2024-2025学年上海市浦东新区洋泾中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市浦东新区洋泾中学高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共14分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设、均为非零实数且，则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
2.设，是两个不同的平面，直线，则“对内的任意直线，都有”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知三棱柱的个顶点都在球的球面上，且，，，，则球的半径为( )
A. B. C. D.
4.若三棱锥的侧面内一动点到底面的距离与到棱的距离相等，则动点的轨迹与组成图形可能是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共10小题，共34分。
5.已知集合，，则 ______．
6.若复数为虚数单位，则 ______．
7.已知函数是偶函数，则的最小值是______．
8.在中，角、及所对边的边长分别为、及，已知，则 ______．
9.已知，则的最小值为______．
10.已知数列为等比数列，，，则 ______．
11.圆锥侧面展开图扇形的圆心角为，底面圆的半径为，则圆锥的侧面积为______．
12.把一个表面积为平方厘米的实心铁球铸成一个底面半径与球的半径一样的圆柱假设没有任何损耗，则圆柱的高是______厘米．
13.已知函数满足：，则不等式的解集为______．
14.在正三棱柱中，，点满足，其中，，则下列说法中，正确的有______请填入所有正确说法的序号
当时，的周长为定值；
当时，三棱锥的体积为定值；
当时，有且仅有一个点，使得；
当时，有且仅有一个点，使得平面
三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知空间中三点、、，设，．
若，且，求向量；
求以、为一组邻边的平行四边形的面积．
16.本小题分
如图，在直三棱柱中，，．
求异面直线与所成角的大小；
求点到平面的距离．
17.本小题分
如图所示，圆锥的顶点为，底面中心为，母线，，且．
求圆锥的体积；
求二面角的大小结果用反三角表示．
18.本小题分
如图，在等腰梯形中，，，为中点，点，分别为，的中点，将沿折起到的位置，使得平面平面如图．
求证：平面．
求直线与平面所成角的正弦值；
侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知函数，在区间上都有定义，对于任意的，，当时，或成立，则称是区间上的限制函数．
判断是否为在上的限制函数，并说明理由；
证明：如果在区间上恒为正值，则在上是严格增函数；
利用的结论，求函数在上的单调区间．
注：如果在区间上恒为负值，则在区间上是严格减函数此结论无需证明，可以直接应用
参考答案
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15.解：根据题意，、，则，
若，设，
又由，则，解可得，
故或；
根据题意，，，
则，，，
则，，故，
故．
16.解：在直三棱柱中，，
所以，，两两互相垂直，
以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，，
所以，，
设异面直线与所成角为，，
所以，
所以，即异面直线与所成角的大小为；
由知，，，，
设平面的法向量为，
则，解得，令，则，所以，
所以点到平面的距离为．
17.解：圆锥的高，
则圆锥的体积为；
取的中点，连接，，
因为，，所以，，
由图可知，二面角为锐角，
故为二面角的平面角，
因为，
所以，
故，
，
故，
故．
18.解：证明：因为，且，则四边形是平行四边形，
则，又四边形为等腰梯形，则，
结合可得是等边三角形，
又为中点，则，
如图连接，注意到，，则四边形是平行四边形，
结合是等边三角形，可得四边形是菱形，
则是等边三角形，又为中点，则，
因为平面，，
所以平面；
因为平面平面，平面平面，
平面，，
则平面，
又由可得，则如图建立以为原点的空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则，
取，则，
所以为平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
则；
假设存在满足条件的点，设，
则，又，
得，
则，
又由题可得，结合，
为的中点，可得，
又，，
设平面的法向量为，
则，
取，则，，
所以为平面的一个法向量，
要使平面，则，又，
则，
故在侧棱上存在点，使得平面，且．
19.解：是在上的限制函数，
不妨设，则；
由于任意性：，
即，满足题意，
所以是在上的限制函数；
证明：运用反证法，即假设在上不是增函数，
若在上是减函数，可得在区间上恒为负值；
若在上是常数函数，可得在区间上恒为零；
若在上是有增有减，可得在区间上可能为正可能为负；
这与在区间上恒为正值矛盾，故在上是增函数；
对任意的，，当时，
，
令，任取，，，
，
，
故，
是数集上的限制函数，
，解得，
利用结论，当时，函数单调递增，
，解得，
利用结论，当时，函数单调递减．
综上函数在上的单调递减区间为，单调递增区间为．
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