分条件
C充分不必要 D不充分不必要
B
注、集合法
2、a∈R,|a|<3成立的一个必要不充分条件是( )
A.a<3 B.|a|<2 C.a2<9 D.0A
1.已知p是q的必要而不充分条件，
那么┐p是┐q的_______________.
练习3、
充分不必要条件
注、等价法
（转化为逆否命题）
2：若┐A是┐B的充要条件,┐C是┐B的充要条件,则A为C的（ ）条件
A.充要 B必要不充分 C充分不必要 D不充分不必要
Ａ
集合法与转化法
1.已知P：｜2x-3｜＞1；q：1/(x2+x-6)＞0，
则┐p是┐q的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
2、已知p：|x+1|＞2，q：x2＜5x－6,
则非p是非q的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
练习4、
A
A
1.在判断条件时，要特别注意的是它们能否互相推出，切不可不加判断以单向推出代替双向推出.
注意点
2.搞清
①A是B的充分条件与A是B的充分非必要条件之间的区别与联系；
②A是B的必要条件与A是B的必要非充分条件之间的区别与联系
３、注意几种方法的灵活使用：
定义法、集合法、逆否命题法
４、判断的技巧
①向定语看齐：顺向为充（原命题真）
逆向为必（逆命题为真）
②等价性：逆否为真即为充，
否命为真即为必。
练习５
求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条
件是a+b+c=0.
【解题回顾】充要条件的证明一般分两步：
证充分性即证A =>B，证必要性即证B=>A
练习6：设x、y∈R，求证|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0
充要条件的证明的两个方面：
1、必要性：|x+y|=|x|+|y|→xy≥0
2、充分性: xy≥0→ |x+y|=|x|+|y|
3、点明结论
练习7：已知关于x的方程 (1－a)x2＋(a＋2)x－4＝0(a∈R).
求：⑴方程有两个正根的充要条件；
⑵方程至少有一个正根的充要条件。
【解题回顾】
一是容易漏掉讨论方程二次项系数是否为零，二是只求必要条件忽略验证充分条件.即以所求的必要条件代替充要条件.
回顾总结：
1、条件的判断方法
定义法 集合法 等价法（逆否命题）
2、图形分析法（网）(共10张PPT)
2.1曲线和方程
—— 2.1.2求曲线的方程（二）
评讲作业题巩固步骤
复习：
练习：
1、已知A(-a,0),B(a,0) 若动点M与两定点A，B构成直角三角形，求直角顶点M的轨迹方程。
2、在 中，已知顶点A(1,1),B(3,6),且 的面积等于3，求顶点C的轨迹方程。
3、（江苏，06）已知两点M(-2,0),N(2,0), 点P为坐标平面内的动点，满足 。则动点P(x,y)的
轨迹方程为 。
思考2
例2、已知 中，A(-2,0),B(0,-2),第三顶点C在曲线 上移动，求 的重心轨迹方程。
例3、已知G是 的重心，A(0,-1),B(0,1),在x轴上
有一点M满足 求点C的轨迹方程。
点差法
返回
返回(共20张PPT)
双曲线的性质(三)
椭圆与直线的位置关系及判断方法
判断方法
<0
=0
>0
（1）联立方程组
（2）消去一个未知数
（3）
复习:
相离
相切
相交
一:直线与双曲线位置关系种类
X
Y
O
种类:相离;相切;相交(0个交点，一个交点，一个交点或两个交点)
位置关系与交点个数
X
Y
O
X
Y
O
相离:0个交点
相交:一个交点
相交:两个交点
相切:一个交点
判断直线与双曲线位置关系的操作程序
把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
得到一元二次方程
直线与双曲线的
渐进线平行
相交（一个交点）
计 算 判 别 式
>0
=0
<0
相交
相切
相离
(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0
1.二次项系数为0时，L与双曲线的渐近线平行或重合。
重合：无交点；平行：有一个交点。
2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,
Δ>0 直线与双曲线相交（两个交点）
Δ=0 直线与双曲线相切
Δ<0 直线与双曲线相离
②相切一点: △=0
③相 离: △＜0
一、直线与双曲线的位置关系:
①相交两点: △＞0
同侧： ＞0
异侧: ＜0
一点: 直线与渐进线平行
特别注意：
直线与双曲线的位置关系中：
一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支
应 用:
例1.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取值范围,使直线与双曲线
(1)没有公共点;
(2)有两个公共点;
(3)只有一个公共点;
(4)交于异支两点；
(5)与左支交于两点.
(3)k=±1，或k= ± ；
(4)-1＜k＜1 ；
(1)k＜ 或k＞ ；
(2) ＜k＜ ；
1.过点P(1,1)与双曲线
只有
共有_______条.
变题:将点P(1,1)改为
1.A(3,4)
2.B(3,0)
3.C(4,0)
4.D(0,0).答案又是怎样的
4
1.两条;2.三条;3.两条;4.零条.
交点的
一个
直线
X
Y
O
（1，1）
。
2.双曲线x2-y2=1的左焦点为F,点P为左支下半支上任意一点
(异于顶点),则直线PF的斜率的变化范围是_________
3.过原点与双曲线 交于两点的直线斜率的
取值范围是
二.弦的中点问题(韦达定理与点差法）
例2.已知双曲线方程为3x2-y2=3,求：
(1)以2为斜率的弦的中点轨迹；
(2)过定点B(2,1)的弦的中点轨迹；
(3)以定点B(2,1)为中点的弦所在的直线方程.
(4)以定点(1,1)为中点的弦存在吗？说明理由；
方程组无解，故满足条件的L不存在。
分析：只需证明线段AB、CD的中点重合即可。
证明: (1)若L有斜率，设L的方程为:y=kx+b
问题三：直线与双曲线相交中的垂直与对称问题
1.已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1相交于A、B两点.
(1)当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点；
(2)是否存在这样的实数a,使A、B关于y=2x对称，
若存在，求a;若不存在，说明理由.
解：将y=ax+1代入3x2-y2=1
又设方程的两根为x1,x2，A(x1,y1),B(x2,y2),
得(3-a2)x2-2ax-2=0,
它有两个实根，必须△>0,
∵原点O（0，0）在以AB为直径的圆上，
∴OA⊥OB，即x1x2+y1y2=0,
即x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0,
∴(a2+1) x1x2 +a(x1+x2 )+1=0,
解得a=±1.
例3、直线y-ax-1=0和曲线3x2-y2=1相交，交点为A、B，当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点。
问题四：切点三角形
例4、由双曲线 上的一点P与左、右
两焦点 构成 ，求 的内切圆与
边 的切点坐标。
说明：双曲线上一点P与双曲线的两个焦点 构成的三角形称之为焦点三角形，其中 和 为三角形的三边。解决与这个三角形有关的问题，要充分利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦定理。
例5、设双曲线C： 与直线
相交于两个不同的点A、B。
（1）求双曲线C的离心率e的取值范围。
（2）设直线l与y轴的交点为P，且 求a的值。
1 .位置判定
2.弦长公式
3.中点问题
4.垂直与对称
5.设而不求(韦达定理、点差法)
小结：
拓展延伸(共24张PPT)
当E,F在公垂线同一侧时取负号
当d等于0是即为“余弦定理”
< >=π—θ（或θ），
a
b
C
D
A
B
CD为a,b的公垂线
则
A，B分别在直线a,b上
已知a,b是异面直线，n为a的法向量
异面直线间的距离
即 间的距离可转化为向量 在n上的射影长，
z
x
y
A
B
C
C1
即
取x=1,则y=-1,z=1,所以
E
A1
B1
x
y
z
A
B
C
D
E
2、如图，四面体DABC中，AB，BC，BD两两垂直，且AB=BC=2，点E是AC中点；异面直线AD与BE所成
角为 ，且 ，求四面体DABC的体积。
3、在如图的实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD与平面ABEF互相垂直。活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM=BN=
（1）求MN的长；
（2）a 为何值时？MN的长最小？
（3）当MN的长最小时，
求面MNA与面MNB所成
二面角的余弦值。
A
B
C
D
E
F
M
N
4、如图6，在棱长为 的正方体 中，
分别是棱AB,BC上的动点，且 。
（1）求证： ；
（2）当三棱锥 的体积取最大值时，求二面角 的正切值。
O’
C’
B’
A’
O
A
B
C
E
F
图6
O’
C’
B’
A’
O
A
B
C
E
F
图6
5、如图，平行六面体 中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱 的长为b ,且
求（1） 的长；
（2）直线 与AC夹角的余弦值。
A
B
C
D(共22张PPT)
1.4.3 含有一个量词的命题的否定
全称命题 “对M中任意一个x,有p(x)成立”
x∈M,p(x)
读作：对任意x属于M，有p(x)成立
集合
复习回顾
特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”
符号简记为：
读作：“存在一个x属于M，使p(x)成立”
含有全称量词的命题，叫做全称命题
含有存在量词的命题，叫做特称命题
符号简记为：
x∈R ,p(x)
要判定全称命题“ x∈M, p(x) ”是真命题，需要对集合M中每个元素x, 证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题
判断全称命题和特称命题真假
要判定特称命题 “ x∈M, p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0,使p(x0)成立即可，如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，则特称命题是假命题
复习回顾
常见的全称量词有“所有的”“任意一个” “一切” “每一个” “任给”“所有的”等.
常见的存在量词有“存在一个”“至少一个” “有些” “有一个” “对某个” “有的”等.
