2024-2025学年湖南省邵阳市邵东一中高一（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年湖南省邵阳市邵东一中高一（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“且”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件
2.下列命题是假命题的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若且，则 D. 若且，则
3.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
4.下列说法不正确的是( )
A. 命题：，，则命题的否定：，
B. 若集合中只有一个元素，则
C. 若，，则
D. 已知集合，且，满足条件的集合的个数为
5.若函数的定义域为，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D. ，
6.下列说法正确的是( )
A. ，对任意的，，这个对应是到的函数
B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
C. 和表示同一函数
D. 函数的最小值是
7.在上定义运算：已知时，存在使不等式成立，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
8.已知函数，若对任意的，，，都有成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知关于的不等式的解集为或，则( )
A.
B.
C. 不等式的解集为
D. 不等式的解集为或
10.已知函数，关于函数的结论正确的是( )
A. 的定义域为 B. 的值域为
C. 若，则的值是 D. 的解集为
11.已知，，，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知命题：，，命题：，使得成立，若是真命题，是假命题，则实数的取值范围为______．
13.函数的单调递减区间为______．
14.若关于的不等式的解集中的整数恰有个，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知全集，集合，，．
求集合；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
设函数．
若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围；
若不等式对于实数时恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米元，设体育馆前墙长为米．
当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围．
18.本小题分
已知函数，．
求函数的值域；
试判断在区间的单调性，并证明；
对，总，使成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称函数称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如，．
求的解集和的解集；
设方程的解集为，集合，若，求的取值范围；
若的解集为，求的范围．
参考答案
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15.解：全集，集合，
，
或，
集合或．
，
，
，
当时，，解得．
当时，，解得．
综上，．
实数的取值范围是．
16.解：依题意，有实数解，即不等式有实数解，
当时，取，则成立，
即有实数解，符合题意；
当时，有实数解，符合题意；
当时，二次函数的图象开口向下，要有解，
当且仅当，从而得，
综上，实数的取值范围是．
不等式对于实数时恒成立，
即，，
显然，
函数在上递增，
从而得，即，解得，
所以实数的取值范围是．
17.解：因为体育馆前墙长为米，地面面积为，
所以体育馆的左右两侧墙的长度均为米，
设甲工程队报价为元，
所以，
因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以当前墙的长度为米时，甲工程队报价最低为元；
根据题意可知对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
因为，，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
故当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功．
18.解：，恒成立，
设，则，
即，
即，
又，则，
所以
即的值域；
由知，，
则，
在区间是增函数，
证明如下：，，且，
则
，
因为，
所以，，所以，，
所以，即，即，
所以在区间是增函数；
由知，则，
当时，，
所以，
则，记集合，
当时，由知在区间单调递增，
所以，记集合，
因为对，总，使成立，
所以，则，又，
所以，解得或，
综上所述，即实数的取值范围是．
19.解：由题意得，且，
由，即，所以，即解集为，
由，即，
，根据已知定义可得，，所以，
所以的解集为．
，则，，
所以，
令，，，
当时，，此时，成立；
当时，此时，
又，则，解得；
当时，此时，
又，则，解得，
综上所述，，即；
不等式，即，
若，不等式为，即，所以，不符合题意；
若，由，解得，
不等式的解集为，
所以，解得，
若，
由，解得，
因为不等式解集为，
所以，解得，
综上所述，或，
故的范围为．
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