2024-2025学年河南省百师联盟高二上学期10月联考数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年河南省百师联盟高二上学期10月联考数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 225.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-06 15:08:45 | ||
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文档简介
2024-2025学年河南省百师联盟高二上学期10月联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设直线：的倾斜角为，则的值为
A. B. C. D.
2.已知直线的方向向量为，直线的方向向量为，若，则
A. B. C. 或 D. 或
3.在四面体中，，，，，，若，则
A. B. C. D.
4.若是空间的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标．设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为
A. B. C. D.
5.平行六面体的底面是矩形，其中，，且，，为，的交点，则线段的长为
A. B. C. D.
6.已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为
A. B.
C. D.
7.圆：与圆：的公切线的条数为
A. B. C. D.
8.已知圆：，直线：，则
A. 直线恒过定点
B. 直线与圆有两个交点
C. 当时，圆上恰有两个点到直线的距离等于
D. 过直线的平行线上一动点作圆的一条切线，切点为，则
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知空间向量，，，且，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
10.下列说法中错误的是
A. 任何一条直线都有倾斜角，不是所有的直线都有斜率
B. 若一条直线的斜率为，则该直线的倾斜角为
C. 直线的斜率越大，倾斜角越大
D. 设，，若直线：与线段有交点，则的取值范围是
11.如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，，则下列说法正确的是
A. 若异面直线和所成的角的余弦值为，则
B. 若，则点到平面的距离为
C. 存在，使得
D. 若三棱柱存在内切球，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在空间直角坐标系中，点，点，点，则在方向上的投影向量的坐标为________．
13.已知实数，满足，且，则的最小值为________．
14.已知圆：和圆：交于两点，点在圆上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是________．
点和点关于直线对称；
圆和圆的公共弦长为；
的取值范围为；
若为直线上的动点，则的最小值为．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为．
求直线的方程；
求的值．
16.本小题分
如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，，．
用，，分别表示，．
若，，，求：
；
．
17.本小题分
已知点，圆：．
求圆过点的最长弦、最短弦所在的直线方程；
若圆与直线相交于，两点，为坐标原点，且，求的值．
18.本小题分
如图，已知四棱锥的底面是正方形，侧面底面，是以为底边的等腰三角形，点，分别是，的中点，点在棱上且．
求证：平面；
若，，求直线与平面所成的角的正弦值．
19.本小题分
如图，在平行六面体中，平面，，，，B.
求证：；
求三棱锥的体积；
线段上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：设 边上的高为 ，
，且直线 的方程为 ，故斜率为 ，
直线 的斜率为 ， ，
直线 的方程为 ，即 ；
因为顶点在轴上，设 ，为的中点，则 ，
因为点在的直线上，所以，解得，即，
又点在的直线上，故，解得，所以的值为
16.解：如图，连接，
因为六边形是正六边形，所以，则
所以，
；
因为六边形是正六边形，所以，
又，，，
所以，，，，．
．
(ⅱ)因为，
所以
．
17.解：由题知，点在圆内，所以过点的最长弦所在的直线就是圆心与点的连线所在的直线，
因为圆心，，
所以最长弦所在直线的方程为，即，
过点的最短弦和圆心与点的连线垂直，
因为圆心，，所以最短弦所在直线的斜率，
所以过点的最短弦所在直线的方程为，即；
由消去得，
化简得，
因为圆与直线交于，两点，
所以，即，
解得，
设，，则，，
因为，所以，即，
由得，
从而，解得．
18.解：如图，取的中点，连接，，
因为点是的中点，所以，且．
在正方形中，点是的中点，，
所以，且，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，所以．
又平面，平面，
所以平面．
解：由题意知，点是的中点，所以．
因为，，
所以，所以．
又侧面底面，侧面底面，平面，
所以平面．
如图，以点为坐标原点，过点且平行于的直线为轴，直线，分别为轴和轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，所以，，．
设是平面的一个法向量，
则
取，得，，所以，
所以，．
设直线与平面所成的角为，
则，，
所以直线与平面所成的角的正弦值为．
19.解：因为平面，平面，
所以，所以，
因为，所以，
又因为，，
所以，化简得，
所以，
所以
因为 ，由知 ，所以 ，
过点作 于，
则 ．
由平面，平面，
可得平面平面，
又平面 平面 ，平面，
所以 平面 ，
因为，平面，平面，
所以平面，
则点到平面的距离等于点到平面的距离，为，
所以
；
假设存在点满足条件，
因为 平面， ，
所以以为原点，建立空间直角坐标系 ，如图所示，
，， ， ，
， ，，，
，
设 ，则 ，
设平面的一个法向量为 ，
由 ，得 ，
令 ，得 ，所以 ．
设平面 的一个法向量 ，
由 ，得 ，
令 ，得 ，所以 ．
所以 ，
因为平面与平面的夹角的余弦值为 ，
即 ，解得 ，
又因为 ，所以 舍去，
所以线段 上不存在点使得平面与平面 的余弦值为 ．
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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设直线：的倾斜角为，则的值为