判断下列语句是不是命题，如果是，说明其是全称命题
还是特称命题,并用符号 来表示
(1)有一个向量a，a的方向不能确定．
(2)存在一个函数f(x)，使f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)对任何实数a,b,c,方程ax2+bx+c=0都有解．
(4)平面外的所有直线中，有一条直线和这个平面垂直吗
解答(1)(2)(3)都是命题，其中(1)(2)是特称命题，(3)是全称命
题．(4)不是命题．
练习：
对全称命题、特称命题不同表述形式的学习
同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法。
命题 全称命题 特称命题
表
述
方
法
练习：
1、设集合S={四边形}，p(x)：内角和为 。试用不同的表述写出全称命题
解：对所有的四边形x，x的内角和为 ；
对一切四边形x，x的内角和为 ；
每一个四边形x，x的内角和为 ；
凡是四边形x，x的内角和为 。
2、设q(x): 适用不同的表达方式写出特称命题
命题的否定形式有：
原命题
是
都是
>
至少有一个 至多有一个
对任意x A 使p(x)真
否定形式
不是 不都是
一个也没有 至少有两个
存在x A 使p(x)假
复习回顾
情景一
设p:“平行四边形是矩形”
(1)命题p是真命题还是假命题
(2)请写出命题p的否定形式
(3)判断 p的真假
命题的否定的真值与原来的命题 .
而否命题的真值与原命题 .
相反
无关
设p:“平行四边形是矩形”
情景一
你能否用学过的“全称量词和存在量词”来解决上述问题
可以在“平行四边形是矩形”的前面加上全称量词，变为
p:“所有的平行四边形是矩形”
p:“不是所有的平行四边形是矩形”
也就是说“存在至少一个平行四边形它不是矩形”
所以， p : “存在平行四边形不是矩形”
假命题
真命题
情景二
对于下列命题：
所有的人都喝水；
存在有理数，使 ；
对所有实数都有 。
尝试对上述命题进行否定，你发现有什么规律？
想一想？
(1)所有的人都喝水；(2)存在有理数，使 ； (3)对所有实数都有 。
含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论
全称命题
它的否定
从形式看，全称命题的否定是特称命题。
新课讲授
从形式看,特称命题的否定都变成了全称命题.
含有一个量词的特称命题的否定,有下面的结论
特称命题
它的否定
写
称
题
问题讨论
写出下列命题的非．
(1)p：方程x2-x-6=0的解是x=-2．
(2)q：四条边相等的四边形是正方形．
(3)r：奇数是质数．
解答(1) p：方程x2-x-6=0的解不是x=-2．
(2) q：四条边相等的四边形不是正方形．
(3) r：奇数不是质数．
以上解答是否错误，请说明理由．
注：非p叫做命题的否定，但“非p”绝不是“是”与“不是”的简单
演绎。因注意命题中是否存在“全称量词”或“特称量词”
变式练习
巩固训练
小结
含有一个量词的命题的否定
结论：全称命题的否定是特称命题
特称命题的否定是全称命题
巩固训练
2、下列命题中假命题的个数是（ ）
(1)2x+1是整数(x R);(2)对所有的x R,x>3; (3)对任意一个x Z, 为奇数。 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3、以下三个命题：
C
B(共21张PPT)
1.3 逻辑联结词
高中选修《数学2-1》（新教材）
逻辑联结词“且”“或”“非”的含义
且：就是两者都有的意思。
或：就是两者至少有一个的意思（可兼容）
非：就是否定的意思。
注意:今后常用小写字母p,q,r,s,…表示命题。我们把使用逻辑联结词联结而成的命题称为复合命题。
观察下面的三个命题，它们之间有什么关系？
(1)12能被3整除；
(2)12能被4整除；
(3)12能被3整除且能被4整除。
可以发现（3）是由（1）（2）使用了联结词“且”得到的复合命题。
(and)
上题中（1）（2）都是真命题，所以（3）为真命题。
(1)定义：如果用联结词“且”将命题 p 和命题 q 联结起来，就得到了一个复合命题，记作
读作“p且q”.
规定：当p,q都是真命题时， 是真命题；当p,q两个命题中有一个是假命题时， 是假命题。
1、“且”命题
p
q
开关p,q的闭合对应命题的真假,则整个电路的接通与断开分别对应命题 的真与假.
(3)p且q形式复合
命题的真值表
p q p且q
真 真
真 假
假 真
假 假
假
假
假
真
例2：用逻辑联结词“且”改写下列命题，并判断它们的真假
（1）1既是奇数，又是素数；
（2）2和3都是素数。
例1：将下列命题用“且”联结成复合命题，并判断他
们的真假。
（1）p：平行四边形的对角线互相平分，q：平行四边形的对角线相等；
（2）p：菱形的对角线互相垂直， q：菱形的对角线互相平分；
（3）p：35是15的倍数，q：35是7的倍数。
观察下列命题之间的关系：
（1）27是7的倍数；
（2）27是9的倍数；
（3）27是7的倍数或是9的倍数。
可以发现：命题（3）是由命题（1）（2）使用了逻辑联结词“或”构成的复合命题。
(or)
(1)定义：一般地，用联结词“或”将命题联结起来组成的复合命题，
读作p或q
规定：当两个命题中有一个为真时， 是真命题；当两个都是假命题时， 是假命题。
2、“或”命题
上题中（1）是假命题（2）是真命题，所以（3）为真命题。
p
q
开关p,q的闭合对应命题的真假,则整个电路的接通与断开分别对应命题 的真与假.
(3)P或q形式复合命题的真值表
p q P或q
真 真
真 假
假 真
假 假
假
真
真
真
例3：判断下列命题的真假：
（1）3≥3
（3）周长相等的两个三角形全等或面积相等的
两个三角形全等。
如果为 真命题，那么 一定是真命题吗？
反之，如果 为真命题，那么 一定是真命题吗？
(not)
观察下列命题之间的关系：
（1）35能被5整除；
（2）35不能被5整除。
可以发现（2）是（1）的否定。
(1)定义：一般地，对于一个命题的全盘否定，得到了一个新的命题，记作┐p，读作“非p”或“p的否定”。
(2)命题┐p真假的判断：
p与┐p真假性相反。
当p为真命题时，则┐p为假命题；当p为假命题时，则┐p为真命题。
p 非p
真
假
(3)非p形式复合命题的真值表
假
真
3、“非”命题
例4：写出下列命题的否定，并判断它们的真假：
（1）p：y=sinx是周期函数；
（2）p：3<2；
（3）p：空集是集合A的子集。
要注意“非”对关键词的否定方式
关键词 否定方式
等于 不等于
大于 不大于(小于或等于)
小于 不小于(大于或等于)
是 不是
都是 不都是
至多有一个 至少有两个
至少有一个 一个也没有
注意：
1)逻辑联结词“且”“或”“非”与日常用语中
的“且”“或”“非”意义不尽相同.
2)有些日常用语和数学关系式中也隐含了
逻辑联结词“或”“且”“非”
3）与集合的“交”“并”“补”关系：看课本 P21阅读
请辨识下列语句中的“且”“或”“非”
(1)我们班的同学有的来自黄宅,有的来自大许.
(2)我们的新教材既注重理论,又注重实际
(3) 陆凌和韩怡是我们班的体育委员.
(4)高一没开美术课.
(5) 6<7<8.
(6)a=±b
简单命题与复合命题：
１）区别：是否有逻辑联结词．
２）复合命题的构成形式：
P且Q
P或Q
非P
准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式.
误解分析
原结论 反设词 原结论 反设词
是 不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有n个 至多有（n-1）个
小于 大于或等于 至多有n个 至少有（n+1）个
对所有x,成立 存在某x，不成立 p或q p且?q
对任何x，不成立 存在某x，成立 p且q p或?q(共3张PPT)(共18张PPT)
2.4.2抛物线的简单几何性质(1)
一、温故知新
(一) 圆锥曲线的统一定义
平面内，到定点F的距离与到定直线l的距离比为常数e的点的轨迹,
当e＞1时，是双曲线 .
当0(定点F不在定直线l上)
当e=1时，是抛物线 .
(二) 抛物线的标准方程
(1)开口向右
y2 = 2px (p>0)
(2)开口向左
y2 = -2px (p>0)
(3)开口向上
x2 = 2py (p>0)
(4)开口向下
x2 = -2py (p>0)
范围
1、
由抛物线y2 =2px（p>0）
有
所以抛物线的范围为
二、探索新知
如何研究抛物线y2 =2px（p>0）的几何性质
对称性
2、
关于x轴
对称
即点(x,-y) 也在抛物线上,
故 抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴对称.
则 (-y)2 = 2px
若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px，
顶点
3、
定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点。
y2 = 2px (p>0)中，
令y=0,则x=0.
即：抛物线y2 = 2px (p>0)的顶点（0，0）.
离心率
4、
P(x,y)
抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率。
由定义知， 抛物线y2 = 2px (p>0)的离心率为e=1.
x
y
O
F
A
B
y2=2px
2p
过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径，
利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图.
|AB|=2p
通径
5、
2p越大，抛物线张口越大.
连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。
|PF|=x0+p/2
焦半径公式：
焦半径
6、
x
y
O
F
P
方程 图形 准线 焦点 对称轴
x轴
x轴
y轴
y轴
x
F
O
y
l
x
F
O
y
l
x
F
O
y
l
x
F
O
y
l
归纳:
(1)、抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；
(2)、抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
(3)、抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；
(4)、抛物线的离心率e是确定的为１,
⑸、抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张口越大.
