2024-2025学年江苏省扬州市新华中学高二（上）第一次段考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年江苏省扬州市新华中学高二（上）第一次段考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.过，两点的直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.已知点、，则线段的垂直平分线的方程为( )
A. B.
C. D.
3.已知直线与直线平行，则它们之间的距离为( )
A. B. C. D.
4.已知圆与圆有条公切线，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知圆经过，两点，且圆心在直线：，则圆的标准方程是( )
A. B.
C. D.
6.已知动点与两个定点，的距离之比为，那么直线的斜率的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.在平面直角坐标系中，已知直线：与圆：交于，两点，则的面积的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知圆：和点，若圆上存在两点，使得，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 直线恒过定点
B. 经过点，倾斜角为的直线方程为
C. 经过两点，的直线方程为
D. 截距相等的直线都可以用方程表示
10.已知圆：，则下列说法正确的是( )
A. 圆的半径为
B. 圆截轴所得的弦长为
C. 圆与圆：相外切
D. 若圆上有且仅有两点到直线的距离为，则实数的取值范围是
11.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，“它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美在平面直角坐标系中，曲线：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有( )
A. 曲线围成的图形有条对称轴
B. 曲线围成的图形的周长是
C. 若是曲线上任意一点，的最小值是
D. 曲线上的任意两点间的距离不超过
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为______．
13.如果直线被圆截得的弦长为，那么实数 ______．
14.已知圆的方程为，点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线、，、为切点，则四边形的面积的最小值为 ；直线过定点 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线过点，为坐标原点．
若与垂直，求直线的方程；
若到的距离为，求直线的方程．
16.本小题分
求下列圆的方程．
若圆的半径为，其圆心与点关于直线对称，求圆的标准方程；
过点的圆与直线相切于点，求圆的标准方程．
17.本小题分
已知圆，圆，、分别为两圆的圆心．
求圆和圆的公共弦长；
过点的直线交圆于，两点，且，求直线的方程．
18.本小题分
已知点、，设过点的直线与的边交于点其中点异于、两点，与边交于其中点异于、两点，若设直线的斜率为．
试用来表示点和的坐标；
求的面积关于直线的斜率的函数关系式；
当为何值时，取得最大值？并求此最大值．
19.本小题分
已知的圆心在直线上，点在轴右侧且到轴的距离为，被直线：截得的弦长为．
求的方程；
设点在上运动，且点满足，为原点记点的轨迹为．
求曲线的方程；
过点的直线与曲线交于，两点，问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.或
14.
15.解：由题意得，则直线的斜率，
所以直线的方程为，即，
当直线斜率存在时，设方程为，即，
由，
解得，直线方程为，
当直线斜率不存在时，的方程为，原点到的距离为，
综上，直线的方程为或．
16.解：圆的半径为，
点关于直线对称的点为，
圆是以为圆心，为半径的圆，
所求圆的标准方程为．
过点的圆与直线相切于点，
，两点在圆上，圆的圆心在垂直平分线上；
，中点为，圆心，
的垂直平分线方程为；
直线与圆相切于点，直线与直线垂直，，
直线方程为：，即；
由得：，圆心，半径，
圆的标准方程为．
17.解：如图所示，
联立圆与，
即，得，
即直线的方程为，
由，可化为，
则，，
圆心到直线的距离，
弦长；
如图所示，
将化为，
可得，半径，
设为中点，易知，
则，
解得，
即，得，
过作直线，当直线斜率不存在时，直线方程为，此时到直线距离为不成立；
当直线斜率存在时，设直线方程为，即，
此时点到直线的距离，
解得或，
即直线方程为或．
18.解：由题意可得直线的方程为：，的方程为，
直线斜率存在，设：，，
联立，得，即；
又因为，所以，
联立，得，即；
设直线，与轴的交点为，则，
则；
设，则，
，
当且仅当，即，时，等号成立．
19.解：不妨设圆的圆心的坐标为，
因为圆的圆心在直线上，
所以，
解得，
则圆心为，
而圆心到直线的距离为，
不妨设圆的半径为，
易知弦长为，
解得，
所以圆的标准方程为；
不妨设，，
易知，
此时，
可知，
解得，
因为在圆上运动，，
整理得点的轨迹方程为；
当直线轴时，轴平分，
当直线斜率存在时，不妨设直线的方程为，
联立，消去并整理得，
此时，
不妨设，，，
由韦达定理得，
若轴平分，
此时，
所以，
因为，，
所以，
可得，
整理得，
即，
解得，
则当时，能使轴平分．
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