A. B. C. D.
2.已知直线的方向向量为，直线的方向向量为，若，则
A. B. C. 或 D. 或
3.在四面体中，，，，，，若，则
A. B. C. D.
4.若是空间的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标．设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为
A. B. C. D.
5.平行六面体的底面是矩形，其中，，且，，为，的交点，则线段的长为
A. B. C. D.
6.已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为
A. B.
C. D.
7.圆：与圆：的公切线的条数为
A. B. C. D.
8.已知圆：，直线：，则
A. 直线恒过定点
B. 直线与圆有两个交点
C. 当时，圆上恰有两个点到直线的距离等于
D. 过直线的平行线上一动点作圆的一条切线，切点为，则
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知空间向量，，，且，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
10.下列说法中错误的是
A. 任何一条直线都有倾斜角，不是所有的直线都有斜率
B. 若一条直线的斜率为，则该直线的倾斜角为
C. 直线的斜率越大，倾斜角越大
D. 设，，若直线：与线段有交点，则的取值范围是
11.如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，，则下列说法正确的是
A. 若异面直线和所成的角的余弦值为，则
B. 若，则点到平面的距离为
C. 存在，使得
D. 若三棱柱存在内切球，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在空间直角坐标系中，点，点，点，则在方向上的投影向量的坐标为________．
13.已知实数，满足，且，则的最小值为________．
14.已知圆：和圆：交于两点，点在圆上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是________．
点和点关于直线对称；
圆和圆的公共弦长为；
的取值范围为；
若为直线上的动点，则的最小值为．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为．
求直线的方程；
求的值．
16.本小题分
如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，，．
用，，分别表示，．
若，，，求：
；
．
17.本小题分
已知点，圆：．
求圆过点的最长弦、最短弦所在的直线方程；
若圆与直线相交于，两点，为坐标原点，且，求的值．
18.本小题分
如图，已知四棱锥的底面是正方形，侧面底面，是以为底边的等腰三角形，点，分别是，的中点，点在棱上且．
求证：平面；
若，，求直线与平面所成的角的正弦值．
19.本小题分
如图，在平行六面体中，平面，，，，B.
求证：；
求三棱锥的体积；
线段上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：设 边上的高为 ，
，且直线 的方程为 ，故斜率为 ，
直线 的斜率为 ， ，
直线 的方程为 ，即 ；
因为顶点在轴上，设 ，为的中点，则 ，
因为点在的直线上，所以，解得，即，
又点在的直线上，故，解得，所以的值为
16.解：如图，连接，
因为六边形是正六边形，所以，则
所以，
；
因为六边形是正六边形，所以，
又，，，
所以，，，，．
．
(ⅱ)因为，
所以
．
17.解：由题知，点在圆内，所以过点的最长弦所在的直线就是圆心与点的连线所在的直线，
因为圆心，，
所以最长弦所在直线的方程为，即，
过点的最短弦和圆心与点的连线垂直，
因为圆心，，所以最短弦所在直线的斜率，
所以过点的最短弦所在直线的方程为，即；
由消去得，
化简得，
因为圆与直线交于，两点，
所以，即，
解得，
设，，则，，
因为，所以，即，
由得，
从而，解得．
18.解：如图，取的中点，连接，，
因为点是的中点，所以，且．
在正方形中，点是的中点，，
所以，且，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，所以．
又平面，平面，
所以平面．
解：由题意知，点是的中点，所以．
因为，，
所以，所以．
又侧面底面，侧面底面，平面，
所以平面．
如图，以点为坐标原点，过点且平行于的直线为轴，直线，分别为轴和轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，所以，，．
设是平面的一个法向量，
则
取，得，，所以，
所以，．
设直线与平面所成的角为，
则，，
所以直线与平面所成的角的正弦值为．
19.解：因为平面，平面，
所以，所以，
因为，所以，
又因为，，
所以，化简得，
所以，
所以
因为 ，由知 ，所以 ，
过点作 于，
则 ．
由平面，平面，
可得平面平面，
又平面 平面 ，平面，
所以 平面 ，
因为，平面，平面，
所以平面，
则点到平面的距离等于点到平面的距离，为，
所以
；
假设存在点满足条件，
因为 平面， ，
所以以为原点，建立空间直角坐标系 ，如图所示，
，， ， ，
， ，，，
，
设 ，则 ，
设平面的一个法向量为 ，
由 ，得 ，
令 ，得 ，所以 ．
设平面 的一个法向量 ，
由 ，得 ，
令 ，得 ，所以 ．
所以 ，
因为平面与平面的夹角的余弦值为 ，
即 ，解得 ，
又因为 ，所以 舍去，
所以线段 上不存在点使得平面与平面 的余弦值为 ．
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