因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２， ），
解:
所以设方程为：
又因为点M在抛物线上：
所以：
因此所求抛物线标准方程为：
例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２， ），求它的标准方程.
三、典例精析
探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、太阳灶的镜面都是抛物镜面。
抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。
灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变
成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的
设计原理。
平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都
经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能
的理论依据。
例2：探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源
位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为60cm，灯深
40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置。
x
y
O
(40,30)
解:
所在平面内建立直
角坐标系,使反射镜
的顶点与原点重合,
x轴垂直于灯口直径.
在探照灯的轴截面
设抛物线的标准方程为:y2=2px
由条件可得A (40,30),
代入方程得:
302=2p·40
解之: p=
故所求抛物线的标准方程为: y2= x,
焦点为( ,0)
2
4
l
例3:图中是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米. 水下降1米后，水面宽多少？
x
o
A
y
若在水面上有一宽为2米,高
为1.6米的船只，能否安全通过拱桥？
思考题
2
B
A（2,－2）
x2=－2y
B（1，y）
y=－0.5
B到水面的距离为1.5米
不能安全通过
y=－3代入得
例题3
（1）已知点A（-2，3）与抛物线
的焦点的距离是5，则P = 。
（2）抛物线 的弦AB垂直x轴，若|AB|= ，
则焦点到AB的距离为 。
4
2
（3）已知直线x-y=2与抛物线 交于A、B两
点，那么线段AB的中点坐标是 。
四、课堂练习
5.点A的坐标为(3，1)，若P是抛物线 上的一动点，F是抛物线的焦点，则|PA|+|PF|的最小值为( )
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6
4、求满足下列条件的抛物线的标准方程：
(1)焦点在直线x-2y-4=0上.
(2)焦点在轴x上且截直线2x-y+1=0所得的弦长为
6、已知Q(4,0)，P为抛物线 上任一点，则|PQ|的最小值为( )
A. B. C. D.
B
C
五、归纳总结
抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；
抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
抛物线的离心率是确定的，等于１；
抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；
抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张口越大.
1、范围：
2、对称性：
3、顶点：
4、离心率：
5、通径：
6、光学性质：
从焦点出发的光线，通过抛物线反射就变成了平行光束.(共31张PPT)
研究
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用.
共线向量定理:
复习：
共面向量定理:
思考1：
1、如何确定一个点在空间的位置？
2、在空间中给一个定点A和一个定方向（向量），能确定一条直线在空间的位置吗？
3、给一个定点和两个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？
4、给一个定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？
O
P
一、点的位置向量
A
B
P
二、直线的向量参数方程
此方程称为直线的向量参数方程。这样点A和向量 不仅可以确定直线 l的位置，还可以具体写出l上的任意一点。
P
O
除 此之外, 还可以用垂直于平面的直线的方向向量(这个平面的法向量)表示空间中平面的位置.
这样，点O与向量 不仅可以确定平面 的位置，还可以具体表示出 内的任意一点。
三、平面的法向量
A
平面的法向量：如果表示向量 的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ,记作 ⊥ ，如果 ⊥ ，那 么 向 量 叫做平面 的法向量.
给定一点A和一个向量 ,那么过点A,以向量 为法向量的平面是完全确定的.
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
2.一个平面的所有法向量都互相平行;
3.向量 是平面的法向量，向量 是与平面平行或在平面内，则有
l
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的大小吗？
思考2：
四、平行关系：
五、垂直关系：
巩固性训练1
1.设 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下
列条件,判断l1,l2的位置关系.
平行
垂直
平行
巩固性训练2
1.设 分别是平面α,β的法向量,根据
下列条件,判断α,β的位置关系.
垂直
平行
相交
巩固性训练3
1、设平面 的法向量为(1,2,-2),平面 的法向量为(-2,-4,k),若 ，则k= ；若 则 k= 。
2、已知 ，且 的方向向量为(2,m,1)，平面的法向量为(1,1/2,2),则m= .
3、若 的方向向量为(2,1,m),平面 的法向量为(1,1/2,2),且 ，则m= .
例3、用向量法证明：一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
已知：直线m，n是平面 内的任意两条相交直线，且
求证：
六、夹角：
l
m
l
l
m
l
l
m
l
m
l
l(共21张PPT)
一、平面向量复习
⒈定义：
既有大小又有方向的量叫向量．
几何表示法：
用有向线段表示；
字母表示法：
用字母a、b等或者用有向线段
的起点与终点字母 表示．
相等的向量：
长度相等且方向相同的向量．
A
B
C
D
⒉平面向量的加减法运算
⑴向量的加法：
a
b
a+b
平行四边形法则
a
b
a+b
三角形法则(首尾相连)
⑵向量的减法
a
b
a-b
三角形法则
减向量终点指向被减向量终点
⒊平面向量的加法运算律
加法交换律：
a＋b＝b＋a
加法结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
推广
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：
二、空间向量及其加减运算
⒈空间向量：
空间中具有大小和方向的量叫做向量．
⑴定义：
⑵表示方法：
①空间向量的表示方法和平面向量一样；
③空间任意两个向量都可以用同一平面
内的两条有向线段表示．
②同向且等长的有向线段表示同一向量或
相等的向量；
2.空间向量的加法、减法向量
a + b
a
b
A
B
b
C
O
a - b
⒊空间向量加法运算律
⑴加法交换律：
a + b = b + a；
⑵加法结合律：
(a + b) + c =a + (b + c)；
a
b
c
a + b + c
a
b
c
a + b + c
a + b
b + c
对空间向量的加法、减法的说明
⒈空间向量的运算就是平面向量运算的推广．
⒉两个向量相加的平行四边形法则在空间仍
然成立．
⒊空间向量的加法运算可以推广至若干个向
量相加．
推广
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：
例1、给出以下命题：
（1）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同；
（2）若空间向量 满足 ，则 ；
（3）在正方体 中，必有 ；
（4）若空间向量 满足 ，则 ；
（5）空间中任意两个单位向量必相等。
其中不正确命题的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
C
变式：如图所示，长方体中，AD=2，AA1=1，AB=3。
（1）是写出与 相等的所有向量；
（2）写出与向量 的相反向量。
平行六面体：平行四边形ABCD平移向量a到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体。
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
A1
D1
C1
B1
B
A
C
D
记作ABCD—A1B1C1D1，它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。
a
A
B
C
D
A’
B’
C’
D’
例2
解：
A
B
C
D
A’
B’
C’
D’
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量
为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
例3、在如图所示的平行六面体中，
求证：
A
B
C
D
A’
B’
C’
D’
变式：
已知平行六面体 则下列四式中：
其中正确的是 。
例4、如图所示，在正方体 中，下列各式中运算的结果为向量 的共有（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
变式：
平面向量
概念
加法
减法
数乘
运算
运
算
律
定义
表示法
相等向量
减法:三角形法则
加法:三角形法则或
平行四边形法则
空间向量
具有大小和方向的量
加法交换律
加法结合律
小结
加法交换律
加法结合律
类比、数形结合(共24张PPT)
ZPZ
空间“角度”问题
一、复习引入
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
（化为向量问题）
（进行向量运算）
（回到图形）
向量的有关知识：
两向量数量积的定义：a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉
两向量夹角公式：cos 〈a,b〉 =
直线的方向向量：与直线平行的非零向量
平面的法向量：与平面垂直的向量
(课本第107页练习2)如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长.
