2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学高二上学期期中考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学高二上学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.已知点是点在坐标平面内的射影，则等于
A. B. C. D.
3.长轴长是短轴长的倍，且经过点的椭圆的标准方程为
A. B.
C. 或 D. 或
4.已知方程表示双曲线，则的取值范围为
A. B.
C. D.
5.在正四棱锥中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
6.已知椭圆的右焦点为是椭圆上任意一点，点，则的周长的最大值为
A. B. C. D.
7.已知，从点射出的光线经轴反射到直线上，又经过直线反射到点，则光线所经过的路程为
A. B. C. D.
8.已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是，则点的轨迹方程为
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知两点到直线的距离相等，则的值可取
A. B. C. D.
10.已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与的左支相交于两点，若，且，则( )
A. B.
C. 双曲线的渐近线方程为 D. 直线的斜率为
11.已知椭圆，将绕原点沿逆时针方向旋转得到椭圆，将上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长到原来的倍得到椭圆，动点在上，且直线的斜率为，则
A. 顺次连接的四个焦点构成一个正方形
B. 的面积为的倍
C. 的方程为
D. 线段的中点始终在直线上
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过点作直线，使它被直线和截得的线段被点平分，则直线的方程为 ．
13.直线与抛物线相交于两点，则
14.设是双曲线的右焦点，为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的内切圆与轴切于点，且，则的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在平面直角坐标系中，已知点，动点满足．
求动点的轨迹方程；
将点和点并入点的轨迹得曲线，若过点的直线与曲线有且只有一个公共点，求直线的方程
16.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，上的动点，且．
求证：
当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角正切值．
17.本小题分
已知顶点为的抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点．
若直线过点，且其倾斜角求的取值范围；
是否存在斜率为的直线，使得若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且的边长为，点在母线上，且．
求证：直线平面
若点为线段上的动点，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离．
19.本小题分
已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，点为坐标原点，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，的边上的中线长为．
求椭圆的标准方程；
过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程；
直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设和分别与椭圆交于点和，若分别是线段和的中点，求面积的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：设，，，
，
由，
得，
即，
则动点轨迹方程；
由题设知曲线的方程为，
由直线与曲线有且只有一个交点，直线与圆相切，故分两种情况考虑：
当直线与圆相切时，
若斜率存在，设：，即，
由，得，此时直线方程为符合题意；
若斜率不存在，此时方程，与圆切于点，符合题意；
综上所述：所求直线的方程为：或．
16.解：证明：如图，
以为原点建立空间直角坐标系为了方便，我们把朝外
设，则，，，，
，
，
；
记，，则，
三棱锥的体积，
当且仅当时，等号成立，
因此，三棱锥的体积取得最大值时，，
此时，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
易知平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，则
，
平面与平面的夹角的正切值为．
17.解：由题可知，且直线的斜率不为，
设，，设直线的方程为，
因为，则，
因此点到直线的距离为，
联立，则，
显然，所以，，
则，
所以，
当时，取得最大值，
当时，取得最小值，
所以的取值范围为
设直线方程为，即，，，
联立，得，
故，即，
所以，，
易得，，，
因为，则，
因为，，
所以，
即，解得或，
故存在斜率为的直线，使得，
此时直线的方程为或．
18.解：证明：如图，设交于点，连接，
易知底面，
因为底面，
所以．
又是底面圆的内接正三角形，
所以，为中点．
因为，，所以，
所以．
又，
所以，．
因为，且，
所以，
所以，即，
所以．
因为平面，平面，
所以直线平面．
易知以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，
所以，，，，
设平面的法向量为，
则，即令，则
设，可得
设直线与平面所成的角为，则．
，
令，，则，
当且仅当时，等号成立，
所以当时，有最大值，
即当时，的最大值为，此时点，
所以，
所以点到平面的距离，
故当直线与平面所成角的正弦值最大时，点到平面的距离为．
19.解：由题意，因为，，为直角三角形，所以．
又，所以，所以椭圆的标准方程为．
由知，，显然直线的斜率存在，
设直线的方程为，，，
联立，消去得，，
所以，即．
且，
因为，所以，
所以，即，
所以，
整理得，
即，
化简得，即满足条件，
所以直线的方程为或，
即直线的方程为或．
由题意，，设直线的方程为，，，
则直线的方程为，，，
联立消去得，
所以，，
所以，，所以，
同理联立消去得，
所以，，
所以，，所以，
所以的中点．
所以，
当且仅当，即时取等号，所以的面积最大值为．

第1页，共1页