2024-2025学年湖南省长沙市南雅中学高一（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年湖南省长沙市南雅中学高一（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，且，则( )
A. 或 B. C. 或 D.
2.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知集合，，，则( )
A. B. C. D.
4.下列不等式中成立的是( )
A. 若，则 B. 已知，，，则
C. 若，则 D. 若，则
5.已知南雅中学高一班有名学生，在秋季运动会上，有名学生参加了田赛项目，有名学生参加了径赛项目，田赛和径赛都参加的有名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为( )
A. B. C. D.
6.集合，，则( )
A. B. C. D.
7.已知集合，，用符号表示非空集合中元素的个数定义，若，则实数的所有可能取值构成的集合为( )
A. B. C. D.
8.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园阴影部分，则图中矩形花园的其中一边的边长单位：的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知命题：，：命题：，，则( )
A. 是， B. 是真命题
C. 和都是假命题 D. 和都是真命题
10.使成立的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
11.已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是( )
A.
B.
C. 若不等式的解集为，则
D. 若不等式的解集为，且，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，，若，则实数的取值范围是______．
13.一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费单位：万元与仓库到车站的距离单位：成反比，每月库存货物费单位：万元与成正比；若在距离车站处建仓库，则和分别为万元和万元这家公司应该把仓库建在距离车站______千米处，才能使两项费用之和最小为______．
14.已知不等式对任意恒成立，则正实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设函数．
若关于的不等式的解集为，求实数，的值；
若对于一切实数，恒成立，求的取值范围．
16.本小题分
已知全集，集合，．
求；
已知集合，若，求实数的取值范围．
17.本小题分
某单位决定投资元建一仓库长方体状，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每长造价元，两侧墙砌砖，每长造价元，
求该仓库面积的最大值
若为了使仓库防雨，需要为仓库做屋顶．顶部每造价元，求仓库面积的最大值，并求出此时正面铁栅应设计为多长？
18.本小题分
已知二次函数．
若点在该二次函数的图象上，求的解集；
若点在该二次函数的图象上，且，求的最小值．
19.本小题分
求已知集合，且，，其中，且若，且对集合中的任意两个元素，都有则称集合有性质．
判断集合是否具有性质；
若集合具有性质．
求证：的最大值大于等于；
求的元素个数的最大值．
参考答案
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10.
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13. 万元
14.
15.解：设函数，若关于的不等式的解集为，
可得，为方程的两根，
则，解得，
所以实数，的值分别为，；
根据题意，对任意的恒成立，
当时，恒成立，满足题意；
当时，要满足题意，则，，解得；
综上所述，，
所以的取值范围为．
16.解：，
集合，
故或，
则或；
或，
时，，；
时，或，
或，
综上可得，的取值范围为或．
17.解：设铁栅长为米，一侧砖墙长为米，则仓库面积，
由题意可得：，，
，当且仅当时取等号，
，
，即仓库的面积的最大值为．
由题意得：，
由基本不等式得，
当且仅当时取等号，
则，解得：，，
所以的最大值是此时且，即，
即铁栅的长是米．
18.解：由题意得，
所以，
即，，
当时，解得，
若，不等式可化为，
当时，解得或，
当时，解得，
当时，解得或，
综上，时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为或，
当时，解集为，
当时，解集为或；
由得，，
所以，当且仅当即时取等号，
当时，，所求最小值为，此时，，
当时，，所求最小值为，此时，，
综上的最小值为．
19.解：集合为，
又，，
该集合不具有性质；
证明：集合具有性质，
不妨设，则，，
，
故的最大值大于等于；
，不妨设，
要使的元素个数最大，
则中的元素满足，，，，，
又由知，
，
又，
，，，
当 时，由，解得，；
当 时，由，解得，；
当 时，由，解得，；
当 时，由，解得，；
当 时，由，解得，．
故A的元素个数的最大值为，
此时集合
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