B
A
C
D
二面角的平面角
①方向向量法 将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图（2），设二面角 的大小为
其中AB
D
C
L
B
A
例1：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为
和 ,CD的长为 , AB的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。
解：如图，
化为向量问题
根据向量的加法法则
进行向量运算
于是，得
设向量 与 的夹角为 ， 就是库底与水坝所成的二面角。
因此
A
B
C
D
图3
所以
回到图形问题
库底与水坝所成二面角的余弦值为
例1：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为
和 ,CD的长为 , AB的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。
思考：
（1）本题中如果夹角 可以测出，而AB未知，
其他条件不变，可以计算出AB的长吗？
A
B
C
D
图3
分析：
∴ 可算出 AB 的长。
（2）如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？
分析：如图，设以顶点 为端点的对角线
长为 ，三条棱长分别为 各棱间夹角为 。
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
（3）如果已知一个四棱柱的各棱长都等于 ，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 ，那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗？
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
分析：
二面角
平面角
向量的夹角
回归图形
解：如图，在平面 AB1 内过 A1 作
A1E⊥AB 于点 E，
E
F
在平面 AC 内作 CF⊥AB 于 F。
∴可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。
空间“夹角”问题
1.异面直线所成角
l
m
l
m
若两直线 所成的角为 , 则
例2
解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则：
所以：
所以 与 所成角的余弦值为
练习：
在长方体 中，
①方向向量法 将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图（2），设二面角 的大小为
其中AB
D
C
L
B
A
2、二面角
注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角
L
将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。如图，向量 ，
则二面角 的大小 ＝〈 〉
2、二面角
若二面角 的大小为 , 则
②法向量法
例2 正三棱柱 中，D是AC的中点，当 时，求二面角
的余弦值。
C
A
D
B
C1
B1
A1
解法一：如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz。设底面三角形的边长为a，侧棱长为b,
则 C(0,0,0)
故
则可设 =1， ，则B(0,1,0)
y
x
z
C
A
D
B
C1
B1
A1
F
E
作 于E, 于F，
则〈 〉即为二面角 的大小
在 中，
即E分有向线段 的比为
由于 且 ，所以
在 中，同理可求
∴
cos〈 〉=
∴
即二面角 的余弦值为
y
x
z
C
A
D
B
C1
B1
A1
F
E
解法二：同法一，以C为原点建立空间直角坐标系 C-xyz
在坐标平面yoz中
设面 的一个法向量为
同法一，可求 B(0,1,0)
∴
可取 ＝(1,0,0)为面 的法向量
∴
y
x
z
C
A
D
B
C1
B1
A1
由 得
解得
所以，可取
二面角 的大小等于〈 〉
∴
∴
cos〈 〉=
即二面角 的余弦值为
方向朝面外， 方向朝面内，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角
1. 已知正方体 的边长为2，
O为AC和BD的交点，M为 的中点
（1） 求证： 直线 面MAC
（2）求二面角 的余弦值
巩固练习
B1
A1
C1
D1
D
C
B
A
O
M
A
B
n
2. 线面角
设n为平面 的法向量，直线AB与平面 所成的角为 ，向量 与n所成的角为 ，
则
n
而利用 可求 ，
从而再求出
2. 线面角
l
设直线l的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，且直线 与平面 所成的角为 ( ),则(共17张PPT)
2.4.2抛物线的简单几何性质(2)
复习： 1、抛物线的几何性质
图 形 方程 焦点 准线 范围 顶点 对称轴 e
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
y2 = 2px
（p>0）
y2 = -2px
（p>0）
x2 = 2py
（p>0）
x2 = -2py
（p>0）
x≥0
y∈R
x≤0
y∈R
y≥0
x∈R
y ≤ 0
x∈R
(0,0)
x轴
y轴
1
2、通径：
通过焦点且垂直对称轴的直线，
与抛物线相交于两点，连接这
两点的线段叫做抛物线的通径。
|PF|=x0+p/2
x
O
y
F
P
通径的长度：2P
P越大,开口越开阔
3、焦半径：
连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。
焦半径公式：
下面请大家推导出其余三种标准方程抛物线的焦半径公式。
通过焦点的直线，与抛物
线相交于两点，连接这两点的
线段叫做抛物线的焦点弦。
x
O
y
F
A
补、焦点弦：
焦点弦公式：
下面请大家推导出其余三种标准方程抛物线的焦点弦公式。
B
方程
图
形
范围
对称性
顶点
焦半径
焦点弦的长度
y2 = 2px
（p＞0）
y2 = -2px
（p＞0）
x2 = 2py
（p＞0）
x2 = -2py
（p＞0）
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
x≥0
y∈R
x≤0
y∈R
x∈R
y≥0
y≤0
x∈R
l
F
y
x
O
关于x轴对称
关于x轴对称
关于y轴对称
关于y轴对称
（0,0）
（0,0）
（0,0）
（0,0）
例1、斜率为1的直线 经过抛物线 的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长。
例2、已知过抛物线 的焦点F的直线交抛物线于 两点。
（1） 是否为定值？ 呢？
（2） 是否为定值？
x
O
y
F
A
B
这一结论非常奇妙,
变中有不变,动中有不动.
x
y
O
A
B
D
F
l
例3、过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。
x
y
O
F
A
B
D
变式题（2001年高考题）
设抛物线 的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BC||x 轴，证明：直线AC经过原点O。
x
O
A
B
D
F
l
y
由此可得|y1|=|y2|,，即线段AB关于x轴对称。
因为x轴垂直于AB，且 ，
例4、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线 上，求这个三角形的边长。
解：如图，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2),则
又|OA|=|OB|，所以x12+y12=x22+y22
即 x12-x22+2px1-2px2=0, (X12-x22)+2p(x1-x2)=0,
y
x
o
A
B
(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.
X1>0，X2>0，2p>0,
X1=X2.
所以
(x1,y1)
(x2,y2)
例5.已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB中点纵坐标的最小值。
.
x
o
y
F
A
B
M
C
N
D
解：
1.过抛物线 的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，
若PF与FQ的长分别是 ( )(A)2a (B) (C)4a (D)
y
x
F
.
P
Q
2.已知A、B是抛物线 上两点，O为坐标原点，若
的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB的方
程是：( )
(A) (B) (C) (D)
A
B
O
F
.
y
x
C
D(共17张PPT)
ZPZ
空间“距离”问题
一、复习引入
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
（化为向量问题）
（进行向量运算）
（回到图形）
空间“距离”问题
1. 空间两点之间的距离
根据两向量数量积的性质和坐标运算，
利用公式 或
(其中 ) ，可将两点距离问题
转化为求向量模长问题
例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
图1
解：如图1，设
化为向量问题
依据向量的加法法则，
进行向量运算
所以
回到图形问题
这个晶体的对角线 的长是棱长的 倍。
思考：
（1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？
（2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 , 那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
分析:
分析:
∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。
（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？ 设AB=1 （提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
H
分析：面面距离
点面距离
解：
∴ 所求的距离是
问题：如何求直线A1B1到平面ABCD的距离？
2、向量法求点到平面的距离：
D
A
B
C
G
F
E
x
y
z
D
A
B
C
G
F
E
x
y
z
A
P
D
C
B
M
N
解：如图,以D为原点建立空间直角坐标系D－xyz
则D(0,0,0),A( ,0,0),B( , ,0),C(0, ,0),P(0,0, )
A
P
D
C
B
M
N
z
x
y
2.(课本第107页练习2)如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长.
B
A
C
D
当E,F在公垂线同一侧时取负号
当d等于0是即为“余弦定理”
< >=π—θ（或θ），
a
b
C
D
A
B
CD为a,b的公垂线
则
A，B分别在直线a,b上
已知a,b是异面直线，n为a的法向量
3. 异面直线间的距离
即 间的距离可转化为向量 在n上的射影长，
z
x
y
A
B
C
C1
即
取x=1,则y=-1,z=1,所以
E
A1
B1
小结
1、E为平面α外一点,F为α内任意一
点, 为平面α的法向量,则点E到平面的
距离为:
2、a,b是异面直线,E,F分别是直线a,b
上的点, 是a,b公垂线的方向向量,
则a,b间距离为(共14张PPT)
焦点在y轴上,中心在原点：
焦点在x轴上,中心在原点：
椭圆的标准方程:(这两种坐标系下的方程形式,是最简的)
1
2
y
o
F
F
M
x
(1)
(2)
b2=a2— c2
c
a
b
1
2
y
o
F
F
x
1
o
F
y
x
2
F
M
其中F1(-c,0)，F2(c,0)
其中F1(0,-c)，F2(0,c)
M
知识概括
椭圆的定义
图形
标准方程
焦点坐标
a,b,c的关系
焦点位置的判断
F1(-c,0)，F2(c,0)
F1(0,-c)，F2(0,c)
看分母的大小,焦点在分母大的那一项对应的坐标轴上.
1
2
y
o
F
F
M
x
1
o
F
y
x
2
F
M
例1
c
a
b
M
2答案
注:①这样设不失为一种方法.
动画演示
例3、如图，在圆 上任取一点P作x轴的垂线段PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？
解:设点M坐标为M(x,y), 点P的坐标为
P(x’,y’),则
由题意可得：
因为
所以
即
这就是点M的轨迹方程，它表示一个椭圆。
相关点分析法:即利用中间变量求曲线方程.
o
x
y
P
M
D
例5：已知 是椭圆 的两个焦点，
P是椭圆上任一点。
（1）若 求 的面积。
（2）求 的最大值。(共24张PPT)
空间“综合”问题
复习引入
如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2。求：
(1)异面直线SA和OB所成的角的余弦值
(2)OS与面SAB所成角的余弦值
(3)二面角B－AS－O的余弦值
O
A
B
C
S
x
y
z
【课后作业】
z
x
y
F1
F2
F3
A
C
B
O
500kg
例1、如图,一块均匀的正三角形面的钢板的质量为 ，在它的顶点处分别受力 、 、 ，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是 ，且 .这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多大时，才能提起这块钢板？
F1
F3
F2
F1
F2
F3
A
C
B
O
500kg
F1
F3
F2
例4 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
(1)求证：PA//平面EDB
(2)求证：PB⊥平面EFD
(3)求二面角C-PB-D的大小。
A
B
C
D
P
E
F
A
B
C
D
P
E
F
X
Y
Z
G
解：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1
(1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG
A
B
C
D
P
E
F
X
Y
Z
G
(2)求证：PB⊥平面EFD
A
B
C
D
P
E
F
X
Y
Z
(3)求二面角C-PB-D的大小。
A
B
C
D
P
E
F
X
Y
Z
当E,F在公垂线同一侧时取负号
当d等于0是即为“余弦定理”
< >=π—θ（或θ），
a
b
C
D
A
B
CD为a,b的公垂线
则
A，B分别在直线a,b上
已知a,b是异面直线，n为a的法向量
异面直线间的距离
即 间的距离可转化为向量 在n上的射影长，
z
x
y
A
B
C
C1
即
取x=1,则y=-1,z=1,所以
E
A1
B1
x
y
z
A
B
C
D
E
2、如图，四面体DABC中，AB，BC，BD两两垂直，且AB=BC=2，点E是AC中点；异面直线AD与BE所成
角为 ，且 ，求四面体DABC的体积。
3、在如图的实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD与平面ABEF互相垂直。活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM=BN=
（1）求MN的长；
（2）a 为何值时？MN的长最小？
（3）当MN的长最小时，
求面MNA与面MNB所成
二面角的余弦值。
A
B
C
D
E
F
M
N
4、如图6，在棱长为 的正方体 中，
分别是棱AB,BC上的动点，且 。
（1）求证： ；
（2）当三棱锥 的体积取最大值时，求二面角 的正切值。
O’
C’
B’
A’
O
A
B
C
E
F
图6
O’
C’
B’
A’
O
A
B
C
E
F
图6
5、如图，平行六面体 中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱 的长为b ,且
求（1） 的长；
（2）直线 与AC夹角的余弦值。
A
B
C
D(共15张PPT)
标准方程
范围
对称性
顶点坐标
焦点坐标
半轴长
离心率
a、b、c的关系
|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称
(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)
(c,0)、(-c,0)
长半轴长为a,短半轴长为b. a>b
a2=b2+c2
|x|≤ b,|y|≤ a
同前
(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)
(0 , c)、(0, -c)
同前
同前
同前
复习练习：
1.椭圆的长短轴之和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为（ ）
2、下列方程所表示的曲线中，关于x轴和y 轴
都对称的是（ ）
A、X2=4Y B、X2+2XY+Y=0 C、X2-4Y2=X
D、9X2+Y2=4
C
D
练习
1、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率为 。
2、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形，则其离心率为 。
3、若椭圆的 的两个焦点把长轴分成三等分，则其离心率为 。
4、若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，
则其离心率e=__________
(±a,0)
a
(0, ±b)
b
(-a,0)
a+c
(a,0)
a-c
6、
5、以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率 。
例1 如图,我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道,是以地心(地球的中心)F2为一个焦点的椭圆,已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439km,远地点B距地面2384km.并且F2、A、B在同一直线上，地球半径约为6371km,求卫星运行的轨道方程（精确到1km).
