2024-2025学年广西钦州四中高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年广西钦州四中高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某小组有三名女生，两名男生，先从这个小组中任意选一人当组长，则女生小丽当选为组长的概率是( )
A. B. C. D.
2.法国有个名人叫做布莱尔帕斯卡，他认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出一个问题，他们说，他们下赌金之后，约定谁先赢满局，谁就获得全部赌金法郎，赌了半天，甲赢了局，乙赢了局，时间很晚了，他们都不想再赌下去．假设每局两赌徒输赢的概率各占，每局输赢相互独立，那么这法郎如何分配比较合理( )
A. 甲法郎，乙法郎 B. 甲法郎，乙法郎
C. 甲法郎，乙法郎 D. 甲法郎，乙法郎
3.下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是( )
A. 频率就是概率 B. 频率是随机的，与试验次数无关
C. 概率是稳定的，与试验次数无关 D. 概率是随机的，与试验次数有关
4.已知复数与在复平面内对应的点关于原点对称，且，则的虚部为( )
A. B. C. D.
5.已知复数为虚数单位，则复数在复平面上对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
6.在复平面内，下列命题是真命题的是( )
A. 若复数满足，则
B. 若复数满足，则
C. 若复数，满足，则
D. 若复数，则
7.已知复数为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
8.已知为虚数单位，在复平面内，复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是( )
A. 若，则或
B. 若点的坐标为，且是关于的方程的一个根，则
C. 若，则的虚部为
D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为
10.已知复数满足，则( )
A. 的虚部为 B. 在复平面内对应的点位于第二象限
C. D.
11.下列命题为真命题的是( )
A. 若，为共轭复数，则为实数
B. 若为虚数单位，为正整数，则
C. 复数在复平面内对应的点在第三象限
D. 复数的共轭复数为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数满足，的虚部为，所对应的点在第二象限，则______．
13.若为复数且，则的最小值是______．
14.已知为虚数单位，复数，则的实部为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
化简：，，，，，，，．
16.本小题分
求适合下列方程的实数，的值：
；
．
17.本小题分
已知复数，满足，的虚部是，对应的点在第一象限．
求；
若，，在复平面上对应点分别为，，求．
18.本小题分
一个小组的个学生在分发数学作业时，从他们人的作业中各随机地取出了一份作业．
Ⅰ每个学生恰好拿到自己作业的概率是多少？
Ⅱ个学生不都拿到自己作业的概率是多少？
Ⅲ每个学生拿的都不是自己作业的概率是多少？
19.本小题分
古人云：“腹有诗书气自华．”为响应全民阅读，建设书香中国，校园读书活动的热潮正在兴起．某校为统计学生一周课外读书的时间，从全校学生中随机抽取名学生进行问卷调査，统计了他们一周课外读书时间单位：的数据如表：
一周课外读书时间 合计
频数
频率
根据表格中提供的数据，求，，的值并估算一周课外读书时间的中位数．
如果读书时间按，，分组，用分层抽样的方法从名学生中抽取人．
(ⅰ)求每层应抽取的人数；
(ⅱ)若从，中抽出的学生中再随机选取人，求这人不在同一层的概率．
参考答案
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15.解：因为，
；
；
；
；
；
；
；
；
．
16.解：；
且，解得，．
．
联立解得：，．
17.解：复数，满足，的虚部是，对应的点在第一象限，
可得，解得：．
．
，，在复平面上对应点分别为，，．
，，，
．
18.解：设每个学生恰好拿到自己作业为事件，
基本事件总数为，
事件包含的基本事件数为，
．
设个学生不都拿到自己作业为事件，
事件的对立事件为，
．
设每个学生拿的都不是自己作业为事件，
事件包含的基本事件数为，
．
19.解：由题意可得，，；
设一周课外读书时间的中位数为，则，
解得；
即一周课外读书时间的中位数约为．
由题意知用分层抽样的方法从样本中抽取人，抽样比为，
又，，的频数分别为，，，
所以从，，三层中抽取的人数分别为，，．
(ⅱ)由(ⅰ)知，在，两层中共抽取人，
设内被抽取的学生分别为，，内被抽取的学生分别为，，，，；
若从这人中随机抽取人，则所有情况为：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共种，
其中人不在同一层的情况为，，，，，，，，，共种．
设事件为“这人不在同一层”，
则由古典概型的概率计算公式得．
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