2024-2025学年湖南省衡阳市高二（上）第一次月考数学试题（含答案）

2024-2025学年湖南省衡阳市高二（上）第一次月考数学试题
一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.椭圆的离心率为，则( )
A. B. C. D.
3.已知直线：和直线：，则“”是“”的( )
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.在平面直角坐标系中，若满足的点都在以坐标原点为圆心，为半径的圆及其内部，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.已知向量与是非零向量，且满足在上的投影向量为，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
6.已知椭圆的右焦点为，左焦点为，若椭圆上存在一点，满足线段相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段的中点，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
7.已知等边的边长为，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共23分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.如图，正方体的棱长为，设是棱的中点，是线段上的动点含端点，是正方形内含边界的动点，且平面，则下列结论正确的是( )
A. 存在满足条件的点，使
B. 当点在线段上移动时，必存在点，使
C. 三棱锥的体积存在最大值和最小值
D. 直线与平面所成角的余弦值的取值范围是
9.关于方程，下列说法正确的是( )
A. 若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上
B. 若，则该方程表示圆，其半径为
C. 若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上
D. 若，，则该方程表示两条直线
10.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”在平面直角坐标系中，已知，，点满足，设点的轨迹为圆，下列结论正确的是( )
A. 圆的方程是
B. 过点且斜率为的直线被圆截得的弦长为
C. 圆与圆有四条公切线
D. 过点作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为，该直线斜率为
11.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，若：：：：，则( )
A. B. 的面积等于
C. 直线的斜率为 D. 的离心率等于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若一个圆柱底面半径为，轴截面对角线为，则这个圆柱侧面展开图的对角线长为______．
13.设直线：与直线：的交点为，则到直线：的距离的最大值为______．
14.设、分别是的内心和重心，若于，则以、为焦点且过点的椭圆的离心率是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆是以点和点为直径端点的圆，圆是以点和点为直径端点的圆求圆，的方程；
已知两圆相交于、两点，求直线的方程及公共弦的长．
16.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知．
Ⅰ求；
Ⅱ若，求的取值范围．
17.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，，分别是，上的动点，且．
求证：；
当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的正切值．
18.本小题分
已知椭圆的左、右顶点为，，焦距为为坐标原点，过点、的圆交直线于、两点，直线、分别交椭圆于、．
求椭圆的方程；
记直线，的斜率分别为、，求的值；
证明：直线过定点，并求该定点坐标．
19.本小题分
已知，定义点集与的图象的公共点为在上的截点．
若，，，在上的截点个数为，求实数的取值范围；
若，，，在上的截点为与．
(ⅰ)求实数的取值范围；
(ⅱ)证明：．
参考答案
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15.解：圆是以点和点为直径端点的圆，圆的圆心，半径为，圆的方程为：；
圆是以点和点为直径端点的圆．圆的圆心，半径为，圆的方程为：．
圆的方程为：；圆的方程为：．
两式相减可得：圆到直线的距离为：，
公共弦．
16.解：Ⅰ因为，所以，整理得．
由余弦定理得，结合，可得．
Ⅱ根据正弦定理，可得．
由，即，可得，所以，
所以，即的取值范围是．
17.证明：如下图，构建空间直角坐标系，令且，
所以，，，，
则，，故，
所以，即．
解：由三棱锥体积取最大，即面积最大，
所以当时，故E，为，上的中点，
所以，，，故，
若为面的法向量，则，令，故，
又面的法向量为，
所以，
所以平面与平面的夹角正切值为．
18.解：由已知得，，则，
故椭圆的标准方程为；
设，圆半径为，则圆方程为：，
圆过，，由题意可设，，
则；
证明：由题意知当圆的圆心不在轴上时，直线斜率存在，
设直线：，，，
则，需满足，
则，，
则，
结合第二问知，即，
即得，
化简得，
解得或，
当时，直线方程为，直线过点，不合题意，
当时，直线方程为，
故直线过定点；
当圆的圆心在轴上时，，关于轴对称，此时直线斜率不存在，
圆方程为，
令，则，此时不妨设，，
则的方程为，即，
联立，得，解得或，
即点横坐标为，则直线此时也过点，
故直线过定点．
19.解：当时，，
因为，，在上的截点个数为关于的方程无实数解，
即无实数解，
易知，所以，解
得，
即的取值范围是；
当时，，
因为，，在上的截点为与，
所以关于的方程在上有两个解，，
即在上有两个解，，
不妨设，
令，
因为时，，
所以在上至多一个解，
若，，则，就是的解，
从而，这与题设矛盾．
因此，，
由得，所以，
由得，所以，
当时，方程在上有两个解；
证明：由和消去得，
因为，
所以．
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