X
O
F1
F2
A
B
X
X
Y
解：以直线AB为x轴,线段AB的中垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系，AB与地球交与C,D两点。
由题意知：
|AC|=439,
|BD|=2384,
D
C
∴b≈7722.
2、2005年10月17日，神州六号载人飞船带着亿万中华儿女千万年的梦想与希望，遨游太空返回地面。其运行的轨道是以地球中心为一焦点的椭圆，设其近地点距地面m(km)，远地点距地面n(km)，地球半径R(km)，则载人飞船运行轨道的短轴长为（ ）
A. mn(km) B. 2mn(km)
D
H
d
思考上面探究问题，并回答下列问题：
探究：
（1）用坐标法如何求出其轨迹方程，并说出轨迹
（2）给椭圆下一个新的定义
椭圆的第一定义与第二定义是相呼应的。
定义 1 图 形 定义 2
平面内与
练 习
（a>b>0）左焦点为F1，右焦点为F2，P0（x0,y0）为椭圆上一点，则|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0。其中|PF1|、 |PF2|叫焦半径.
（a>b>0）下焦点为F1，上焦点为F2，P0（x0,y0）为椭圆上一点，则|PF1|=a+ey0，|PF2|=a-ey0。其中|PF1|、 |PF2|叫焦半径.
说明：
P
F1
F2
X
Y
O
练习：已知椭圆 P为椭圆在第一象限内的点，它
与两焦点的连线互相垂直，求P点的坐标。
法二
定义：
注：我们一般把这个定义称为椭圆的第二定义，
而相应的把另一个定义称为椭圆的第一定义。
定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线。(共14张PPT)
常用逻辑用语
命题及其关系
全称量词存在量词
充分条件必要条件充要条件
简单的逻辑联结词:且、或、非
注:(1) “互为”的;
(2)原命题与其逆否命题同真同假.
(3)逆命题与否命题同真同假.
原命题
若p,则q
逆否命题
若 q,则 p
否命题
若 p,则 q
逆命题
若q,则p
互逆
互 否
互 否
互逆
互为逆否
同真同假
二、充要条件、必要条件的判定
对于充分条件和必要条件，要能够正确地理解和判断
(2)从命题的角度去理解．
设原命题为“若p，则q”，则
①若原命题为真，则p是q的 ．
②若逆命题为真，则p是q的 ．
③若原命题和逆命题都为真，则p是q的 .
④若原命题为真而逆命题为假，则p是q的 .
⑤若原命题为假而逆命题为真，则p是q的 ．
⑥若原命题和逆命题都为假，则p是q的 .
充分条件
必要条件
充要条件
充分不必要条件
必要不充分件
既不充分也不必要条件
(1)从概念的角度去理解．
①若p q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．
②若p q，则p是q的充要条件．
⑧若p q，且q?p，则称p是q的充分不必要条件．
④若p?q，且q p，则称p是q的必要不充分条件．
⑤若p?q，且q?p，则称p是q的既不充分也不必要条件
(3)从集合的角度去理解．
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即
A={x|p(x)}，B={x|q(x))，则
①若A B，则p是q的 ．
②若B A，则p是q的 ．
③若A=B，则p是q的 ．
④若A B且B?A，则p是q的 ．
⑤若B A且A?B，则p是q的 ．
⑥若A?B且B?A，则p是q的 .
充分条件
必要条件
充要条件
充分不必要条件
必要不充分条件
既不充分也不必要条件
同步练习
1.
A
2.
C
3.
B
4.设p：实数x满足x2-4ax+3a2<0，其中a<0；q：实数x满足x2-x-6≤0或x2+2x-8>0，且 P是 q的必要不充分条件，
求a的取值范围．
也就是p q且q?p．
化简条件p得，A={x|3a化简条件q得，B={x|x<-4或x≥-2}
分析：本题可依据四种命题间的关系进行等价转化．
解：由 P是 q的必要不充分条件，转化成它的逆否命题q是P的必要不充分条件，即P是q的充分不必要条件，
“或”
“且”
“非”
特别注意对一些词语的否定
词语 否定 词语 否定
等于 不等于 任意的 某个
大于 不大于 所有的 某些
小于 不小于 且 或
是 不是 都是 不都是
至多有一个 至少有两个 至多有n个 至少有(n+1)个
至少有一个 一个都没有 至少有n个 至多有(n-1)个
3答案
3答案
3答案(共17张PPT)
判断直线与双曲线位置关系的操作程序
把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
得到一元二次方程
直线与双曲线的
渐进线平行
相交（一个交点）
计 算 判 别 式
>0
=0
<0
相交
相切
相离
复习:
练习：判断下列直线与双曲线的位置关系
相交(一个交点)
相离
2.过点P(1,1)与双曲线
只有
共有_______条.
变题:将点P(1,1)改为
1.A(3,4)
2.B(3,0)
3.C(4,0)
4.D(0,0).答案又是怎样的
4
1.两条;2.三条;3.两条;4.零条.
交点的
一个
直线
X
Y
O
（1，1）
。
3.双曲线x2-y2=1的左焦点为F,点P为左支下半支上任意一点
(异于顶点),则直线PF的斜率的变化范围是_________
4.过原点与双曲线 交于两点的直线斜率的
取值范围是
x
y
O
直线与抛物线的位置关系
一、直线与抛物线位置关系种类
x
y
O
1、相离；2、相切；3、相交（一个交点，两个交点）
与双曲线的情况一样
x
y
O
二、判断方法探讨
1、直线与抛物线相离，无交点。
例：判断直线 y = x +2与
抛物线 y2 =4x 的位置关系
计算结果：得到一元二次方程，需计算判别式。相离。
x
y
O
二、判断方法探讨
2、直线与抛物线相切，交与一点。
例：判断直线 y = x +1与
抛物线 y2 =4x 的位置关系
计算结果：得到一元二次方程，需计算判别式。相切。
x
y
O
二、判断方法探讨
3、直线与抛物线的对称轴平行，相交与一点。
例：判断直线 y = 6
与抛物线 y2 =4x 的位置关系
计算结果：得到一元一次方程，容易解出交点坐标
x
y
O
二、判断方法探讨
例：判断直线 y = x -1与
抛物线 y2 =4x 的位置关系
计算结果：得到一元二次方程，需计算判别式。相交。
4、直线与抛物线的对称轴不平行，相交与两点。
三、判断位置关系方法总结(方法一)
把直线方程代入抛物线方程
得到一元一次方程
得到一元二次方程
直线与抛物线相交(一个交点)
计算判别式
1、判别式大于 0，相交(2交点）
2、判别式等于 0，相切
3、判别式小于 0，相离
三、判断位置关系方法总结(方法二)
判断直线是否与抛物线的对称轴平行
不平行
直线与抛物线相交(一个交点)
计算判别式
判别式大于 0，相交
判别式等于 0，相切
判别式小于 0，相离
平行
例1 过抛物线 y2=2x的焦点做倾斜角为450的弦AB,则AB的长度是多少
答: 4
变1 已知抛物线 截直线y=x+b所得弦长为4,求b的值.
变2 已知抛物线 截直线y=kx+1所得弦长为4,求k的值.
例2 求过定点P（0，1）且与抛物线
只有一个公共点的直线的方程.
由{ 得 {
故直线 x=0与抛物线只有一个交点.
解: (1)若直线斜率不存在,则过点P的直线方程是
由方程组 { 消去 y 得
(2)若直线斜率存在,设为k,则过P点的直线方程是
y=kx+1,
x=0.
故直线 y=1 与抛物线只有一个交点 .
当k≠0时，若直线与抛物线只有一个公共点，则
此时直线方程为
综上所述，所求直线方程是 x=0 或 y=1 或
点评：本题用了分类讨论的方法.若先用数形结合，找出符合条件的直线的条数，就不会造成漏解。
当 k=0时，x= ,y=1.
