2024-2025学年北京市朝阳区青苗国际学校常营1学区高二上学期期中考试数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市朝阳区青苗国际学校常营1学区高二上学期期中考试数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，且，则的值为( )
A. B. C. D.
3.若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一个焦点的距离为( )
A. B. C. D.
4.直线过点且与直线垂直，则的方程是( )
A. B. C. D.
5.在长方体中，，，，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
6.的两个顶点坐标，，它的周长是，则顶点的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
7.“”是“直线与直线平行”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.过点作圆的切线，则切线方程为( )
A. B.
C. D. 或
9.已知离心率为的双曲线与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
10.如图，在棱长为的正方体中，是棱上的动点。则下列说法正确的是( )
存在点，使得；存在点，使得；对于任意点，到的距离的取值范围为；对于任意点，都是钝角三角形
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知两条异面直线对应的方向向量分别是，，则异面直线的夹角为 ．
12.，与直线平行，则直线与的距离为 ．
13.以为直径端点的圆的方程是 ．
14.已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为 ．
15.如图所示，，分别是正四棱柱上，下底面的中心，是的中点，，则下列结论正确序号有 ．

；
；
异面直线与所成角的余弦值为；
平面与平面夹角的余弦值为．
三、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知向量
若向量与垂直，求实数的值；
若向量和是共面向量，求实数的值．
17.本小题分
已知直线圆表示函数的图像．
写出圆的圆心坐标；
求圆心到直线的距离；
若点在圆上，点在上，求的最小值．
18.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点．

求证：平面；
求二面角的余弦值；
求直线与平面所成角的余弦值．
19.本小题分
已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且椭圆长轴长为．
求椭圆的标准方程；
为椭圆上一点，且，求的面积．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.由，，则，
因为，
所以，则，解得．
由向量和是共面向量，则存在，使得，
则，解得，则．

17.由圆，知圆心为；
根据点到直线的距离公式得：
设，则，
，
当时，，
此时取得最小值．

18.

取的中点为，又由于为棱的中点，则在正方体中可得：
则四边形是平行四边形，所以；
又由于为棱的中点，又可得
则四边形是平行四边形，所以；
由平行的传递性可知：，
又因为平面，平面，
所以平面；

如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，在棱长为的正方体中，，，，
则，，
设平面的法向量为，
则，即
令，则，所以，
由于平面与轴垂直，则平面的法向量可取，
所以，
由图可看出二面角一定是锐角，所以可设它为，
则，
所以二面角的余弦值为；
由得，平面的法向量可取，
则，
设直线与平面所成角为，则，
所以
即直线与平面所成角的余弦值为．

19.【详解】由题意设椭圆的标准方程为，
椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且椭圆长轴长为，
，解得
椭圆的标准方程为．
在中，由余弦定理得
，
又由椭圆的定义得，
，
，
．

第1页，共1页