2024-2025学年重庆八中高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年重庆八中高二（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数满足为虚数单位，则的值为( )
A. B. C. D.
2.已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列说法正确的是( )
A. 若，，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
3.“直线与平行”是“”的条件．
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要
4.已知两个单位向量，的夹角为，则( )
A. B. C. D.
5.圆关于直线对称，则实数( )
A. B. C. 或 D. 或
6.直线与圆：交于，两点，则直线与直线的倾斜角之和为( )
A. B. C. D.
7.已知，，若，则实数的值为( )
A. B. C. D.
8.已知圆：及直线：，下列说法正确的是( )
A. 圆被轴截得的弦长为
B. 直线过定点
C. 直线被圆截得的弦长存在最大值，此时直线的方程为
D. 直线被圆截得的弦长存在最小值，此时直线的方程为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在边长为的正方形中，，分别为，的中点，则( )
A. B.
C. D. 在上的投影向量为
10.如图，直三棱柱所有棱长均为，，，，分别在棱，，，上，不与端点重合且，，分别为，中点，则( )
A. 平面
B. 过，，三点的平面截三棱柱所得截面一定为等腰梯形
C. 在内部含边界，，则到棱距离的最小值为
D. 若，分别是平面和内的动点，则周长的最小值为
11.已知圆和圆，点是圆上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列说法正确的是( )
A. 当时，圆和圆没有公切线
B. 当圆和圆有三条公切线时，其公切线的倾斜角的和为定值
C. 圆与轴交于，，若圆上存在点，使得，则
D. 圆和外离时，若存在点，使四边形面积为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数为奇函数，则 ______．
13.已知点在直线上，且点恰好是直线夹在两条直线：与：之间线段的一个三等分点，则直线的方程为______写出一条即可
14.台风“摩羯”于年月日晚在菲律宾以东洋面上生成据监测，“摩羯”台风中心位于某海滨城市如图的东偏南方向的海面处，并以的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为，并以的速度不断增大，______小时后，该海滨城市开始受到台风侵袭．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，为边上一点．
若为的中点，且，求；
若平分，且的面积为，求的长．
16.本小题分
如图，在正三棱柱中，，为棱的中点，为边上靠近的三等分点，且．
证明：平面；
求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线：上．
求圆的标准方程；
过点作圆的相互垂直的两条弦，，求四边形的面积的最大值与最小值．
18.本小题分
如图、三棱锥中，平面，为的中点，，，．
证明：面面；
若点到面的距离为，证明：；
求与面所成角的正弦值的取值范围．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，已知圆：，，是圆上的动点，且，的中点为．
求点的轨迹方程；
设点是直线上的动点，，是的轨迹的两条切线，，为切点，求四边形面积的最小值；
若垂直于轴的直线过点且与的轨迹交于点，，点为直线上的动点，直线，与的轨迹的另一个交点分别为，与不重合，求证：直线过定点．
参考答案
1.
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9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：在中，，，
因为为的中点，所以，
两边平方得：，
则，
即，解得，
由余弦定理，可得，
所以；
因为平分，所以，
又，
即，
所以，
即，
解得，．
16.解：证明；如图，连接，连接，
则为的中点，又为的中点，
，又平面，平面，
平面；
取中点，设三棱柱的高为，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
，
由于，
故，
解得，负值舍去，
，
设平面的法向量为，
则，则，
取，得，
而平面的一个法向量为，
则，
故平面与平面夹角的余弦值为．
17.解：圆心在直线：，设，
由题意可知：，即，解得，
可得圆心，半径，
圆的标准方程为．
，可知点在圆内，
过点作圆的相互垂直的两条弦，，
设弦，的中点分别为弦，，，，
四边形为矩形，则，
即，可得，
且，，
则四边形的面积，
且，即，
当，即时，取到最大值；
当或，即或时，取到最小值；
四边形的面积的最大值为，最小值为．
18.解：证明：因为平面，平面，所以，
又，，平面，，
所以平面，
又平面，
所以面面．
证明：因为为的中点，，，所以，，
设，，所以，其中，
由知，，，，
所以，
所以，所以，
所以在直角三角形中，由面积可得：，结合，
解得：，也即，所以．
因为为的中点，，，所以，，
设，，所以，其中，
由知，，，，
所以，
所以，所以，
过向作垂线，垂足为，设，
因为，所以，
所以，
由可知，面，
因为为的中点，所以到面的距离为，
设与面所成角为，
所以，
因为，所以，，
所以，
所以与面所成角的正弦值的取值范围是．
19.解：圆：，
转化为圆的标准方程得，
圆的圆心为，半径，
，是圆上的动点，且，的中点为，
由题意可得，
点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
点的轨迹方程为．
四边形面积为：
，
当时，取到最小值为，
四边形面积的最小值为．
证明：垂直于轴的直线过点且与的轨迹交于点，，点为直线上的动点，
直线，与的轨迹的另一个交点分别为，与不重合，
由题意可知：直线，不妨令，
先说明如下问题：若点为直线上的动点，
直线，，与圆：的另一个交点分别为：
，，与不重合
下面证明直线过定点．
，
，，，
，
，
，，
整理可得，
若直线的斜率存在，设为，
联立方程，消去可得，
则，且，
则，整理可得，解得或，
若，则直线：过定点；
若，则直线：过定点，
且与不重合，不合题意；
直线过定点；
若直线的斜率不存在，则，可得，
即，解得或舍去，
此时直线过点，符合题意；
且在圆内部，直线与圆必相交，
综上所述：直线过定点．
将上述问题图象，整体向右平移个单位，再向上平移个单位，
结合图形平移可知：直线过定点．
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