例3 求抛物线 被点P(-1,1)平分的弦所在直线方程.
变形:求斜率为4且与抛物线 相交的平行弦的中点轨迹方程.
直线y= -1在抛物线内的部分
例4 求抛物线 上一点到直线x-2y+4=0
的距离最小值及该点坐标.(共22张PPT)
3.1.4空间向量的正交分
解及其坐标表示
l
α
O
P
例1 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
已知：如图，PO,PA分别是平面α的垂线，斜线,AO是PA在平面α内的射影，
A
l
α
O
P
A
已知：如图，PO,PA分别是平面α的垂线，斜线,AO是PA在平面α内的射影，
a
分析:同样可用向量,证明思路几乎一样,只不过其中的加法运算用减法运算来分析.
α
n
l
m
g
n
z
m
g
l
例2 如图，m,n是平面α内的两条相交直线。如果l⊥m,l⊥n,求证：l⊥α
3.1.4空间向量的正交分
解及其坐标表示
共线向量定理:
复习：
共面向量定理:
平面向量基本定理：
平面向量的正交分解及坐标表示
x
y
o
问题：
我们知道，平面内的任意一个向量 都可以用两个不共线的向量 来表示（平面向量基本定理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？
x
y
z
O
Q
P
由此可知，如果 是空间两两垂直的向量，那么，对空间任一向量 ，存在一个有序实数组 {x,y,z}使得
我们称 为向量 在
上的分向量。
探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量
代替两两垂直的向量 ，你能得出类似的
结论吗？
任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。
空间向量基本定理：
如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使
都叫做基向量
（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。
特别提示：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面，
还应明确：
（2） 由于可视 为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是 。
（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。
推论：设O、A、B、C是不共线的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组{x,y,z}，使
当且仅当x+y+z=1时，P、A、B、C四点共面。
一、空间直角坐标系
单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底,常用e1 , e2 , e3 表示
空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底 e1,e2,e3 ,以点O为原点，分别以e1,e2,e3的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个空间直角坐标系O--xyz
点O叫做原点，向量e1,e2,e3都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。
给定一个空间坐标系和向量 ,且设e1,e2,e3为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y, z)使
p = xe1+ye2+ze3
有序数组( x, y, z)叫做p在空间直角坐标系O--xyz中的坐标，记作.P=(x,y,z)
二、空间向量的直角坐标系
x
y
z
O
e1
e2
e3
在空间直角坐标系O--xyz中，对空间任一点，A,对应一个向量OA，于是存在唯一的有序实数组x,y,z，使 OA=xe1+ye2+ze3
在单位正交基底e1, e2, e3中与向量OA对应的有序实数组(x,y,z)，叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x,y,z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.
x
y
z
O
A(x,y,z)
e1
e2
e3
练习：
1、在空间坐标系o-xyz中， ( 分别是与x轴、 y轴、 z轴的正方向相同的单位向量)则 的坐标为 ，点B的坐标为 。
2、点M（2，-3，-4）在坐标平面xoy、xoz、yoz内的正投影的坐标分别为 ，关于原点的对称点为 ，关于轴的对称点为 ，
例题
已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N，分别是对边OA，BC的中点，点P，Q是线段MN三等分点，用基向量OA，OB，OC表示向量OP,OQ.
B
O
A
C
P
N
M
Q
1、已知向量{a，b，c}是空间的一个基底．
求证：向量a+b，a-b，c能构成空间的一个基底．
练习
练习2(共20张PPT)
1.4全称量词 与存在量词
高中选修《数学2-1》（新教材）
1.4.1 全称 量词
想一想？？
短语“所有的”“任意一个” 在逻辑中通常叫做全称量词．用符号“ ”表示。
含有全称量词的命题，叫做全称命题。
是整数
是整数
常见的全称量词还有“一切” “每一个” “任给”“所有的”等.
要判断一个全称命题为真，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p(x)为真；但要判断一个全称命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假。
练习：判断下列命题的真假：
(1)
(2)
1.4.2 存 在 量 词
想一想？？
短语“存在一个”“至少一个” 在逻辑中通常叫做存在量词．用符号“ ”表示。
含有存在量词的命题，叫做特称命题。
常见的存在量词还有“有些” “有一个” “对某个” “有的”等.
要判断一个特称命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；要判断一个特称命题为假，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p(x)为假。
练习：判断下列命题的真假：
(1)
(2)
例、判断下列命题是全称命题，还是特称命题？
（1）方程2x=5只有一解；
（2）凡是质数都是奇数；
（3）方程2x2＋1=0有实数根；
（4）没有一个无理数不是实数；
（5）如果两直线不相交，则这两条直线平行；
（6）集合A∩B是集合A的子集；
练习：判断下列语句是不是全称命题或者存在性命题，如果是，用量词符号表达出来。
（1）中国的所有江河都注入太平洋；
（2）0不能作除数；
（3）任何一个实数除以1，仍等于这个实数；
（4）每一个向量都有方向吗？
1.4.3 含有一个量词的命题
的否定
想一想？
含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论
全称命题
它的否定
从形式看，全称命题的否定是特称命题。
1)所有实数的绝对值都不是正数;
2)每一个平行四边形都不是菱形;
3)
想一想？
否定:
含有一个量词的特称命题的否定,有下面的结论
特称命题
它的否定
从形式看,特称命题的否定都变成了全称命题.
写
称
题
含有一个量词的命题的否定
1 全称命题p：
x∈M，p(x)
p
它的否定 ：
x∈M， p(x)
2 特称命题p：
x∈M，p(x)
p
它的否定 ：
x∈M， p(x)
全称命题的否定是特称命题,
特称命题的否定是全称命题.(共18张PPT)
3.1.2空间向量的
数乘运算
加法交换律
加法:三角形法则或
平行四边形法则
减法:三角形法则
加法结合律
注:两个空间向量的加、减法与两个平面向量的加、减法实质是一样的.
a
b
a
b
b
b
我们知道平面向量还有数乘运算.
类似地,同样可以定义空间向量的数乘运算,其运算律是否也与平面向量完全相同呢
?
例如:
一、
显然,空间向量的数乘运算满足分配律及结合律
F
E
D
C
B
A
思考1:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量
表达式，并标出化简结果的向量.(如图)
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
G
M
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
M
N
例2、平行六面体 ，M分 成的
比为 ，N分 成的比为2，设
试用
表示 。
例3、已知 是平行六面体。
（1）化简 ，并在图中标出其结果；
（2）设M是底面ABCD的中心，N是侧面 对角线
上的3/4分点，设 ，试求
的值。
练习：
如图，已知正方体 ，点E是上底面
的中心，求下列各式中x、y、z的值：
二、共线向量及其定理
二、共线向量及其定理
l
A
P
B
即，P,A,B三点共线。或表示为：
分析:
证三点共线可尝试用向量来分析.
练习2:已知A、B、P三点共线，O为直线AB
外一点 , 且 ，求 的值.
N
练习2:已知A、B、P三点共线，O为直线AB
外一点 , 且 ，求 的值.
学习共面
例4、已知四边形ABCD是空间四边形，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上的点，且
求证：四边形EFGH是梯形。
三.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
O
A
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了。
A
M
C
G
D
B(共13张PPT)
双曲线的性质(二)
关于x轴、y轴、原点对称
图形
方程
范围
对称性
顶点
离心率
y
x
O
A2
B2
A1
B1
.
.
F1
F2
y
B2
A1
A2
B1
x
O
.
.
F2
F1
A1（- a，0），A2（a，0）
B1（0，-b），B2（0，b）
F1(-c,0) F2(c,0)
F1(-c,0)
F2(c,0)
关于x轴、y轴、原点对称
A1（- a，0），A2（a，0）
渐进线
无
关于x轴、y轴、原点对称
图形
方程
范围
对称性
顶点
离心率
A1（- a，0），A2（a，0）
A1（0，-a），A2（0，a）
关于x轴、y轴、原点对称
渐进线
.
.
y
B2
A1
A2
B1
x
O
F2
F1
x
B1
y
O
.
F2
F1
B2
A1
A2
.
F1(-c,0)
F2(c,0)
F2(0,c)
F1(0,-c)
1、“共渐近线”的双曲线
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线；λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。
2、“共焦点”的双曲线
（1）与椭圆 有共同焦点的双曲线方程表
示为
（2）与双曲线 有共同焦点的双曲线方
程表示为
复习练习：
2. 求与椭圆
有共同焦点，渐近线方程为
的双曲线方程。
3、求以椭圆 的焦点为顶点，以椭圆的
顶点为焦点的双曲线的方程。
例1、双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线
的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的
最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径
为25m,高55m.选择适当的坐标系，求出此
双曲线的方程(精确到1m).
A′
A
0
x
C′
C
B′
B
y
13
12
25
例题讲解
例2、点M（x,y）与定点F（5,0），的距离
和它到定直线 ： 的距离的比是常
数 , 求点M的轨迹.
y
0
d
直线与双曲线问题：
例3、如图，过双曲线 的右焦点
倾斜角为 的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|。
切点三角形
例4、由双曲线 上的一点P与左、右
两焦点 构成 ，求 的内切圆与
边 的切点坐标。
说明：双曲线上一点P与双曲线的两个焦点 构成的三角形称之为焦点三角形，其中 和 为三角形的三边。解决与这个三角形有关的问题，要充分利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦定理。
例5、设双曲线C： 与直线
相交于两个不同的点A、B。
（1）求双曲线C的离心率e的取值范围。
（2）设直线l与y轴的交点为P，且 求a的值。
练习：
1、已知双曲线 ，过点P(1,1)的直线l与
双曲线只有一个公共点，求直线l 的斜率。(共17张PPT)
3.1.2空间向量的
数乘运算（二）
一、共线向量:
零向量与任意向量共线.
1.共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作
2.共线向量定理:对空间任意两个向量
的充要条件是存在实数 使
O
A
B
P
a
若P为A,B中点,
则
向量参数表示式
推论:如果 为经过已知点A且平行已知非零向量 的直线,那么对任一点O,点P在直线 上的充要条件是存在实数t,满足等式
其中向量 叫做直线 的方向向量.
若
则A、B、P三点共线。
共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
O
A
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了。
1、如果向量e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么，该平面内的任一向量a与 e1, e2有什么关系
如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么，该平面内的任一向量a，存在惟一的一对实数a1，a2，使 a＝ a1 e1 ＋a2 e2
2、平面向量基本定理
复习：
（1）必要性：如果向量c与向量a，b共面，
则通过平移一定可以使他们位于同一平面内，
由平面向量基本定理可知，一定存在唯一的实数对x，y，
使c＝x a＋y b
3、共面向量定理：
如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b 共面的充要条件是，存在唯一的一对实数 x，y，使 c＝x a＋y b
证明：
（2）充分性：如果c 满足关系式c＝xa＋yb，则可选定一点O，作OA＝xa，OB＝AC＝yb，于是OC＝OA＋AC＝xa＋yb＝c，显然OA，OB，OC，都在平面OAB内，故c，a，b共面
B
A
C
O
c
共面向量定理的剖析
如果两个向量 a，b 不共线,
★ 向量c与向量a，b共面
存在唯一的一对实数x，y，使 c＝xa＋yb
★ c＝xa＋yb
向量c与向量a，b共面
(性质)
(判定)
思考2（课本P88思考）
即，P、A、B、C四点共面。
得证.
为什么
例1、已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，确定在下列条件下，M是否与A，B，C三点共面：
例2(课本例)如图，已知平行四边形ABCD,从平
面AC外一点O引向量 , ,
, ,
求证：
⑴四点E、F、G、H共面；
⑵平面EG//平面AC.
例2 (课本例)已知 ABCD ，从平面AC外一点O引向量
求证：①四点E、F、G、H共面；
②平面AC//平面EG.
证明：
∵四边形ABCD为
①
∴
（﹡）
（﹡）代入
所以 E、F、G、H共面。
例2 已知 ABCD ，从平面AC外一点O引向量
求证：①四点E、F、G、H共面；
②平面AC//平面EG。
证明：
由面面平行判定定理的推论得：
②
由①知
1.对于空间任意一点O，下列命题正确的是：
(A)若 ，则P、A、B共线
(B)若 ，则P是AB的中点
(C)若 ，则P、A、B不共线
(D)若 ，则P、A、B共线
2.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点
O， , 则x的值为( )
1.下列说明正确的是： (A)在平面内共线的向量在空间不一定共线
(B)在空间共线的向量在平面内不一定共线
(C)在平面内共线的向量在空间一定不共线
(D)在空间共线的向量在平面内一定共线
2.下列说法正确的是： (A)平面内的任意两个向量都共线
(B)空间的任意三个向量都不共面
(C)空间的任意两个向量都共面
(D)空间的任意三个向量都共面
例3：已知斜三棱柱ABC-A’B’C’，设AB＝a，AC＝b，AA’＝c，在面对角线AC’上和棱BC上分别取点M和N，使AM＝kAC’，BN＝kBC（0≤k≤1）。
求证：MN与向量 a 和 c 共面
变式：
求证：MN∥平面ABB’A’
M
N
C
B
A’
C’
B’
a
c
b
A(共16张PPT)
ZPZ
空间“角度”问题
1.异面直线所成角
l
m
l
m
若两直线 所成的角为 , 则
复习引入
①方向向量法 将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图（2），设二面角 的大小为
其中AB
D
C
L
B
A
2、二面角
注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角
L
将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。如图，向量 ，
则二面角 的大小 ＝〈 〉
2、二面角
若二面角 的大小为 , 则
②法向量法
A
B
n
3. 线面角
设n为平面 的法向量，直线AB与平面 所成的角为 ，向量 与n所成的角为 ，
则
n
而利用 可求 ，
从而再求出
3. 线面角
l
设直线l的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，且直线 与平面 所成的角为 ( ),则
2、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a=（1，0，1），b=（0，1，1），那么这条斜线与平面所成的角是______ .
3、已知两平面的法向量分别m=(0,1,0),n=(0,1,1)，则两平面所成的钝二面角为______ .
基础训练:
1、已知 =(2,2,1), =(4,5,3),则平面ABC的一个法向量是______ .
600
1350
N
解：如图建立坐标系A-xyz,则
即
在长方体 中，
例1：
N
又
在长方体 中，
例1：
例2、如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC 底面ABCD。已知 AB=2，BC= ，SA=SB= .
(1)求证
(2)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值。
S
A
B
C
D
O
x
y
z
【典例剖析】
例3 如图,在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=1,AD= ，在线段BC上是否存在一点E,使PA与平面PDE所成角的大小为450 若存在，确定点E的位置；若不存在说明理由。
【典例剖析】
D
B
A
C
E
P
x
z
y
解：以A为原点，AD、AB、AP所在的直线分别为X轴、Y轴、Z轴，建立空间直角坐标系，
设BE=m，则
例4、(2004，天津)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD 底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点。
(1)证明：PA//平面EDB；
(2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值。
【典例剖析】
A
B
C
D
P
E
G
x
y
z
【巩固练习】
1 三棱锥P-ABC PA⊥ABC,PA=AB=AC,
,E为PC中点 ,则PA与BE所成角的余弦值为_________ .
2 直三棱柱ABC-A1B1C1中, A1A=2, AB=AC=1, 则AC1与截面BB1CC1所成
角的余弦值为_________ .
3正方体中ABCD-A1B1C1D1中E为A1D1的
中点, 则二面角E-BC-A的大小是__________
如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2。求：
(1)异面直线SA和OB所成的角的余弦值
(2)OS与面SAB所成角的余弦值
(3)二面角B－AS－O的余弦值
O
A
B
C
S
x
y
z
【课后作业】(共18张PPT)
复习：
1.椭圆的定义:
到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的动点的轨迹叫做椭圆。
2.椭圆的标准方程是：
3.椭圆中a,b,c的关系是:
a2=b2+c2
当焦点在X轴上时
当焦点在Y轴上时
二、椭圆 简单的几何性质
-a≤x≤a, -b≤y≤b 知
椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中
o
y
B2
B1
A1
A2
F1
F2
c
a
b
1、范围：
椭圆的对称性
Y
X
O
P（x，y）
P1（-x，y）
P2（-x，-y）
2、对称性：
o
y
B2
B1
A1
A2
F1
F2
c
a
b
从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。
从方程上看：
（1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称；
（2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；
（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成中心对称。
3、椭圆的顶点
令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？
令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？
*顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。
*长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。
a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
o
y
B2
B1
A1
A2
F1
F2
c
a
b
(0,b)
(a，0)
(0,-b)
(-a，0)
1
2
3
-1
-2
-3
-4
4
y
1
2
3
-1
-2
-3
-4
4
y
1
2
3
4
5
-1
-5
-2
-3
-4
x
1
2
3
4
5
-1
-5
-2
-3
-4
x
根据前面所学有关知识画出下列图形
（1）
（2）
A1
B1
A2
B2
B2
A2
B1
A1
4、椭圆的离心率e(刻画椭圆扁平程度的量)
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：
叫做椭圆的离心率。
[1]离心率的取值范围：
[2]离心率对椭圆形状的影响：
01）e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭圆就越扁
2）e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭圆就越圆
[3]e与a,b的关系:
思考：当e＝0时，曲线是什么？当e＝1时曲 线又是 什么？
标准方程
范围
对称性
顶点坐标
焦点坐标
半轴长
离心率
a、b、c的关系
|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称
(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)
(c,0)、(-c,0)
长半轴长为a,短半轴长为b. a>b
a2=b2+c2
标准方程
范围
对称性
顶点坐标
焦点坐标
半轴长
离心率
a、b、c的关系
|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称
(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)
(c,0)、(-c,0)
长半轴长为a,短半轴长为b. a>b
a2=b2+c2
|x|≤ b,|y|≤ a
同前
(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)
(0 , c)、(0, -c)
同前
同前
同前
例1已知椭圆方程为9x2+25y2=225,
它的长轴长是： 。短轴长是： 。
焦距是： 。 离心率等于： 。
焦点坐标是： 。顶点坐标是： 。
外切矩形的面积等于： 。
10
6
8
60
解题的关键：1、将椭圆方程转化为标准方程 明确a、b
2、确定焦点的位置和长轴的位置
练习：已知椭圆 的离心率
求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐
标、顶点坐标。
练习
求下列椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率。
（1）x2+9y2=81 (2) 25x2+9y2=225
(3) 16x2+y2=25 (4) 4x2+5y2=1
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程
⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)；
⑵长轴长等于20，离心率3/5。
⑶一焦点将长轴分成２：１的两部分，且经过点
解： ⑴方法一：设方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），将点的坐标方程，求出m＝1/9,n＝1/4。
方法二：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，于是焦点在x轴上，且点P、Q分别是椭圆长轴与短轴的一个端点
，故a＝3，b＝2，所以椭圆的标准方程为
注：待定系数法求椭圆标准方程的步骤： ⑴定位； ⑵定量
⑶
⑵
或
或
练习：
1. 根据下列条件，求椭圆的标准方程。
① 长轴长和短轴长分别为8和6，焦点在x轴上
② 长轴和短轴分别在y轴，x轴上，经过P(-2,0)，
Q(0,-3)两点.
③一焦点坐标为（－3，0）一顶点坐标为（0，5）
④两顶点坐标为（0，±6），且经过点（5，4）
⑤焦距是12，离心率是0.6，焦点在x轴上。
2. 已知椭圆的一个焦点为F（6，0）点B，C是短轴的两端点，△FBC是等边三角形，求这个椭圆的标准方程。
例3：(1)椭圆 的左焦点
是两个顶点，如果到直线AB的距
离为 ，则椭圆的离心率e= .
(3)设M为椭圆 上一点， 为椭圆的焦点，
如果 ，求椭圆的离心率。
小结：
本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。了解了研究椭圆的几个基本量a，b，c，e及顶点、焦点、对称中心及其相互之间的关系，这对我们解决椭圆中的相关问题有很大的帮助，给我们以后学习圆锥曲线其他的两种曲线扎实了基础。在解析几何的学习中，我们更多的是从方程的形式这个角度来挖掘题目中的隐含条件，需要我们认识并熟练掌握数与形的联系。在本节课中，我们运用了几何性质，待定系数法来求解椭圆方程，在解题过程中，准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想。
(4)P为椭圆 上任意一点，F1、F2是焦点，
则∠F1PF2的最大值是 .(共15张PPT)
3.1.3空间向量的
数量积运算
一、两个向量的夹角
两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角，即取值范围是(0°,90°],而向量的夹角可以是钝角,其取值范围是[0°,180°]
二、两个向量的数量积
注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量.
②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
B
B1
A
A1
不一定为锐角
不一定为钝角
三、空间两个向量的数量积的性质
(1)空间向量的数量积具有和平面向量的数量积完全相
同的性质.
(2)性质(2)是用来判断两个向量是否垂直，性质(5)是
用来求两个向量的夹角．
(3)性质(3)是实数与向量之间转化的依据．
四、空间向量数量积的运算律
与平面向量一样，空间向量的数量积满足如下运算律：
向量数量积的运算适合乘法结合律吗
即(a b)c一定等于a(b·c)吗
注意：
数量积不满足结合律即
已知空间向量a，b满足|a|=4，|b|=8，a与b的夹角是150°，计算：(1)(a+2b)·(2n-b)；(2)|4a一2b|．
如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点。求下列向量的数量积：
练习1
A
B
C
D
E
F
G
在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B，D间的距离．
练习2
练习3
解：
已知空间四边形OABC中，M，N，P，Q分别为BC，AC，OA，OB的中点，若AB=OC，求证：PM⊥QN．
证明：
练习4
练习5
如图，在正三棱柱 中，若 ，
则 与 所成的角的大小为（ ）
A. B. C. D.(共13张PPT)
直线与椭圆的位置关系
复习回顾：
1、弦长公式：
若直线AB与椭圆相交于 两点，则
例1、如图，已知椭圆 与直线x+y-1=0交
于A、B两点， AB的中点M与椭圆中心连线的
斜率是 ，试求a、b的值。
o
x
y
A
B
M
例2．
M
l
l1
x
y
F2
F1
O
注： 是椭圆上的点到焦点的距离，常把它们叫做焦半径。
引申:当点P与两焦点连线成钝角时,求P点的横坐标
的取值范围.
例3：求椭圆 上一点P,使得点P与椭圆
两焦点连线互相垂直.
法二
例4、 已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F，
(1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.
(2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点
椭圆的弦所在的直线方程.
【练习】
(a＞b＞0)上一点， 是两个焦点，半焦距
为c，则 的最大值与最小值之差一定是（ ）.
A. 1 B. C. D.
x
O
y
P
F
Q
D
B
A
(a＞b＞0)，
F为焦点，A为顶点，准线l交x轴于B，P，Q在
椭圆上，且PD⊥l于D，QF⊥AO，则椭圆
（ ）
A. 1个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
D
D
２、弦长公式：
设直线 l与椭圆C 相交于A( x1 ，y1) ，B( x2，y2 )，
则 |AB|＝ , 其中 k 是直线的斜率
１、判断直线与椭圆位置关系的方法：
解方程组消去其中一元得一元二次型方程
△< 0 相离
△= 0 相切
△> 0 相交
３、处理弦中点问题：“点差法”、“韦达定理”
小结(共24张PPT)
天体的运行
如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？
生活中的椭圆
一.课题引入：
椭圆的画法
注意:椭圆定义中容易遗漏的三处地方：
（1） 必须在平面内;
（2）两个定点---两点间距离确定;(常记作2c)
（3）绳长---轨迹上任意点到两定点距离和确定. (常记作2a,
且2a>2c)
1 .椭圆定义：
平面内与两个定点 的距离和等于常数（大于
）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ．
二.讲授新课：
思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的
椭圆较扁（ 线段）;两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（ 圆）.由此可知，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关．
若2a=F1F2轨迹是什么呢？
若2a轨迹是一条线段
轨迹不存在
求动点轨迹方程的一般步骤：
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）
表示曲线上任意一点M的坐标;
（2）写出适合条件 P（M） ;
（3）用坐标表示条件P（M），列出方程 ;
（4）化方程为最简形式;
（5）证明以化简后的方程为所求方程(可以省略
不写,如有特殊情况，可以适当予以说明)
坐标法
探讨建立平面直角坐标系的方案
O
x
y
O
x
y
O
x
y
M
F1
F2
方案一
F1
F2
方案二
O
x
y
M
O
x
y
2.求椭圆的方程：
原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；
(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.)
(对称、“简洁”)
解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).
设M(x, y)是椭圆上任意一
点，椭圆的焦距2c(c>0)，M
与F1和F2的距离的和等于正
常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的坐标分别是( c,0)、(c,0) .
x
F1
F2
M
0
y
（问题：下面怎样化简？）
由椭圆的定义得，限制条件：
代入坐标
两边除以 得
由椭圆定义可知
整理得
两边再平方，得
移项，再平方
叫做椭圆的标准方程。
它所表示的椭圆的焦点在x轴上，
焦点是 ，中心在坐标原点
的椭圆方程 ,其中
如果椭圆的焦点在y轴上,那么椭圆的标准方程又是怎样的呢
如果椭圆的焦点在y轴上（选取方式不同，
调换x,y轴）如图所示,焦点则变成
只要将方程中 的 调换，即可得
.
p
0
x
y
（０，a）
(0,-a)
(
a
2
2
2
)
0
b
a
1
y
b
x
2
>
>
=
+
也是椭圆的标准方程。
总体印象：对称、简洁，“像”直线方程的截距式
焦点在y轴：
焦点在x轴：
3.椭圆的标准方程:
1
o
F
y
x
2
F
M
1
2
y
o
F
F
M
x
图 形
方 程
焦 点
F(±c，0)
F(0，±c)
a,b,c之间的关系
c2=a2-b2
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
定 义
1
2
y
o
F
F
M
x
1
o
F
y
x
2
F
M
注:
共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.
不同点：焦点在x轴的椭圆 项分母较大.
焦点在y轴的椭圆 项分母较大.
例1：已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3m，求这个椭圆的标准方程。
解：以两焦点 所在直线为X轴，线段 的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系xOy。
则这个椭圆的标准方程为:
根据题意:2a=3,2c=2.4,
所以：b2=1.52-1.22=0.81
因此，这个椭圆的方程为：
F1
F2
x
y
0
M
待定系数法
练习1.下列方程哪些表示椭圆？
若是,则判定其焦点在何轴？
并指明 ，写出焦点坐标.
练习2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(2)焦点为F1(0,－3)，F2(0,3),且a=5；
(1)a= ,b=1,焦点在x轴上；
(3)两个焦点分别是F1(－2,0)、F2(2,0),且过P(2,3)点；
(4)经过点P(－2,0)和Q(0,－3).
小结：求椭圆标准方程的步骤：
①定位：确定焦点所在的坐标轴；
②定量：求a, b的值.
练习3. 已知椭圆的方程为： ，请填空：
(1) a=__，b=__，c=__，焦点坐标为___________，焦距等于__.
(2)若C为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，
并且CF1=2,则CF2=___.
变式： 若椭圆的方程为 ,试口答完成（1）.
5
4
3
6
(-3,0)、(3,0)
8
练习4.已知方程 表示焦点在x轴 上的椭圆，则m的取值范围是 .
(0,4)
变1：已知方程 表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 .
(1,2)
变2：方程 ，分别求方程满足下列条件的m的取值范围：
①表示一个圆；
②表示一个椭圆；
③表示焦点在x轴上的椭圆。
例2、过椭圆 的一个焦点 的直线与椭圆交于A、B两点，求 的周长。
y
x
o
A
B
三、回顾小结：
求椭圆标准方程的方法
一种方法：
二类方程:
三个意识：
求美意识， 求简意识，前瞻意识
已知椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点。今有一个水平放置的台球盘，点A、B是它的两个焦点，焦距是2c，椭圆上的点到A、B的距离的和为2a，当静放在A的小球（半径不计）沿直线出发，经椭圆壁反弹后再回到点A时，求小球经过的路程。